Номер 16.4, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 16. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций - номер 16.4, страница 80.

Условие.

16.4 Катер за 4 ч по течению реки проплывает на 10 км меньше, чем за 6 ч против течения. Найдите собственную скорость катера, если плот по этой реке за 15 ч проплывает такое же расстояние, что и катер за 2 ч по озеру.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_к$ (км/ч) — собственная скорость катера, а $v_р$ (км/ч) — скорость течения реки. Тогда скорость катера по течению реки равна $(v_к + v_р)$ км/ч, а скорость катера против течения реки равна $(v_к - v_р)$ км/ч.

Согласно первому условию, за 4 часа по течению реки катер проплывает расстояние $S_1 = 4 \cdot (v_к + v_р)$ км. За 6 часов против течения катер проплывает расстояние $S_2 = 6 \cdot (v_к - v_р)$ км. Известно, что расстояние, пройденное по течению, на 10 км меньше, чем расстояние, пройденное против течения. Составим первое уравнение:

$4(v_к + v_р) = 6(v_к - v_р) - 10$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$4v_к + 4v_р = 6v_к - 6v_р - 10$

$4v_р + 6v_р = 6v_к - 4v_к - 10$

$10v_р = 2v_к - 10$

Разделим обе части уравнения на 2:

$5v_р = v_к - 5$

Теперь рассмотрим второе условие. Скорость плота равна скорости течения реки, то есть $v_р$. За 15 часов плот проплывет расстояние $S_3 = 15 \cdot v_р$ км. Скорость катера по озеру (в стоячей воде) равна его собственной скорости, то есть $v_к$. За 2 часа по озеру катер проплывет расстояние $S_4 = 2 \cdot v_к$ км. По условию, эти расстояния равны. Составим второе уравнение:

$15v_р = 2v_к$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 5v_р = v_к - 5 \\ 15v_р = 2v_к \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $v_р$ через $v_к$:

$v_р = \frac{2}{15}v_к$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$5 \cdot \left(\frac{2}{15}v_к\right) = v_к - 5$

$\frac{10}{15}v_к = v_к - 5$

$\frac{2}{3}v_к = v_к - 5$

Перенесем слагаемые с $v_к$ в одну сторону:

$5 = v_к - \frac{2}{3}v_к$

$5 = \frac{1}{3}v_к$

Отсюда находим собственную скорость катера:

$v_к = 5 \cdot 3 = 15$

Собственная скорость катера равна 15 км/ч. Можно также найти скорость течения реки для проверки: $v_р = \frac{2}{15} \cdot 15 = 2$ км/ч.

Проверка:
Расстояние по течению: $4 \cdot (15+2) = 4 \cdot 17 = 68$ км.
Расстояние против течения: $6 \cdot (15-2) = 6 \cdot 13 = 78$ км.
$78 - 68 = 10$ км. Условие выполняется.
Расстояние плота: $15 \cdot 2 = 30$ км.
Расстояние катера по озеру: $2 \cdot 15 = 30$ км. Условие выполняется.

Ответ: собственная скорость катера равна 15 км/ч.