Номер 16.6, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

16.6 По течению реки лодка за 3 ч 20 мин проходит расстояние 30 км, а против течения за 4 ч — расстояние 28 км. Какое расстояние по озеру пройдёт лодка за 1,5 ч?

Для решения задачи введем следующие обозначения: пусть $v_{л}$ — это собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде, как в озере), а $v_{т}$ — скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению реки равна сумме скоростей $v_{л} + v_{т}$, а скорость против течения — разности скоростей $v_{л} - v_{т}$.

1. Нахождение скорости лодки по течению реки.

По условию, лодка прошла по течению расстояние $S_1 = 30$ км за время $t_1 = 3$ ч 20 мин. Сначала переведем время в часы. Так как в одном часе 60 минут, то 20 минут составляют $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ часа.

$t_1 = 3 \text{ ч } + \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ ч.

Теперь найдем скорость лодки по течению ($v_{по\;теч.}$), используя формулу скорости $v = \frac{S}{t}$:

$v_{по\;теч.} = \frac{30 \text{ км}}{\frac{10}{3} \text{ ч}} = 30 \cdot \frac{3}{10} = 9$ км/ч.

Следовательно, мы получаем первое уравнение: $v_{л} + v_{т} = 9$.

2. Нахождение скорости лодки против течения реки.

Против течения лодка прошла расстояние $S_2 = 28$ км за время $t_2 = 4$ ч. Найдем скорость лодки против течения ($v_{против\;теч.}$):

$v_{против\;теч.} = \frac{28 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 7$ км/ч.

Отсюда получаем второе уравнение: $v_{л} - v_{т} = 7$.

3. Нахождение собственной скорости лодки.

Мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_{л} + v_{т} = 9 \\ v_{л} - v_{т} = 7 \end{cases}$

Чтобы найти собственную скорость лодки $v_{л}$, можно сложить оба уравнения. При этом скорость течения $v_{т}$ сократится:

$(v_{л} + v_{т}) + (v_{л} - v_{т}) = 9 + 7$

$2v_{л} = 16$

$v_{л} = \frac{16}{2} = 8$ км/ч.

Собственная скорость лодки (и её скорость при движении по озеру) составляет 8 км/ч.

4. Нахождение расстояния, которое лодка пройдет по озеру.

Теперь необходимо вычислить, какое расстояние ($S_{озеро}$) пройдет лодка по озеру за время $t_{озеро} = 1,5$ ч, двигаясь со своей собственной скоростью.

$S_{озеро} = v_{л} \cdot t_{озеро} = 8 \text{ км/ч} \cdot 1,5 \text{ ч} = 12$ км.

Ответ: 12 км.