Номер 16.13, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

16.13 Для перевозки руды из карьера были отправлены пятитонные и трёхтонные самосвалы. За 1 рейс пятитонные самосвалы перевозят руды на 18 т больше, чем трёхтонные. За рабочий день пятитонные самосвалы совершили 4 рейса, а трёхтонные — 6 рейсов, и всего ими перевезено за день 192 т руды. Сколько самосвалов каждой грузоподъёмности перевозили руду?

Для решения задачи введём переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — количество пятитонных самосвалов, а $y$ — количество трёхтонных самосвалов.

Согласно условию, за один рейс все пятитонные самосвалы перевозят на 18 тонн руды больше, чем все трёхтонные. Объём руды, перевозимой за один рейс пятитонными самосвалами, равен $5x$ тонн, а трёхтонными — $3y$ тонн. Составим первое уравнение:

$5x - 3y = 18$

Также известно, что за рабочий день пятитонные самосвалы совершили 4 рейса, а трёхтонные — 6 рейсов, и всего было перевезено 192 тонны руды. Составим второе уравнение:

$4 \cdot (5x) + 6 \cdot (3y) = 192$

Упростим второе уравнение:

$20x + 18y = 192$

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} 5x - 3y = 18 \\ 20x + 18y = 192 \end{cases} $

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 6, чтобы уравнять коэффициенты при переменной $y$ по модулю:

$6 \cdot (5x - 3y) = 6 \cdot 18$

$30x - 18y = 108$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(30x - 18y) + (20x + 18y) = 108 + 192$

$50x = 300$

Найдём $x$:

$x = \frac{300}{50}$

$x = 6$

Теперь подставим найденное значение $x=6$ в первое уравнение ($5x - 3y = 18$) для нахождения $y$:

$5(6) - 3y = 18$

$30 - 3y = 18$

$3y = 30 - 18$

$3y = 12$

$y = \frac{12}{3}$

$y = 4$

Таким образом, в перевозке руды участвовало 6 пятитонных и 4 трёхтонных самосвала.

Проверка:

1. Найдём, сколько руды перевозят самосвалы за 1 рейс. 6 пятитонных: $6 \cdot 5 = 30$ т. 4 трёхтонных: $4 \cdot 3 = 12$ т. Разница: $30 - 12 = 18$ т. Это соответствует условию задачи.

2. Найдём, сколько руды перевезли за день. Пятитонные за 4 рейса: $30 \cdot 4 = 120$ т. Трёхтонные за 6 рейсов: $12 \cdot 6 = 72$ т. Всего за день: $120 + 72 = 192$ т. Это соответствует условию задачи.

Ответ: руду перевозили 6 пятитонных и 4 трёхтонных самосвала.