Номер 15.12, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 15. Метод алгебраического сложения. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Часть 2 - номер 15.12, страница 77.

Условие.

Решите систему уравнений:

15.12 а) $\begin{cases} \frac{y+1}{3x-4} = \frac{1}{2}, \\ \frac{5x+y}{3x+11} = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{3x+10}{y+1} = \frac{1}{12}, \\ \frac{5x+y}{9x+2y} = \frac{4}{5}. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{y + 1}{3x - 4} = \frac{1}{2} \\ \frac{5x + y}{3x + 11} = 1 \end{cases} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели не равны нулю: $3x - 4 \neq 0 \implies x \neq \frac{4}{3}$ и $3x + 11 \neq 0 \implies x \neq -\frac{11}{3}$.

Упростим каждое уравнение системы, используя свойство пропорции (перекрестное умножение).

Из первого уравнения получаем:

$2(y + 1) = 1(3x - 4) \implies 2y + 2 = 3x - 4 \implies 3x - 2y = 6$

Из второго уравнения получаем:

$5x + y = 1(3x + 11) \implies 5x + y = 3x + 11 \implies 2x + y = 11$

Теперь мы имеем систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 3x - 2y = 6 \\ 2x + y = 11 \end{cases} $

Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 11 - 2x$.

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$3x - 2(11 - 2x) = 6$

$3x - 22 + 4x = 6$

$7x = 28$

$x = 4$

Найденное значение $x$ удовлетворяет ОДЗ.

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 11 - 2x$:

$y = 11 - 2(4) = 11 - 8 = 3$

Проверка показывает, что пара чисел $(4; 3)$ является решением исходной системы.

Ответ: (4; 3).

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{3x + 10}{y + 1} = \frac{1}{12} \\ \frac{5x + y}{9x + 2y} = \frac{4}{5} \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $y + 1 \neq 0 \implies y \neq -1$ и $9x + 2y \neq 0$.

Упростим каждое уравнение системы.

Из первого уравнения:

$12(3x + 10) = 1(y + 1) \implies 36x + 120 = y + 1 \implies y = 36x + 119$

Из второго уравнения:

$5(5x + y) = 4(9x + 2y) \implies 25x + 5y = 36x + 8y \implies 11x + 3y = 0$

Получаем следующую систему:

$ \begin{cases} y = 36x + 119 \\ 11x + 3y = 0 \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$11x + 3(36x + 119) = 0$

$11x + 108x + 357 = 0$

$119x = -357$

$x = -3$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$:

$y = 36(-3) + 119 = -108 + 119 = 11$

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения ОДЗ: $y = 11 \neq -1$; $9(-3) + 2(11) = -27 + 22 = -5 \neq 0$. Все условия выполнены.

Проверка показывает, что пара чисел $(-3; 11)$ является решением исходной системы.

Ответ: (-3; 11).