Страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Найдите объём, размах и моду ряда данных 13, 7, 8, 11, 19, 13, 10, 10, 10, 13, 20, 19, 13.

Для решения задачи проанализируем данный ряд чисел: 13, 7, 8, 11, 19, 13, 10, 10, 10, 13, 20, 19, 13.

Для удобства вычислений размаха и моды, сначала упорядочим этот ряд по возрастанию:

7, 8, 10, 10, 10, 11, 13, 13, 13, 13, 19, 19, 20.

Объём

Объём ряда данных — это количество всех элементов в этом ряду. Посчитаем количество чисел в исходном наборе.

В ряду 13, 7, 8, 11, 19, 13, 10, 10, 10, 13, 20, 19, 13 всего 13 чисел.

Ответ: 13.

Размах

Размах ряда данных — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду. Воспользуемся упорядоченным рядом:

7, 8, 10, 10, 10, 11, 13, 13, 13, 13, 19, 19, 20.

Наибольшее значение ($x_{max}$) равно 20.

Наименьшее значение ($x_{min}$) равно 7.

Размах вычисляется по формуле: $R = x_{max} - x_{min}$.

Подставляем значения: $R = 20 - 7 = 13$.

Ответ: 13.

Мода

Мода ряда данных — это значение, которое встречается в ряду наиболее часто. Проанализируем частоту появления каждого числа в упорядоченном ряду:

7, 8, 10, 10, 10, 11, 13, 13, 13, 13, 19, 19, 20.

Подсчитаем количество повторений для каждого числа:

Число 7 встречается 1 раз.

Число 8 встречается 1 раз.

Число 10 встречается 3 раза.

Число 11 встречается 1 раз.

Число 13 встречается 4 раза.

Число 19 встречается 2 раза.

Число 20 встречается 1 раз.

Число 13 встречается чаще всех (4 раза), следовательно, оно является модой данного ряда.

Ответ: 13.

2. Приведите пример ряда, у которого объём равен 7, размах равен нулю, а мода равна 70.

Для того чтобы составить пример такого ряда, необходимо последовательно проанализировать каждое из заданных условий.

1. Объём ряда равен 7.
Объём (или размер) выборки — это количество элементов в ней. Это означает, что искомый ряд должен состоять из семи чисел.

2. Размах ряда равен нулю.
Размах — это разность между наибольшим ($x_{max}$) и наименьшим ($x_{min}$) значениями в ряду. Условие, что размах равен нулю, можно записать в виде формулы: $x_{max} - x_{min} = 0$. Это равенство верно только в том случае, если $x_{max} = x_{min}$. Если в ряду данных наибольший и наименьший элементы совпадают, это значит, что все элементы в этом ряду одинаковы.

3. Мода ряда равна 70.
Мода — это значение, которое встречается в ряду наиболее часто. Исходя из предыдущего пункта, мы знаем, что все семь чисел в нашем ряду одинаковы. Следовательно, это единственное уникальное число и будет модой ряда. По условию, мода равна 70.

Объединяя все три условия, мы приходим к выводу, что искомый ряд должен состоять из семи одинаковых чисел, и этим числом должно быть 70.

Проверим полученный ряд: 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70.

• Объём ряда равен 7 (в ряду семь элементов).
• Размах ряда равен $70 - 70 = 0$.
• Мода ряда равна 70 (это единственное и самое частое значение).

Все условия задачи выполнены.

Ответ: 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70.

3. Какой из трёх показателей (объём, размах, мода) всегда будет натуральным числом?

Чтобы определить, какой из трёх показателей всегда будет натуральным числом, рассмотрим каждый из них по отдельности. Под натуральными числами будем понимать множество целых положительных чисел $\{1, 2, 3, \dots\}$.

объём

Объём выборки — это количество элементов в этой выборке. Поскольку это результат подсчёта количества объектов, для любой непустой выборки он всегда будет целым положительным числом, то есть натуральным. Например, в наборе данных $\{5, 11.3, 11.3, 20\}$ объём равен 4. Число 4 является натуральным. Таким образом, этот показатель не зависит от значений элементов в выборке, а только от их количества.

Ответ: объём всегда будет натуральным числом (для непустой выборки).

размах

Размах выборки — это разность между максимальным ($x_{max}$) и минимальным ($x_{min}$) значениями в ней. Размах не всегда является натуральным числом. Например, если выборка состоит из дробных чисел, как $\{1.5, 3.2, 5.1\}$, то размах будет равен $5.1 - 1.5 = 3.6$, что не является натуральным числом. Также, если все элементы выборки равны, например $\{8, 8, 8\}$, то размах равен $8 - 8 = 0$, а 0 не является натуральным числом.

Ответ: размах не всегда является натуральным числом.

мода

Мода выборки — это значение, которое встречается в ней наиболее часто. Мода — это один из элементов самой выборки. Если выборка содержит числа, не являющиеся натуральными, то и мода может быть не натуральным числом. Например, в выборке $\{7, 8.5, 8.5, 9\}$ модой является число 8.5, которое не является натуральным.

Ответ: мода не всегда является натуральным числом.

Итак, из трёх перечисленных показателей только объём всегда будет являться натуральным числом, так как он представляет собой количество элементов в наборе данных.

Ответ: объём.

4. Какие из трёх показателей (объём, размах, мода) могут оказаться равными нулю?

