Номер 16.20, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

16.20 Известно, что 30 % числа $a$ на 20 больше, чем 25 % числа $b$, а 30 % числа $b$ на 8 больше, чем 20 % числа $a$. Найдите числа $a$ и $b$.

Пусть искомые числа равны $a$ и $b$. Составим систему уравнений исходя из условий задачи.

Первое условие: "30% числа $a$ на 20 больше, чем 25% числа $b$".
Представим проценты в виде десятичных дробей: 30% это $0.3$, а 25% это $0.25$.
Получаем первое уравнение: $0.3a = 0.25b + 20$.

Второе условие: "30% числа $b$ на 8 больше, чем 20% числа $a$".
Представим проценты в виде десятичных дробей: 30% это $0.3$, а 20% это $0.2$.
Получаем второе уравнение: $0.3b = 0.2a + 8$.

Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} 0.3a - 0.25b = 20 \\ -0.2a + 0.3b = 8 \end{cases} $

Для удобства решения умножим каждое уравнение на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$ \begin{cases} 30a - 25b = 2000 \\ -20a + 30b = 800 \end{cases} $

Упростим полученные уравнения. Первое уравнение можно разделить на 5, а второе на 10:
$ \begin{cases} 6a - 5b = 400 \\ -2a + 3b = 80 \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Для этого умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $a$ стали противоположными:
$3(-2a + 3b) = 3(80)$
$-6a + 9b = 240$

Теперь сложим это преобразованное уравнение с первым уравнением системы ($6a - 5b = 400$):
$(-6a + 9b) + (6a - 5b) = 240 + 400$
$4b = 640$
$b = \frac{640}{4}$
$b = 160$

Теперь, зная значение $b$, найдем значение $a$. Подставим $b = 160$ в одно из упрощенных уравнений, например, в $-2a + 3b = 80$:
$-2a + 3(160) = 80$
$-2a + 480 = 80$
$480 - 80 = 2a$
$400 = 2a$
$a = \frac{400}{2}$
$a = 200$

Проверка:
1) 30% от $a$ ($200$) равно $0.3 \times 200 = 60$. 25% от $b$ ($160$) равно $0.25 \times 160 = 40$. Разница: $60 - 40 = 20$. Условие выполняется.
2) 30% от $b$ ($160$) равно $0.3 \times 160 = 48$. 20% от $a$ ($200$) равно $0.2 \times 200 = 40$. Разница: $48 - 40 = 8$. Условие выполняется.

Ответ: $a = 200$, $b = 160$.