Номер 16.7, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 16. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций - номер 16.7, страница 81.

Условие.

16.7 Найдите два числа, если известно, что утроенная разность этих чисел на 6 больше их суммы, а удвоенная разность этих чисел на 9 больше их суммы.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть искомые числа будут $x$ и $y$.

Согласно условию, "утроенная разность этих чисел на 6 больше их суммы". Предположим, что разность это $x - y$. Тогда это условие можно записать в виде уравнения:

$3(x - y) = (x + y) + 6$

Второе условие гласит, что "удвоенная разность этих чисел на 9 больше их суммы". Запишем второе уравнение:

$2(x - y) = (x + y) + 9$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 3(x-y) = x+y+6 \\ 2(x-y) = x+y+9 \end{cases}$

Для решения системы упростим каждое уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Упростим первое уравнение:

$3x - 3y = x + y + 6$

$3x - x - 3y - y = 6$

$2x - 4y = 6$

Разделив обе части уравнения на 2, получим:

$x - 2y = 3$

Теперь упростим второе уравнение:

$2x - 2y = x + y + 9$

$2x - x - 2y - y = 9$

$x - 3y = 9$

Теперь система уравнений выглядит значительно проще:

$\begin{cases} x - 2y = 3 \\ x - 3y = 9 \end{cases}$

Решим эту систему методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

$(x - 2y) - (x - 3y) = 3 - 9$

$x - 2y - x + 3y = -6$

$y = -6$

Теперь, зная значение $y$, подставим его в любое из упрощенных уравнений, чтобы найти $x$. Воспользуемся уравнением $x - 2y = 3$:

$x - 2(-6) = 3$

$x + 12 = 3$

$x = 3 - 12$

$x = -9$

Итак, мы нашли два числа: $-9$ и $-6$. Проверим, удовлетворяют ли они условиям задачи.

Сумма чисел: $-9 + (-6) = -15$.

Разность чисел: $-9 - (-6) = -3$.

Утроенная разность: $3 \times (-3) = -9$. Это значение на 6 больше суммы, так как $-15 + 6 = -9$. Первое условие выполняется.

Удвоенная разность: $2 \times (-3) = -6$. Это значение на 9 больше суммы, так как $-15 + 9 = -6$. Второе условие также выполняется.

Ответ: $-9$ и $-6$.