Номер 16.15, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

16.15 Двое рабочих изготовили 162 детали. Первый работал 8 дней, а второй — 15 дней. Сколько деталей изготовил каждый рабочий, если первый изготовил за 5 дней на 3 детали больше, чем второй за 7 дней?

Для решения данной задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — количество деталей, которое первый рабочий изготавливает за один день (его производительность), а $y$ — производительность второго рабочего.

Из условия известно, что всего рабочие изготовили 162 детали. Первый работал 8 дней, а второй — 15 дней. На основе этих данных мы можем составить первое уравнение:

$8x + 15y = 162$

Также в условии сказано, что первый рабочий за 5 дней изготовил на 3 детали больше, чем второй за 7 дней. Это позволяет нам составить второе уравнение:

$5x = 7y + 3$

Приведем второе уравнение к стандартному виду:

$5x - 7y = 3$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 8x + 15y = 162 \\ 5x - 7y = 3 \end{cases}$

Решим эту систему методом исключения. Для этого умножим первое уравнение на 5, а второе — на 8, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали одинаковыми:

$\begin{cases} 5(8x + 15y) = 5 \cdot 162 \\ 8(5x - 7y) = 8 \cdot 3 \end{cases}$

$\begin{cases} 40x + 75y = 810 \\ 40x - 56y = 24 \end{cases}$

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(40x + 75y) - (40x - 56y) = 810 - 24$

$40x + 75y - 40x + 56y = 786$

$131y = 786$

Найдем $y$:

$y = \frac{786}{131} = 6$

Таким образом, производительность второго рабочего составляет 6 деталей в день.

Подставим найденное значение $y=6$ в одно из исходных уравнений, например, во второе ($5x - 7y = 3$), чтобы найти $x$:

$5x - 7(6) = 3$

$5x - 42 = 3$

$5x = 3 + 42$

$5x = 45$

$x = \frac{45}{5} = 9$

Следовательно, производительность первого рабочего — 9 деталей в день.

Теперь мы можем ответить на главный вопрос задачи: сколько деталей изготовил каждый рабочий за все время.

Количество деталей, изготовленных первым рабочим (за 8 дней):

$8 \text{ дней} \times 9 \text{ деталей/день} = 72 \text{ детали}$

Количество деталей, изготовленных вторым рабочим (за 15 дней):

$15 \text{ дней} \times 6 \text{ деталей/день} = 90 \text{ деталей}$

Проверка: общее количество деталей $72 + 90 = 162$, что соответствует условию задачи.

Ответ: первый рабочий изготовил 72 детали, второй рабочий изготовил 90 деталей.