Номер 15.7, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 15. Метод алгебраического сложения - номер 15.7, страница 76.

Условие.

15.7 a) $\begin{cases} 40x + 3y = -10, \\ 20x - 7y = -5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 5x + 2y = 1, \\ 15x + 3y = 3; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3x + 8y = 13, \\ 5x - 16y = 7; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 10x + 15y = -45, \\ 2x - 3y = 33. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 40x + 3y = -10, \\ 20x - 7y = -5. \end{cases} $$

Для решения системы используем метод сложения. Умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными.

$$ \begin{cases} 40x + 3y = -10, \\ -2(20x - 7y) = -2(-5). \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 40x + 3y = -10, \\ -40x + 14y = 10. \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы:

$(40x + 3y) + (-40x + 14y) = -10 + 10$

$17y = 0$

$y = 0$

Теперь подставим найденное значение $y$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:

$20x - 7 \cdot 0 = -5$

$20x = -5$

$x = -\frac{5}{20} = -\frac{1}{4} = -0,25$

Ответ: $(-0,25; 0)$.

б) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 5x + 2y = 1, \\ 15x + 3y = 3. \end{cases} $$

Заметим, что второе уравнение можно упростить, разделив обе его части на 3:

$(15x + 3y) \div 3 = 3 \div 3$

$5x + y = 1$

Теперь система имеет вид:

$$ \begin{cases} 5x + 2y = 1, \\ 5x + y = 1. \end{cases} $$

Воспользуемся методом подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 1 - 5x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$5x + 2(1 - 5x) = 1$

$5x + 2 - 10x = 1$

$-5x = 1 - 2$

$-5x = -1$

$x = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5} = 0,2$

Теперь найдем $y$:

$y = 1 - 5x = 1 - 5 \cdot \frac{1}{5} = 1 - 1 = 0$

Ответ: $(0,2; 0)$.

в) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 3x + 8y = 13, \\ 5x - 16y = 7. \end{cases} $$

Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$$ \begin{cases} 2(3x + 8y) = 2 \cdot 13, \\ 5x - 16y = 7. \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 6x + 16y = 26, \\ 5x - 16y = 7. \end{cases} $$

Сложим уравнения системы:

$(6x + 16y) + (5x - 16y) = 26 + 7$

$11x = 33$

$x = 3$

Подставим значение $x = 3$ в первое исходное уравнение:

$3 \cdot 3 + 8y = 13$

$9 + 8y = 13$

$8y = 13 - 9$

$8y = 4$

$y = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0,5$

Ответ: $(3; 0,5)$.

г) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 10x + 15y = -45, \\ 2x - 3y = 33. \end{cases} $$

Используем метод сложения. Умножим второе уравнение на 5, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$$ \begin{cases} 10x + 15y = -45, \\ 5(2x - 3y) = 5 \cdot 33. \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 10x + 15y = -45, \\ 10x - 15y = 165. \end{cases} $$

Сложим уравнения системы:

$(10x + 15y) + (10x - 15y) = -45 + 165$

$20x = 120$

$x = \frac{120}{20} = 6$

Подставим значение $x = 6$ во второе исходное уравнение:

$2 \cdot 6 - 3y = 33$

$12 - 3y = 33$

$-3y = 33 - 12$

$-3y = 21$

$y = \frac{21}{-3} = -7$

Ответ: $(6; -7)$.