Номер 15.11, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 15. Метод алгебраического сложения - номер 15.11, страница 77.

Условие.

Решите систему уравнений:

15.11 а)

$\begin{cases} \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y = 1, \\ 6x - 5y = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y = 11, \\ \frac{3}{5}x - 2y = 8; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{1}{4}x - \frac{1}{3}y = 4, \\ \frac{4}{5}x - 3y = 7; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{1}{5}x + \frac{1}{4}y = -1, \\ 2x - 3y = -54. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а)

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y = 1 \\ 6x - 5y = 3 \end{cases} $$

Для удобства избавимся от дробей в первом уравнении, умножив его на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, то есть на 6:

$$ 6 \cdot (\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y) = 6 \cdot 1 $$

$$ 3x - 2y = 6 $$

Теперь система имеет вид:

$$ \begin{cases} 3x - 2y = 6 \\ 6x - 5y = 3 \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:

$$ -2(3x - 2y) = -2(6) \implies -6x + 4y = -12 $$

Система примет вид:

$$ \begin{cases} -6x + 4y = -12 \\ 6x - 5y = 3 \end{cases} $$

Сложим уравнения почленно:

$$ (-6x + 6x) + (4y - 5y) = -12 + 3 $$

$$ -y = -9 $$

$$ y = 9 $$

Подставим найденное значение $y = 9$ в уравнение $3x - 2y = 6$:

$$ 3x - 2(9) = 6 $$

$$ 3x - 18 = 6 $$

$$ 3x = 24 $$

$$ x = 8 $$

Проверка:

$$ \frac{1}{2}(8) - \frac{1}{3}(9) = 4 - 3 = 1 $$

$$ 6(8) - 5(9) = 48 - 45 = 3 $$

Решение верное.

Ответ: $(8; 9)$

б)

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y = 11 \\ \frac{3}{5}x - 2y = 8 \end{cases} $$

Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 15 (НОК(3, 5)), а второе на 5:

$$ 15 \cdot (\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y) = 15 \cdot 11 \implies 5x + 3y = 165 $$

$$ 5 \cdot (\frac{3}{5}x - 2y) = 5 \cdot 8 \implies 3x - 10y = 40 $$

Получим систему:

$$ \begin{cases} 5x + 3y = 165 \\ 3x - 10y = 40 \end{cases} $$

Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 10, а второе на 3, чтобы избавиться от $y$:

$$ 10(5x + 3y) = 10(165) \implies 50x + 30y = 1650 $$

$$ 3(3x - 10y) = 3(40) \implies 9x - 30y = 120 $$

Новая система:

$$ \begin{cases} 50x + 30y = 1650 \\ 9x - 30y = 120 \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$ 59x = 1770 $$

$$ x = \frac{1770}{59} = 30 $$

Подставим $x = 30$ в уравнение $3x - 10y = 40$:

$$ 3(30) - 10y = 40 $$

$$ 90 - 10y = 40 $$

$$ -10y = -50 $$

$$ y = 5 $$

Проверка:

$$ \frac{1}{3}(30) + \frac{1}{5}(5) = 10 + 1 = 11 $$

$$ \frac{3}{5}(30) - 2(5) = 18 - 10 = 8 $$

Решение верное.

Ответ: $(30; 5)$

в)

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{4}x - \frac{1}{3}y = 4 \\ \frac{4}{5}x - 3y = 7 \end{cases} $$

Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 12 (НОК(4, 3)), а второе на 5:

$$ 12 \cdot (\frac{1}{4}x - \frac{1}{3}y) = 12 \cdot 4 \implies 3x - 4y = 48 $$

$$ 5 \cdot (\frac{4}{5}x - 3y) = 5 \cdot 7 \implies 4x - 15y = 35 $$

Получим систему:

$$ \begin{cases} 3x - 4y = 48 \\ 4x - 15y = 35 \end{cases} $$

Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на -3, чтобы избавиться от $x$:

$$ 4(3x - 4y) = 4(48) \implies 12x - 16y = 192 $$

$$ -3(4x - 15y) = -3(35) \implies -12x + 45y = -105 $$

Новая система:

$$ \begin{cases} 12x - 16y = 192 \\ -12x + 45y = -105 \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$ 29y = 87 $$

$$ y = \frac{87}{29} = 3 $$

Подставим $y = 3$ в уравнение $3x - 4y = 48$:

$$ 3x - 4(3) = 48 $$

$$ 3x - 12 = 48 $$

$$ 3x = 60 $$

$$ x = 20 $$

Проверка:

$$ \frac{1}{4}(20) - \frac{1}{3}(3) = 5 - 1 = 4 $$

$$ \frac{4}{5}(20) - 3(3) = 16 - 9 = 7 $$

Решение верное.

Ответ: $(20; 3)$

г)

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{5}x + \frac{1}{4}y = -1 \\ 2x - 3y = -54 \end{cases} $$

Избавимся от дробей в первом уравнении, умножив его на 20 (НОК(5, 4)):

$$ 20 \cdot (\frac{1}{5}x + \frac{1}{4}y) = 20 \cdot (-1) $$

$$ 4x + 5y = -20 $$

Получим систему:

$$ \begin{cases} 4x + 5y = -20 \\ 2x - 3y = -54 \end{cases} $$

Решим методом сложения. Умножим второе уравнение на -2:

$$ -2(2x - 3y) = -2(-54) \implies -4x + 6y = 108 $$

Новая система:

$$ \begin{cases} 4x + 5y = -20 \\ -4x + 6y = 108 \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$ 11y = 88 $$

$$ y = 8 $$

Подставим $y = 8$ в уравнение $2x - 3y = -54$:

$$ 2x - 3(8) = -54 $$

$$ 2x - 24 = -54 $$

$$ 2x = -30 $$

$$ x = -15 $$

Проверка:

$$ \frac{1}{5}(-15) + \frac{1}{4}(8) = -3 + 2 = -1 $$

$$ 2(-15) - 3(8) = -30 - 24 = -54 $$

Решение верное.

Ответ: $(-15; 8)$