Номер 12.5, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Используя в качестве коэффициентов $k$ и $m$ числа $-2, -1, 0, 1, 2$, составляют различные формулы линейной функции $y = kx + m$.

12.5 a) Сколько всего различных формул можно составить?

б) У скольких из полученных формул коэффициент $k$ будет отрицателен?

в) У скольких из этих формул коэффициент $m$ будет неотрицателен?

г) У скольких из этих формул коэффициенты $k$ и $m$ будут различны по знаку?

Для составления различных формул линейной функции $y = kx + m$ используются коэффициенты $k$ и $m$ из множества чисел $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$. Всего в этом множестве 5 различных чисел.

а) Сколько всего различных формул можно составить?
Чтобы найти общее количество различных формул, нужно определить, сколько существует уникальных пар коэффициентов $(k, m)$.
Для выбора коэффициента $k$ есть 5 возможных вариантов из заданного множества: $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
Аналогично, для выбора коэффициента $m$ также есть 5 возможных вариантов из того же множества.
Поскольку выбор $k$ и выбор $m$ независимы друг от друга, общее количество различных формул равно произведению числа вариантов для каждого коэффициента (согласно комбинаторному правилу произведения).
Число формул = (количество вариантов для $k$) $\times$ (количество вариантов для $m$) = $5 \times 5 = 25$.
Ответ: 25.

б) У скольких из полученных формул коэффициент k будет отрицателен?
Нам нужно найти количество формул, где $k < 0$. Из заданного множества отрицательными значениями для $k$ являются $-2$ и $-1$. Таким образом, для коэффициента $k$ есть 2 варианта выбора.
Коэффициент $m$ может принимать любое из 5 значений из множества $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
Количество формул с отрицательным $k$ = (количество вариантов для отрицательного $k$) $\times$ (общее количество вариантов для $m$) = $2 \times 5 = 10$.
Ответ: 10.

в) У скольких из этих формул коэффициент m будет неотрицателен?
Нам нужно найти количество формул, где $m \ge 0$. Неотрицательными значениями из заданного множества являются $0, 1, 2$. Таким образом, для коэффициента $m$ есть 3 варианта выбора.
Коэффициент $k$ может принимать любое из 5 значений из множества.
Количество формул с неотрицательным $m$ = (общее количество вариантов для $k$) $\times$ (количество вариантов для неотрицательного $m$) = $5 \times 3 = 15$.
Ответ: 15.

г) У скольких из этих формул коэффициенты k и m будут различны по знаку?
Коэффициенты $k$ и $m$ различны по знаку, если один из них положителен ($>0$), а другой отрицателен ($<0$). Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным, поэтому случаи, когда один из коэффициентов равен нулю, не подходят.
Положительные числа в множестве: $1, 2$ (всего 2 варианта).
Отрицательные числа в множестве: $-2, -1$ (всего 2 варианта).
Рассмотрим два взаимоисключающих случая:
1. Коэффициент $k$ положителен, а коэффициент $m$ отрицателен. Количество таких комбинаций равно произведению числа вариантов для каждого: $2 \times 2 = 4$.
2. Коэффициент $k$ отрицателен, а коэффициент $m$ положителен. Количество таких комбинаций также равно: $2 \times 2 = 4$.
Общее количество формул, где коэффициенты имеют разные знаки, равно сумме количеств в этих двух случаях: $4 + 4 = 8$.
Ответ: 8.