Номер 16.9, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 16. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций - номер 16.9, страница 81.

Условие.

16.9 Если к числителю и знаменателю дроби прибавить по единице, то получится $\frac{1}{2}$, а если из них вычесть по единице, то получится $\frac{1}{3}$. Найдите эту дробь.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Обозначим искомую дробь как $\frac{x}{y}$, где $x$ — числитель, а $y$ — знаменатель.

Исходя из условия задачи, мы можем составить два уравнения.

Первое условие: если к числителю и знаменателю прибавить по единице, то получится дробь $\frac{1}{2}$.Математически это записывается так:$$ \frac{x + 1}{y + 1} = \frac{1}{2} $$

Второе условие: если из числителя и знаменателя вычесть по единице, то получится дробь $\frac{1}{3}$.Математически это записывается так:$$ \frac{x - 1}{y - 1} = \frac{1}{3} $$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:$$ \begin{cases} \frac{x + 1}{y + 1} = \frac{1}{2} \\ \frac{x - 1}{y - 1} = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Решим эту систему. Упростим каждое уравнение, используя свойство пропорции (перекрестное умножение).

Из первого уравнения:$2(x + 1) = 1(y + 1)$$2x + 2 = y + 1$$y = 2x + 1$

Из второго уравнения:$3(x - 1) = 1(y - 1)$$3x - 3 = y - 1$

Теперь подставим выражение для $y$ из первого преобразованного уравнения ($y = 2x + 1$) во второе преобразованное уравнение:$3x - 3 = (2x + 1) - 1$$3x - 3 = 2x$$3x - 2x = 3$$x = 3$

Мы нашли значение числителя. Теперь найдем значение знаменателя, подставив $x = 3$ в выражение $y = 2x + 1$:$y = 2(3) + 1$$y = 6 + 1$$y = 7$

Таким образом, искомая дробь — это $\frac{3}{7}$.

Проверим правильность решения:
1) Прибавляем 1 к числителю и знаменателю: $\frac{3+1}{7+1} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Верно.
2) Вычитаем 1 из числителя и знаменателя: $\frac{3-1}{7-1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Верно.

Ответ: $\frac{3}{7}$.