Номер 15.8, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 15. Метод алгебраического сложения - номер 15.8, страница 76.

Условие.

15.8 а) $\begin{cases} 3x + 7y = 46, \\ 4x - 3y = 12; \end{cases}$

б) $\begin{cases} -3x + 4y = 24, \\ 5x + 3y = -40; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5x + 3y = 20, \\ 2x - 4y = 21; \end{cases}$

г) $\begin{cases} -5x + 3y = -15, \\ 2x + 7y = 47. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Дана система уравнений:$\begin{cases} 3x + 7y = 46, \\4x - 3y = 12;\end{cases}$
Решим систему методом алгебраического сложения. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на 7, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными числами:
$\begin{cases} (3x + 7y) \cdot 3 = 46 \cdot 3, \\(4x - 3y) \cdot 7 = 12 \cdot 7;\end{cases}$
$\begin{cases} 9x + 21y = 138, \\28x - 21y = 84;\end{cases}$
Теперь сложим два уравнения системы:
$(9x + 21y) + (28x - 21y) = 138 + 84$
$37x = 222$
$x = 222 / 37$
$x = 6$
Подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$4(6) - 3y = 12$
$24 - 3y = 12$
$-3y = 12 - 24$
$-3y = -12$
$y = 4$
Проверка: подставим $x=6$ и $y=4$ в первое уравнение: $3(6) + 7(4) = 18 + 28 = 46$. Верно.
Ответ: $x=6, y=4$.

б) Дана система уравнений:$\begin{cases} -3x + 4y = 24, \\5x + 3y = -40;\end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 3, чтобы избавиться от переменной $x$:
$\begin{cases} (-3x + 4y) \cdot 5 = 24 \cdot 5, \\(5x + 3y) \cdot 3 = -40 \cdot 3;\end{cases}$
$\begin{cases} -15x + 20y = 120, \\15x + 9y = -120;\end{cases}$
Сложим два уравнения:
$(-15x + 20y) + (15x + 9y) = 120 + (-120)$
$29y = 0$
$y = 0$
Подставим $y=0$ во второе исходное уравнение:
$5x + 3(0) = -40$
$5x = -40$
$x = -8$
Проверка: подставим $x=-8$ и $y=0$ в первое уравнение: $-3(-8) + 4(0) = 24 + 0 = 24$. Верно.
Ответ: $x=-8, y=0$.

в) Дана система уравнений:$\begin{cases} 5x + 3y = 20, \\2x - 4y = 21;\end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -5:
$\begin{cases} (5x + 3y) \cdot 2 = 20 \cdot 2, \\(2x - 4y) \cdot (-5) = 21 \cdot (-5);\end{cases}$
$\begin{cases} 10x + 6y = 40, \\-10x + 20y = -105;\end{cases}$
Сложим полученные уравнения:
$(10x + 6y) + (-10x + 20y) = 40 - 105$
$26y = -65$
$y = -65 / 26 = -5/2 = -2.5$
Подставим найденное значение $y$ в первое исходное уравнение:
$5x + 3(-2.5) = 20$
$5x - 7.5 = 20$
$5x = 27.5$
$x = 27.5 / 5 = 5.5$
Проверка: подставим $x=5.5$ и $y=-2.5$ во второе уравнение: $2(5.5) - 4(-2.5) = 11 + 10 = 21$. Верно.
Ответ: $x=5.5, y=-2.5$.

г) Дана система уравнений:$\begin{cases} -5x + 3y = -15, \\2x + 7y = 47;\end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 5:
$\begin{cases} (-5x + 3y) \cdot 2 = -15 \cdot 2, \\(2x + 7y) \cdot 5 = 47 \cdot 5;\end{cases}$
$\begin{cases} -10x + 6y = -30, \\10x + 35y = 235;\end{cases}$
Сложим уравнения:
$(-10x + 6y) + (10x + 35y) = -30 + 235$
$41y = 205$
$y = 205 / 41$
$y = 5$
Подставим $y=5$ во второе исходное уравнение:
$2x + 7(5) = 47$
$2x + 35 = 47$
$2x = 47 - 35$
$2x = 12$
$x = 6$
Проверка: подставим $x=6$ и $y=5$ в первое уравнение: $-5(6) + 3(5) = -30 + 15 = -15$. Верно.
Ответ: $x=6, y=5$.