Номер 15.13, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 15. Метод алгебраического сложения - номер 15.13, страница 77.

Условие.

15.13 Составьте уравнение прямой, проходящей через заданные точки:

а) $A(2; 3)$; $B(-1; 4)$;

б) $C(-6; 7)$; $D(4; 3)$;

в) $M(-3; -1)$; $N(2; 5)$;

г) $P(6; 2)$; $Q(-1; -3)$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а)

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, используется каноническое уравнение прямой: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

Подставим координаты точек $A(2; 3)$ и $B(-1; 4)$ в эту формулу. Пусть $x_1 = 2$, $y_1 = 3$, $x_2 = -1$, $y_2 = 4$.

$\frac{x - 2}{-1 - 2} = \frac{y - 3}{4 - 3}$

$\frac{x - 2}{-3} = \frac{y - 3}{1}$

Применим свойство пропорции (перекрестное умножение), чтобы получить общее уравнение прямой вида $Ax + By + C = 0$:

$1 \cdot (x - 2) = -3 \cdot (y - 3)$

$x - 2 = -3y + 9$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$x + 3y - 2 - 9 = 0$

$x + 3y - 11 = 0$

Ответ: $x + 3y - 11 = 0$.

б)

Используем ту же формулу для точек $C(-6; 7)$ и $D(4; 3)$. Пусть $x_1 = -6$, $y_1 = 7$, $x_2 = 4$, $y_2 = 3$.

$\frac{x - (-6)}{4 - (-6)} = \frac{y - 7}{3 - 7}$

$\frac{x + 6}{10} = \frac{y - 7}{-4}$

Можно упростить знаменатели, разделив их на 2: $\frac{x + 6}{5} = \frac{y - 7}{-2}$.

Применим перекрестное умножение:

$-2(x + 6) = 5(y - 7)$

$-2x - 12 = 5y - 35$

Перенесем все слагаемые в одну часть:

$-2x - 5y - 12 + 35 = 0$

$-2x - 5y + 23 = 0$

Для удобства умножим уравнение на -1, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$2x + 5y - 23 = 0$

Ответ: $2x + 5y - 23 = 0$.

в)

Подставим координаты точек $M(-3; -1)$ и $N(2; 5)$ в каноническое уравнение прямой. Пусть $x_1 = -3$, $y_1 = -1$, $x_2 = 2$, $y_2 = 5$.

$\frac{x - (-3)}{2 - (-3)} = \frac{y - (-1)}{5 - (-1)}$

$\frac{x + 3}{5} = \frac{y + 1}{6}$

Применим перекрестное умножение:

$6(x + 3) = 5(y + 1)$

$6x + 18 = 5y + 5$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$6x - 5y + 18 - 5 = 0$

$6x - 5y + 13 = 0$

Ответ: $6x - 5y + 13 = 0$.

г)

Подставим координаты точек $P(6; 2)$ и $Q(-1; -3)$ в каноническое уравнение прямой. Пусть $x_1 = 6$, $y_1 = 2$, $x_2 = -1$, $y_2 = -3$.

$\frac{x - 6}{-1 - 6} = \frac{y - 2}{-3 - 2}$

$\frac{x - 6}{-7} = \frac{y - 2}{-5}$

Применим перекрестное умножение:

$-5(x - 6) = -7(y - 2)$

Умножим обе части на -1:

$5(x - 6) = 7(y - 2)$

$5x - 30 = 7y - 14$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$5x - 7y - 30 + 14 = 0$

$5x - 7y - 16 = 0$

Ответ: $5x - 7y - 16 = 0$.