Номер 16.19, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

16.19 Одно число на 140 меньше другого; $60 \%$ большего числа на 64 больше $70 \%$ меньшего. Найдите эти числа.

Для решения задачи введем переменные. Пусть большее из двух чисел будет $x$, а меньшее — $y$.

Согласно первому условию задачи, "одно число на 140 меньше другого". Это означает, что разница между большим и меньшим числом равна 140. Составим первое уравнение:
$x - y = 140$ или, что то же самое, $y = x - 140$.

Второе условие гласит: "60 % большего числа на 64 больше 70 % меньшего". Для составления уравнения переведем проценты в десятичные дроби: $60 \% = 0,6$ и $70 \% = 0,7$. Тогда 60% от большего числа ($x$) — это $0,6x$, а 70% от меньшего ($y$) — это $0,7y$. Запишем второе уравнение на основе условия:
$0,6x = 0,7y + 64$

Мы получили систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} y = x - 140 \\ 0,6x = 0,7y + 64 \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$0,6x = 0,7(x - 140) + 64$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Сначала раскроем скобки:
$0,6x = 0,7x - 0,7 \cdot 140 + 64$
$0,6x = 0,7x - 98 + 64$
$0,6x = 0,7x - 34$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну часть уравнения, а числовые значения — в другую:
$98 - 64 = 0,7x - 0,6x$
$34 = 0,1x$

Теперь найдем $x$:
$x = \frac{34}{0,1}$
$x = 340$

Итак, большее число равно 340. Чтобы найти меньшее число $y$, подставим значение $x$ в первое уравнение системы:
$y = x - 140 = 340 - 140 = 200$

Меньшее число равно 200.

Проведем проверку:
1. Разница между числами: $340 - 200 = 140$. Первое условие выполняется.
2. 60% от большего числа: $0,6 \cdot 340 = 204$.
3. 70% от меньшего числа: $0,7 \cdot 200 = 140$.
4. Проверим, на сколько 204 больше 140: $204 - 140 = 64$. Второе условие также выполняется.

Ответ: искомые числа — 340 и 200.