Номер 11.21, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 11. Взаимное расположение графиков линейных функций. Глава 2. Линейная функция. Часть 2 - номер 11.21, страница 62.

Условие.

11.21 Построив графики линейных функций $y = 2x - 3$ и $y = 3x - 7$, решите заданное уравнение или неравенство:

a) $2x - 3 = 3x - 7$;

б) $2x - 3 > 3x - 7$;

в) $2x - 3 < 3x - 7$;

г) $2x - 3 \ge 3x - 7$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи построим графики линейных функций $y = 2x - 3$ и $y = 3x - 7$ в одной системе координат. График каждой линейной функции — это прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

Для функции $y = 2x - 3$:

• При $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка (0, -3).
• При $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 - 3 = 1$. Точка (2, 1).

Для функции $y = 3x - 7$:

• При $x = 2$, $y = 3 \cdot 2 - 7 = -1$. Точка (2, -1).
• При $x = 3$, $y = 3 \cdot 3 - 7 = 2$. Точка (3, 2).

Построив графики по этим точкам, мы можем найти точку их пересечения. Абсцисса ($x$) этой точки является решением уравнения, а взаимное расположение графиков помогает решить неравенства.

а) $2x - 3 = 3x - 7$

Решением этого уравнения является абсцисса точки пересечения графиков функций $y = 2x - 3$ и $y = 3x - 7$. На графике видно, что прямые пересекаются. Чтобы найти точное значение, приравняем выражения для $y$:

$2x - 3 = 3x - 7$

$7 - 3 = 3x - 2x$

$x = 4$

Таким образом, графики пересекаются в точке с абсциссой $x=4$.

Ответ: $4$

б) $2x - 3 > 3x - 7$

Данное неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $y = 2x - 3$ расположен выше графика функции $y = 3x - 7$. Анализируя построенные графики, мы видим, что это происходит для всех точек, находящихся левее точки пересечения. Точка пересечения имеет абсциссу $x=4$, следовательно, неравенство верно при $x < 4$.

Ответ: $x \in (-\infty; 4)$

в) $2x - 3 < 3x - 7$

Данное неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $y = 2x - 3$ расположен ниже графика функции $y = 3x - 7$. Анализируя построенные графики, мы видим, что это происходит для всех точек, находящихся правее точки пересечения. Точка пересечения имеет абсциссу $x=4$, следовательно, неравенство верно при $x > 4$.

Ответ: $x \in (4; +\infty)$

г) $2x - 3 \geq 3x - 7$

Данное неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $y = 2x - 3$ расположен не ниже (то есть выше или на одном уровне) графика функции $y = 3x - 7$. Это условие выполняется в самой точке пересечения (где они равны) и для всех точек левее нее (где график $y = 2x - 3$ выше). Таким образом, решение неравенства — это все значения $x$, которые меньше или равны 4.

Ответ: $x \in (-\infty; 4]$