Номер 16.25, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

16.25 На велогонке по гористой местности спортсмен должен был двигаться сначала с горы, потом в гору, а затем в обратном направлении. Путь туда велосипедист преодолел с горы за 20 мин, в гору за 45 мин, а путь обратно — с горы за 25 мин, в гору за 35 мин. Какова скорость велосипедиста в гору и с горы, если путь в одном направлении равен 17 км?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_с$ — скорость велосипедиста с горы (в км/ч).
• $v_в$ — скорость велосипедиста в гору (в км/ч).
• $S_1$ — длина участка спуска на пути «туда» (в км).
• $S_2$ — длина участка подъема на пути «туда» (в км).

По условию, общая длина пути в одном направлении составляет 17 км, следовательно:

$S_1 + S_2 = 17$

Переведем время из минут в часы для удобства расчетов:

• 20 мин = $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ часа
• 45 мин = $\frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ часа
• 25 мин = $\frac{25}{60} = \frac{5}{12}$ часа
• 35 мин = $\frac{35}{60} = \frac{7}{12}$ часа

Теперь составим систему уравнений, используя формулу пути $S = v \cdot t$.

1. Путь «туда»

Велосипедист двигался с горы (участок $S_1$) 20 минут, а в гору (участок $S_2$) 45 минут.
$S_1 = v_с \cdot \frac{1}{3}$
$S_2 = v_в \cdot \frac{3}{4}$

Подставим эти выражения в уравнение общей длины пути:

$\frac{1}{3}v_с + \frac{3}{4}v_в = 17$ (Уравнение 1)

2. Путь «обратно»

На обратном пути участок, который был спуском ($S_1$), становится подъемом, а участок, который был подъемом ($S_2$), становится спуском.
Время на спуск (теперь это участок $S_2$) составило 25 минут.
$S_2 = v_с \cdot \frac{5}{12}$
Время на подъем (теперь это участок $S_1$) составило 35 минут.
$S_1 = v_в \cdot \frac{7}{12}$

Снова подставим эти выражения в уравнение общей длины пути:

$S_1 + S_2 = v_в \cdot \frac{7}{12} + v_с \cdot \frac{5}{12} = 17$

$\frac{5}{12}v_с + \frac{7}{12}v_в = 17$ (Уравнение 2)

3. Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{1}{3}v_с + \frac{3}{4}v_в = 17 \\ \frac{5}{12}v_с + \frac{7}{12}v_в = 17 \end{cases}$

Для удобства умножим оба уравнения на 12, чтобы избавиться от дробей:

$12 \cdot (\frac{1}{3}v_с + \frac{3}{4}v_в) = 12 \cdot 17 \implies 4v_с + 9v_в = 204$

$12 \cdot (\frac{5}{12}v_с + \frac{7}{12}v_в) = 12 \cdot 17 \implies 5v_с + 7v_в = 204$

Получили упрощенную систему:

$\begin{cases} 4v_с + 9v_в = 204 \\ 5v_с + 7v_в = 204 \end{cases}$

Решим ее методом подстановки или сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -4, чтобы исключить $v_с$:

$5 \cdot (4v_с + 9v_в) = 5 \cdot 204 \implies 20v_с + 45v_в = 1020$

$-4 \cdot (5v_с + 7v_в) = -4 \cdot 204 \implies -20v_с - 28v_в = -816$

Сложим полученные уравнения:

$(20v_с + 45v_в) + (-20v_с - 28v_в) = 1020 - 816$

$17v_в = 204$

$v_в = \frac{204}{17} = 12$

Итак, скорость в гору $v_в = 12$ км/ч.

Теперь подставим это значение в любое из упрощенных уравнений, например, в $4v_с + 9v_в = 204$:

$4v_с + 9 \cdot 12 = 204$

$4v_с + 108 = 204$

$4v_с = 204 - 108$

$4v_с = 96$

$v_с = \frac{96}{4} = 24$

Итак, скорость с горы $v_с = 24$ км/ч.

Проверим, соответствуют ли найденные скорости всем условиям задачи.
$S_1 = v_с \cdot \frac{1}{3} = 24 \cdot \frac{1}{3} = 8$ км.
$S_2 = v_в \cdot \frac{3}{4} = 12 \cdot \frac{3}{4} = 9$ км.
$S_1 + S_2 = 8 + 9 = 17$ км. Условие выполняется.
Проверим время на обратном пути:
Время на подъем по участку $S_1$: $t_{подъем} = \frac{S_1}{v_в} = \frac{8 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = \frac{2}{3}$ часа = 40 минут.
Время на спуск по участку $S_2$: $t_{спуск} = \frac{S_2}{v_с} = \frac{9 \text{ км}}{24 \text{ км/ч}} = \frac{3}{8}$ часа = 22,5 минуты.
В условии задачи указано, что время на обратном пути составило 35 минут в гору и 25 минут с горы. Наши расчеты дали 40 минут в гору и 22,5 минуты с горы. Это означает, что данные в условии задачи противоречивы. Однако, если предположить, что в задаче имеется в виду, что велосипедист проехал весь путь спуска (туда и обратно) и весь путь подъема (туда и обратно) за указанные времена, решение будет другим, но стандартный подход к таким задачам — составление системы уравнений, как показано выше. При строгом следовании условиям, система уравнений составляется единственным образом и приводит к приведенным выше скоростям, которые, однако, не удовлетворяют временным рамкам обратного пути. Принято считать, что в таких случаях ошибка в условии задачи. Если же задача должна быть решена, то единственное непротиворечивое решение получается из составленной системы уравнений.

Ответ: Скорость велосипедиста в гору составляет 12 км/ч, а скорость с горы — 24 км/ч. (Следует отметить, что при этих скоростях временные данные для обратного пути, указанные в условии, не выполняются, что указывает на противоречие в условии задачи).