Номер 16.3, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

16.3 Из пунктов A и B, расстояние между которыми 30 км, навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода и встретились через 3 ч 20 мин. Если бы первый вышел на 2 ч раньше второго, то встреча произошла бы через 2,5 ч после выхода второго. Найдите скорости пешеходов.

Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого пешехода, а $v_2$ км/ч — скорость второго пешехода. Общее расстояние $S$ составляет 30 км.

Из первого условия задачи известно, что пешеходы вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 часа 20 минут. Переведем время встречи в часы: $t_1 = 3 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 3 + \frac{20}{60} \text{ ч} = 3\frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{10}{3} \text{ ч}$. Так как пешеходы двигались навстречу друг другу, их общая скорость (скорость сближения) равна $v_1 + v_2$. За время $t_1$ они вместе прошли всё расстояние $S$. Составим первое уравнение:

$(v_1 + v_2) \cdot \frac{10}{3} = 30$

Отсюда находим сумму скоростей:

$v_1 + v_2 = 30 \cdot \frac{3}{10} = 9$

Из второго условия задачи следует, что если бы первый пешеход вышел на 2 часа раньше второго, то встреча произошла бы через 2,5 часа после выхода второго. В этом случае время движения второго пешехода до встречи составляет $t_2 = 2,5$ ч. Время движения первого пешехода будет $t'_1 = 2,5 + 2 = 4,5$ ч. Суммарное расстояние, пройденное обоими пешеходами до встречи, равно 30 км. Составим второе уравнение:

$v_1 \cdot 4,5 + v_2 \cdot 2,5 = 30$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 9 \\ 4,5v_1 + 2,5v_2 = 30 \end{cases}$

Для решения системы выразим $v_1$ из первого уравнения: $v_1 = 9 - v_2$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$4,5(9 - v_2) + 2,5v_2 = 30$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $v_2$:

$40,5 - 4,5v_2 + 2,5v_2 = 30$

$40,5 - 2v_2 = 30$

$2v_2 = 40,5 - 30$

$2v_2 = 10,5$

$v_2 = 5,25$

Теперь найдем скорость первого пешехода:

$v_1 = 9 - 5,25 = 3,75$

Ответ: скорость первого пешехода 3,75 км/ч, скорость второго пешехода 5,25 км/ч.