Номер 9, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

9 Для двух линейных функций $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ подберите такие коэффициенты $k_1, k_2, b_1, b_2$, чтобы их графики пересекались во втором координатном угле и обе функции были бы убывающими.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько условий, которые накладываются на коэффициенты $k_1, k_2, b_1, b_2$. Разберем каждое из них.

1. Обе функции должны быть убывающими.

Линейная функция $y = kx + b$ является убывающей, если ее угловой коэффициент $k$ (тангенс угла наклона прямой) отрицателен. Таким образом, для обеих функций должно выполняться:

$k_1 < 0$

$k_2 < 0$

2. Графики функций должны пересекаться.

Две прямые на плоскости пересекаются в одной точке, если они не параллельны. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Следовательно, для пересечения необходимо, чтобы:

$k_1 \neq k_2$

3. Точка пересечения должна лежать во втором координатном угле.

Второй координатный угол (или квадрант) — это область, где абсцисса (координата $x$) отрицательна, а ордината (координата $y$) положительна. Если точка пересечения $(x_0, y_0)$, то должны выполняться условия:

$x_0 < 0$

$y_0 > 0$

Найдем координаты точки пересечения. Для этого приравняем правые части уравнений функций:

$k_1x_0 + b_1 = k_2x_0 + b_2$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выразить $x_0$:

$k_1x_0 - k_2x_0 = b_2 - b_1$

$x_0(k_1 - k_2) = b_2 - b_1$

$x_0 = \frac{b_2 - b_1}{k_1 - k_2}$

Чтобы $x_0 < 0$, числитель и знаменатель дроби должны иметь разные знаки. То есть, если $k_1 - k_2 > 0$, то $b_2 - b_1 < 0$. И наоборот, если $k_1 - k_2 < 0$, то $b_2 - b_1 > 0$.

Теперь рассмотрим условие $y_0 > 0$. Убывающая функция ($k < 0$) может проходить через второй квадрант только в том случае, если она пересекает ось ординат ($y$) в положительной точке. Точка пересечения с осью $y$ — это значение функции при $x=0$, которое равно коэффициенту $b$. Если бы $b \le 0$, то убывающая прямая находилась бы только в I, IV и III квадрантах (или только в IV и III, если $b < 0$). Таким образом, для обеих функций необходимо, чтобы:

$b_1 > 0$

$b_2 > 0$

Если это условие выполнено, то для любого $x_0 < 0$ значение $y_0 = kx_0 + b$ будет автоматически положительным, так как $k < 0, x_0 < 0 \Rightarrow kx_0 > 0$, и значит $y_0 = (\text{положительное число}) + b > 0$.

Подбор коэффициентов

Итак, нам нужно подобрать коэффициенты, удовлетворяющие системе неравенств:

• $k_1 < 0, k_2 < 0$
• $k_1 \neq k_2$
• $b_1 > 0, b_2 > 0$
• $\frac{b_2 - b_1}{k_1 - k_2} < 0$

Давайте выберем конкретные значения:

1. Пусть $k_1 = -3$ и $k_2 = -1$. Оба коэффициента отрицательны и не равны друг другу.

2. Знаменатель для $x_0$ будет $k_1 - k_2 = -3 - (-1) = -2$. Он отрицателен.

3. Чтобы дробь для $x_0$ была отрицательной, числитель $b_2 - b_1$ должен быть положительным. Это значит, что $b_2 > b_1$.

4. Выберем положительные $b_1$ и $b_2$ так, чтобы $b_2 > b_1$. Например, пусть $b_1 = 2$ и $b_2 = 4$.

Получили две функции: $y = -3x + 2$ и $y = -x + 4$.

Проверим их точку пересечения:

$-3x + 2 = -x + 4$

$-2x = 2$

$x_0 = -1$

Найдем $y_0$, подставив $x_0 = -1$ в любое из уравнений (например, во второе):

$y_0 = -(-1) + 4 = 1 + 4 = 5$

Точка пересечения $(-1, 5)$. Поскольку $x_0 = -1 < 0$ и $y_0 = 5 > 0$, эта точка находится во втором координатном угле. Все условия задачи выполнены.

Ответ: Один из возможных вариантов: для функции $y = k_1x + b_1$ коэффициенты $k_1 = -3, b_1 = 2$; для функции $y = k_2x + b_2$ коэффициенты $k_2 = -1, b_2 = 4$. То есть, функции $y = -3x + 2$ и $y = -x + 4$.