Номер 15.10, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Решите систему уравнений:

15.10 a) $ \begin{cases} 4x + 15y = -42, \\ -6x + 25y = -32; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 9x + 8y = -53, \\ 15x + 12y = -27; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 12x - 35y = 25, \\ -8x - 15y = -55; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 25x - 24y = -21, \\ 10x - 9y = 3. \end{cases} $

а) Решим систему уравнений $ \begin{cases} 4x + 15y = -42 \\ -6x + 25y = -32 \end{cases} $.
Используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.
$ \begin{cases} 3(4x + 15y) = 3(-42) \\ 2(-6x + 25y) = 2(-32) \end{cases} \implies \begin{cases} 12x + 45y = -126 \\ -12x + 50y = -64 \end{cases} $
Теперь сложим левые и правые части уравнений:
$(12x + 45y) + (-12x + 50y) = -126 - 64$
$95y = -190$
$y = \frac{-190}{95}$
$y = -2$
Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $x$:
$4x + 15(-2) = -42$
$4x - 30 = -42$
$4x = -12$
$x = -3$
Ответ: $x=-3, y=-2$.

б) Решим систему уравнений $ \begin{cases} 9x + 8y = -53 \\ 15x + 12y = -27 \end{cases} $.
Для упрощения, разделим обе части второго уравнения на 3:
$5x + 4y = -9$
Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 9x + 8y = -53 \\ 5x + 4y = -9 \end{cases} $.
Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали равными:
$2(5x + 4y) = 2(-9) \implies 10x + 8y = -18$
Теперь вычтем первое уравнение из полученного нового уравнения:
$(10x + 8y) - (9x + 8y) = -18 - (-53)$
$x = 35$
Подставим найденное значение $x$ в упрощенное второе уравнение $5x + 4y = -9$:
$5(35) + 4y = -9$
$175 + 4y = -9$
$4y = -9 - 175$
$4y = -184$
$y = \frac{-184}{4}$
$y = -46$
Ответ: $x=35, y=-46$.

в) Решим систему уравнений $ \begin{cases} 12x - 35y = 25 \\ -8x - 15y = -55 \end{cases} $.
Используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.
$ \begin{cases} 2(12x - 35y) = 2(25) \\ 3(-8x - 15y) = 3(-55) \end{cases} \implies \begin{cases} 24x - 70y = 50 \\ -24x - 45y = -165 \end{cases} $
Сложим левые и правые части уравнений:
$(24x - 70y) + (-24x - 45y) = 50 - 165$
$-115y = -115$
$y = 1$
Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $x$:
$12x - 35(1) = 25$
$12x - 35 = 25$
$12x = 60$
$x = 5$
Ответ: $x=5, y=1$.

г) Решим систему уравнений $ \begin{cases} 25x - 24y = -21 \\ 10x - 9y = 3 \end{cases} $.
Используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 8, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали одинаковыми. Наименьшее общее кратное чисел 24 и 9 равно 72.
$ \begin{cases} 3(25x - 24y) = 3(-21) \\ 8(10x - 9y) = 8(3) \end{cases} \implies \begin{cases} 75x - 72y = -63 \\ 80x - 72y = 24 \end{cases} $
Вычтем первое уравнение из второго:
$(80x - 72y) - (75x - 72y) = 24 - (-63)$
$5x = 87$
$x = \frac{87}{5}$
Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:
$10\left(\frac{87}{5}\right) - 9y = 3$
$2 \cdot 87 - 9y = 3$
$174 - 9y = 3$
$171 = 9y$
$y = \frac{171}{9}$
$y = 19$
Ответ: $x=\frac{87}{5}, y=19$.