Номер 15.18, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

15.18 При каких значениях a и b решением системы уравнений:

a) $ \begin{cases} (a - 10)x + by = 2b, \\ ax - (b + 4)y = 2a - 20 \end{cases} $ является пара чисел (1; 1);

б) $ \begin{cases} (a + 1)x - by = 2b, \\ ax + (b + 1)y = 5a \end{cases} $ является пара чисел (-4; -6)?

По условию, пара чисел (1; 1) является решением системы уравнений. Это означает, что если подставить $x=1$ и $y=1$ в оба уравнения, то получатся верные равенства. Выполним эту подстановку в исходную систему:

$ \begin{cases} (a - 10)x + by = 2b \\ ax - (b + 4)y = 2a - 20 \end{cases} $

Подставляем $x=1$, $y=1$:

$ \begin{cases} (a - 10) \cdot 1 + b \cdot 1 = 2b \\ a \cdot 1 - (b + 4) \cdot 1 = 2a - 20 \end{cases} $

В результате мы получаем систему уравнений с двумя переменными, a и b. Упростим её:

$ \begin{cases} a - 10 + b = 2b \\ a - b - 4 = 2a - 20 \end{cases} $

Приведем подобные слагаемые в каждом уравнении:

$ \begin{cases} a - 10 = 2b - b \\ a - 2a - b = -20 + 4 \end{cases} $

$ \begin{cases} a - 10 = b \\ -a - b = -16 \end{cases} $

Теперь решим полученную систему методом подстановки. Подставим выражение для b из первого уравнения ($b = a - 10$) во второе уравнение:

$-a - (a - 10) = -16$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно a:

$-a - a + 10 = -16$

$-2a = -16 - 10$

$-2a = -26$

$a = 13$

Теперь найдем значение b, подставив найденное значение a в выражение $b = a - 10$:

$b = 13 - 10 = 3$

Ответ: $a=13, b=3$.

Аналогично предыдущему пункту, подставим в систему значения $x=-4$ и $y=-6$, поскольку пара чисел (-4; -6) является решением.

$ \begin{cases} (a + 1)x - by = 2b \\ ax + (b + 1)y = 5a \end{cases} $

Подставляем $x=-4$, $y=-6$:

$ \begin{cases} (a + 1)(-4) - b(-6) = 2b \\ a(-4) + (b + 1)(-6) = 5a \end{cases} $

Упростим полученную систему уравнений относительно a и b:

$ \begin{cases} -4a - 4 + 6b = 2b \\ -4a - 6b - 6 = 5a \end{cases} $

Приведем подобные слагаемые:

$ \begin{cases} -4a - 4 = 2b - 6b \\ -6b - 6 = 5a + 4a \end{cases} $

$ \begin{cases} -4a - 4 = -4b \\ -6b - 6 = 9a \end{cases} $

Упростим первое уравнение, разделив обе его части на -4:

$a + 1 = b$

Теперь подставим полученное выражение для b во второе уравнение системы ($-6b - 6 = 9a$):

$-6(a + 1) - 6 = 9a$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$-6a - 6 - 6 = 9a$

$-12 = 9a + 6a$

$-12 = 15a$

$a = -\frac{12}{15}$

Сократим дробь на 3:

$a = -\frac{4}{5}$

Теперь найдем значение b, используя выражение $b = a + 1$:

$b = -\frac{4}{5} + 1 = -\frac{4}{5} + \frac{5}{5} = \frac{1}{5}$

Ответ: $a = -4/5, b = 1/5$.