Номер 16.8, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 16. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций - номер 16.8, страница 81.

Условие.

16.8 Если числитель дроби умножить на 2, а из знаменателя вычесть 2, то получится 2. Если же из числителя вычесть 4, а знаменатель умножить на 4, то получится $\frac{1}{12}$. Найдите эту дробь.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть искомая дробь имеет вид $ \frac{x}{y} $, где $ x $ — числитель, а $ y $ — знаменатель.

Согласно первому условию задачи, если числитель умножить на 2, а из знаменателя вычесть 2, то получится 2. Составим первое уравнение, учитывая, что $ y \neq 2 $:

$ \frac{2x}{y - 2} = 2 $

Согласно второму условию, если из числителя вычесть 4, а знаменатель умножить на 4, то получится $ \frac{1}{12} $. Составим второе уравнение, учитывая, что $ y \neq 0 $:

$ \frac{x - 4}{4y} = \frac{1}{12} $

Получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} \frac{2x}{y - 2} = 2 \\ \frac{x - 4}{4y} = \frac{1}{12} \end{cases} $

Упростим каждое уравнение.

Из первого уравнения:

$ 2x = 2(y - 2) $

$ x = y - 2 $

Из второго уравнения (используя свойство пропорции):

$ 12(x - 4) = 4y $

Разделим обе части уравнения на 4:

$ 3(x - 4) = y $

$ y = 3x - 12 $

Теперь решим систему двух упрощенных уравнений:

$ \begin{cases} x = y - 2 \\ y = 3x - 12 \end{cases} $

Подставим выражение для $ y $ из второго уравнения в первое:

$ x = (3x - 12) - 2 $

$ x = 3x - 14 $

$ 14 = 3x - x $

$ 14 = 2x $

$ x = 7 $

Теперь найдем $ y $, подставив значение $ x = 7 $ в уравнение $ y = 3x - 12 $:

$ y = 3 \cdot 7 - 12 $

$ y = 21 - 12 $

$ y = 9 $

Таким образом, искомая дробь — $ \frac{7}{9} $.

Выполним проверку:

1. $ \frac{2 \cdot 7}{9 - 2} = \frac{14}{7} = 2 $. Верно.

2. $ \frac{7 - 4}{4 \cdot 9} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} $. Верно.

Ответ: $ \frac{7}{9} $