Номер 11.22, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

11.22 Графики линейных функций $y = kx + m$ и $y = ax + b$ пересекаются в точке, лежащей внутри третьего координатного угла координатной плоскости $xOy$. Определите знаки коэффициентов $k, m, a, b$, если известно, что прямая $y = kx + m$ не проходит через второй координатный угол, а прямая $y = ax + b$ проходит через начало координат.

Для определения знаков коэффициентов $k, m, a, b$ проанализируем каждое условие задачи последовательно.

Анализ прямой $y = ax + b$ и определение знаков $b$ и $a$

По условию, прямая $y = ax + b$ проходит через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Подставив координаты этой точки в уравнение прямой, получаем: $0 = a \cdot 0 + b$ Отсюда следует, что $b = 0$.

Таким образом, уравнение второй прямой имеет вид $y = ax$.

Далее, по условию, графики пересекаются в точке, лежащей внутри третьего координатного угла. Обозначим эту точку пересечения $(x_0, y_0)$. Для любой точки в третьем координатном угле её координаты строго отрицательны: $x_0 < 0$ и $y_0 < 0$.

Поскольку точка $(x_0, y_0)$ лежит на прямой $y = ax$, её координаты удовлетворяют этому уравнению: $y_0 = ax_0$. Выразим отсюда коэффициент $a$: $a = \frac{y_0}{x_0}$

Так как $x_0 < 0$ и $y_0 < 0$, их частное (деление отрицательного числа на отрицательное) будет положительным числом. Следовательно, $a > 0$.

Анализ прямой $y = kx + m$ и определение знаков $k$ и $m$

Известно, что прямая $y = kx + m$ не проходит через второй координатный угол (область, где $x < 0$ и $y > 0$). Проанализируем, при каких значениях $k$ и $m$ это возможно.

• Коэффициент $m$ является ординатой точки пересечения прямой с осью $Oy$. Если $m > 0$, то точка $(0, m)$ лежит на положительной части оси $Oy$. Любая невертикальная прямая, проходящая через эту точку, обязательно будет иметь точки либо во втором квадранте (если $k \le 0$), либо в первом, а затем во втором (если $k > 0$). Таким образом, для выполнения условия необходимо, чтобы $m \le 0$.
• Коэффициент $k$ определяет наклон прямой. Если $k < 0$ (прямая убывающая) и $m \le 0$, прямая будет проходить из второго квадранта в третий и четвертый. Следовательно, для выполнения условия наклон не может быть отрицательным, то есть $k \ge 0$.

Таким образом, чтобы прямая $y = kx + m$ не проходила через второй квадрант, необходимо выполнение условий: $k \ge 0$ и $m \le 0$.

Теперь используем все условия вместе. Точка пересечения $(x_0, y_0)$ удовлетворяет обоим уравнениям: $y_0 = kx_0 + m$ $y_0 = ax_0$

Приравняем правые части: $kx_0 + m = ax_0 \implies m = ax_0 - kx_0 \implies m = (a - k)x_0$

Поскольку точка пересечения находится внутри третьего квадранта, она не может быть началом координат, значит $x_0 \ne 0$ и $m \ne 0$ (если бы $m=0$, то и $x_0=0$ или $a=k$; в первом случае точка пересечения $(0,0)$, во втором - прямые совпадают, что противоречит условиям).

Так как мы установили, что $m \le 0$ и $m \ne 0$, то окончательно получаем $m < 0$.

В равенстве $m = (a-k)x_0$ нам известно, что $m < 0$ и $x_0 < 0$. Чтобы произведение $(a-k)x_0$ было отрицательным, множитель $(a-k)$ должен быть положительным: $a - k > 0 \implies a > k$.

Это не противоречит ранее найденному условию $k \ge 0$.

Соберем все полученные результаты:

• $k \ge 0$ (и дополнительно $k < a$)
• $m < 0$
• $a > 0$
• $b = 0$

Ответ: $k \ge 0, m < 0, a > 0, b = 0$.