Номер 16.16, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

16.16 В квартире Ивана Петровича установлен двухтарифный счётчик, который позволяет учитывать расход электроэнергии по разным тарифам в дневное и ночное время. В январе расход электроэнергии в дневное время составил 200 киловатт-часов ($ \text{кВт} \cdot \text{ч} $), а в ночное — 20 $ \text{кВт} \cdot \text{ч} $. По квитанции Иван Петрович заплатил 640 р. В июле расход электроэнергии в дневное время составил 120 $ \text{кВт} \cdot \text{ч} $, а в ночное — 10 $ \text{кВт} \cdot \text{ч} $. По квитанции Иван Петрович заплатил 380 р. Вычислите дневной и ночной тариф расхода электроэнергии. (Тариф — это цена 1 киловатт-часа электроэнергии.)

Для решения данной задачи необходимо составить систему уравнений. Обозначим переменными искомые величины:

Пусть $x$ — стоимость 1 кВт·ч электроэнергии в дневное время (дневной тариф) в рублях.

Пусть $y$ — стоимость 1 кВт·ч электроэнергии в ночное время (ночной тариф) в рублях.

Исходя из данных за январь, составим первое уравнение. Расход составил 200 кВт·ч днем и 20 кВт·ч ночью, а общая сумма к оплате — 640 рублей.

$200x + 20y = 640$

Исходя из данных за июль, составим второе уравнение. Расход составил 120 кВт·ч днем и 10 кВт·ч ночью, а общая сумма к оплате — 380 рублей.

$120x + 10y = 380$

Получаем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} 200x + 20y = 640 \\ 120x + 10y = 380 \end{cases} $

Для упрощения решения разделим обе части первого уравнения на 20, а второго — на 10:

$ \begin{cases} 10x + y = 32 \\ 12x + y = 38 \end{cases} $

Теперь решим систему методом вычитания. Вычтем из второго уравнения первое:

$(12x + y) - (10x + y) = 38 - 32$

$12x - 10x = 6$

$2x = 6$

$x = 3$

Таким образом, дневной тариф составляет 3 рубля за кВт·ч.

Подставим найденное значение $x=3$ в первое упрощенное уравнение ($10x + y = 32$), чтобы найти $y$:

$10(3) + y = 32$

$30 + y = 32$

$y = 32 - 30$

$y = 2$

Таким образом, ночной тариф составляет 2 рубля за кВт·ч.

Ответ: дневной тариф составляет 3 рубля за кВт·ч, а ночной тариф — 2 рубля за кВт·ч.