Номер 16.2, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

16.2 Два пешехода отправились одновременно навстречу друг другу из пунктов $M$ и $N$, расстояние между которыми 38 км. Через 4 ч расстояние между ними сократилось до 2 км, а ещё через 3 ч первому пешеходу осталось пройти до пункта $N$ на 7 км меньше, чем второму до $M$. Найдите скорости пешеходов.

Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого пешехода (вышедшего из пункта M), а $v_2$ км/ч — скорость второго пешехода (вышедшего из пункта N). Изначальное расстояние между ними $S = 38$ км.

Составление первого уравнения

По условию, через 4 часа расстояние между пешеходами стало 2 км. Так как они движутся навстречу друг другу, за это время они вместе преодолели расстояние $38 - 2 = 36$ км. Расстояние, пройденное вместе, равно произведению их скорости сближения $(v_1 + v_2)$ на время $t=4$ ч.

Составим первое уравнение:

$(v_1 + v_2) \cdot 4 = 36$

Разделив обе части на 4, получим:

$v_1 + v_2 = 9$

Составление второго уравнения

Второе условие дано для момента времени «ещё через 3 ч», то есть через $4 + 3 = 7$ часов после начала движения.

За 7 часов первый пешеход прошел от пункта M расстояние $S_1 = 7v_1$ км. Расстояние, которое ему осталось пройти до пункта N, составляет $38 - 7v_1$ км.

За 7 часов второй пешеход прошел от пункта N расстояние $S_2 = 7v_2$ км. Расстояние, которое ему осталось пройти до пункта M, составляет $38 - 7v_2$ км.

По условию, первому пешеходу осталось пройти на 7 км меньше, чем второму. Это можно записать в виде уравнения:

$38 - 7v_1 = (38 - 7v_2) - 7$

Упростим это уравнение:

$38 - 7v_1 = 31 - 7v_2$

$7v_2 - 7v_1 = 31 - 38$

$7(v_2 - v_1) = -7$

$v_2 - v_1 = -1$

или

$v_1 - v_2 = 1$

Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 9 \\ v_1 - v_2 = 1 \end{cases}$

Сложим два уравнения, чтобы найти $v_1$:

$(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 9 + 1$

$2v_1 = 10$

$v_1 = 5$

Скорость первого пешехода равна 5 км/ч.

Теперь подставим значение $v_1$ в первое уравнение системы, чтобы найти $v_2$:

$5 + v_2 = 9$

$v_2 = 9 - 5$

$v_2 = 4$

Скорость второго пешехода равна 4 км/ч.

Ответ: скорость первого пешехода 5 км/ч, скорость второго пешехода 4 км/ч.