Номер 15.17, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 15. Метод алгебраического сложения - номер 15.17, страница 79.

Условие.

15.17 При каких значениях a и b решением системы уравнений:

а) $\begin{cases} ax + by = 36 \\ ax - by = 8 \end{cases}$ является пара чисел (2; -1);

б) $\begin{cases} ax + by = 2a \\ ax - by = 16 \end{cases}$ является пара чисел (-1; 2);

в) $\begin{cases} ax + by = 4 \\ ax - by = -24 \end{cases}$ является пара чисел (1; -2);

г) $\begin{cases} ax + by = 18 \\ ax - by = a + 2 \end{cases}$ является пара чисел (-2; 1)?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Чтобы найти значения параметров $a$ и $b$, нужно подставить в уравнения системы значения $x$ и $y$ из данной пары чисел, которая является решением. В результате мы получим новую систему уравнений, но уже относительно переменных $a$ и $b$, которую и нужно будет решить.

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} ax + by = 36, \\ ax - by = 8 \end{cases} $ Решением является пара чисел $(2; -1)$. Подставим $x=2$ и $y=-1$ в систему: $ \begin{cases} a \cdot 2 + b \cdot (-1) = 36, \\ a \cdot 2 - b \cdot (-1) = 8 \end{cases} $

После упрощения получаем систему для $a$ и $b$: $ \begin{cases} 2a - b = 36, \\ 2a + b = 8 \end{cases} $

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Сложим первое и второе уравнения:
$(2a - b) + (2a + b) = 36 + 8$
$4a = 44$
$a = 11$

Подставим найденное значение $a=11$ во второе уравнение $(2a + b = 8)$:
$2 \cdot 11 + b = 8$
$22 + b = 8$
$b = 8 - 22$
$b = -14$

Ответ: $a = 11, b = -14$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} ax + by = 2a, \\ ax - by = 16 \end{cases} $ Решением является пара чисел $(-1; 2)$. Подставим $x=-1$ и $y=2$ в систему: $ \begin{cases} a \cdot (-1) + b \cdot 2 = 2a, \\ a \cdot (-1) - b \cdot 2 = 16 \end{cases} $

После упрощения получаем систему: $ \begin{cases} -a + 2b = 2a, \\ -a - 2b = 16 \end{cases} $

Приведем первое уравнение к стандартному виду:
$-a + 2b = 2a$
$2b = 3a$
$3a - 2b = 0$

Теперь система для $a$ и $b$ выглядит так: $ \begin{cases} 3a - 2b = 0, \\ -a - 2b = 16 \end{cases} $

Решим эту систему методом вычитания. Вычтем из первого уравнения второе:
$(3a - 2b) - (-a - 2b) = 0 - 16$
$3a - 2b + a + 2b = -16$
$4a = -16$
$a = -4$

Подставим найденное значение $a=-4$ в уравнение $(3a - 2b = 0)$:
$3 \cdot (-4) - 2b = 0$
$-12 - 2b = 0$
$-2b = 12$
$b = -6$

Ответ: $a = -4, b = -6$.

в)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} ax + by = 4, \\ ax - by = -24 \end{cases} $ Решением является пара чисел $(1; -2)$. Подставим $x=1$ и $y=-2$ в систему: $ \begin{cases} a \cdot 1 + b \cdot (-2) = 4, \\ a \cdot 1 - b \cdot (-2) = -24 \end{cases} $

После упрощения получаем систему для $a$ и $b$: $ \begin{cases} a - 2b = 4, \\ a + 2b = -24 \end{cases} $

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Сложим первое и второе уравнения:
$(a - 2b) + (a + 2b) = 4 + (-24)$
$2a = -20$
$a = -10$

Подставим найденное значение $a=-10$ во второе уравнение $(a + 2b = -24)$:
$-10 + 2b = -24$
$2b = -24 + 10$
$2b = -14$
$b = -7$

Ответ: $a = -10, b = -7$.

г)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} ax + by = 18, \\ ax - by = a + 2 \end{cases} $ Решением является пара чисел $(-2; 1)$. Подставим $x=-2$ и $y=1$ в систему: $ \begin{cases} a \cdot (-2) + b \cdot 1 = 18, \\ a \cdot (-2) - b \cdot 1 = a + 2 \end{cases} $

После упрощения получаем систему: $ \begin{cases} -2a + b = 18, \\ -2a - b = a + 2 \end{cases} $

Приведем второе уравнение к стандартному виду:
$-2a - b = a + 2$
$-2a - a - b = 2$
$-3a - b = 2$

Теперь система для $a$ и $b$ выглядит так: $ \begin{cases} -2a + b = 18, \\ -3a - b = 2 \end{cases} $

Решим эту систему методом сложения. Сложим первое и второе уравнения:
$(-2a + b) + (-3a - b) = 18 + 2$
$-5a = 20$
$a = -4$

Подставим найденное значение $a=-4$ в первое уравнение $(-2a + b = 18)$:
$-2 \cdot (-4) + b = 18$
$8 + b = 18$
$b = 18 - 8$
$b = 10$

Ответ: $a = -4, b = 10$.