объём

Объём выборки (статистического ряда) — это количество элементов в этой выборке. Для того чтобы можно было проводить статистический анализ и вычислять такие показатели, как размах или мода, выборка должна содержать хотя бы один элемент. Если объём равен нулю, это означает полное отсутствие данных. Таким образом, в контексте статистического анализа объём выборки всегда является натуральным числом, то есть $n \ge 1$.
Ответ: нет, объём не может быть равен нулю.

размах

Размах выборки определяется как разность между максимальным и минимальным значениями в этой выборке. Формула для вычисления размаха: $R = x_{max} - x_{min}$. Размах может быть равен нулю. Это происходит в том случае, когда все элементы выборки одинаковы, то есть максимальное значение равно минимальному ($x_{max} = x_{min}$).
Например, для ряда данных {4, 4, 4, 4} максимальное значение равно 4, и минимальное тоже равно 4. Размах будет равен $R = 4 - 4 = 0$.
Ответ: да, размах может быть равен нулю.

мода

Мода выборки — это значение, которое встречается в наборе данных чаще всего. Поскольку мода является одним из значений самой выборки, она может быть равна нулю. Это произойдет, если число 0 будет самым часто встречающимся элементом в ряду данных.
Например, для ряда данных {5, 0, 2, 0, 7, 0, 1} число 0 встречается 3 раза, что чаще, чем любое другое число. Следовательно, мода этого ряда равна 0.
Ответ: да, мода может быть равна нулю.

5. Какой из трёх показателей (объём, размах, мода) может оказаться отрицательным числом?

Чтобы определить, какой из трёх показателей может быть отрицательным, необходимо проанализировать определение каждого из них.

Объём
Объём выборки — это количество элементов (наблюдений) в наборе данных. Так как это счётная величина, она всегда выражается целым неотрицательным числом. Например, если в классе 25 учеников, объём выборки по их росту равен 25. Отрицательным это число быть не может.
Ответ: объём не может быть отрицательным числом.

Размах
Размах — это статистический показатель, равный разности между наибольшим и наименьшим значениями в наборе данных. Формула для расчёта размаха: $R = x_{max} - x_{min}$, где $x_{max}$ — максимальное значение, а $x_{min}$ — минимальное значение. Поскольку по определению $x_{max} \ge x_{min}$, их разность $R$ всегда будет неотрицательной ($R \ge 0$). Размах не может быть отрицательным.
Ответ: размах не может быть отрицательным числом.

Мода
Мода — это значение, которое встречается в наборе данных наиболее часто. Мода является одним из значений, присутствующих в самом наборе. Если в наборе данных содержатся отрицательные числа, и какое-то из них является наиболее частым, то и мода будет отрицательным числом. Например, в наборе данных $\{-7, -2, -7, 1, 5, -2, -7\}$ модой является число -7, так как оно встречается чаще любого другого.
Ответ: мода может быть отрицательным числом.

Таким образом, из трёх перечисленных показателей только мода может оказаться отрицательным числом.

6. Числа в ряду данных записали в каком-то другом порядке. Какой из показателей (объём, размах, мода) при этом изменился?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо последовательно проанализировать, как изменение порядка чисел в ряду данных влияет на каждый из указанных показателей: объём, размах и моду.

Рассмотрим для примера некоторый ряд данных: {10, 4, 12, 4, 8}.

Теперь запишем этот же ряд, но в другом порядке: {4, 12, 8, 4, 10}.

Объём

Объём ряда данных — это общее количество чисел (элементов) в этом ряду.
В исходном ряду {10, 4, 12, 4, 8} всего 5 чисел. Его объём равен 5.
В ряду, записанном в другом порядке, {4, 12, 8, 4, 10}, количество чисел не изменилось, их по-прежнему 5.
Перестановка элементов не меняет их общее количество. Следовательно, объём ряда данных не изменяется.

Размах

Размах ряда данных — это разность между его наибольшим (максимальным) и наименьшим (минимальным) значениями. Формула для вычисления размаха $R$: $R = x_{max} - x_{min}$.
В исходном ряду {10, 4, 12, 4, 8} наибольшее значение $x_{max} = 12$, а наименьшее $x_{min} = 4$. Размах равен $12 - 4 = 8$.
В переупорядоченном ряду {4, 12, 8, 4, 10} сам набор чисел остался тем же. Наибольшее значение по-прежнему 12, а наименьшее — 4. Размах также равен $12 - 4 = 8$.
Так как при перестановке максимальный и минимальный элементы ряда не меняются, размах ряда данных также не изменяется.

Мода

Мода ряда данных — это значение, которое встречается в ряду чаще других.
В исходном ряду {10, 4, 12, 4, 8} число 4 встречается дважды, а остальные числа (10, 12, 8) — по одному разу. Таким образом, мода этого ряда равна 4.
В ряду {4, 12, 8, 4, 10} частоты повторения чисел не изменились: число 4 всё так же встречается дважды, и это чаще, чем любое другое число в ряду. Мода по-прежнему равна 4.
Перестановка чисел не влияет на то, сколько раз каждое из них появляется в ряду. Следовательно, мода ряда данных не изменяется.

Вывод

Анализ всех трёх показателей показывает, что ни один из них — ни объём, ни размах, ни мода — не изменяется при перестановке чисел в ряду данных. Эти статистические характеристики зависят от самого набора чисел (какие числа и сколько раз встречаются), а не от их порядка.

Ответ: Ни один из указанных показателей (объём, размах, мода) не изменился.

7. Встретились 3 друга, и каждый пожал руку каждому. Сколько было рукопожатий?

Чтобы найти общее количество рукопожатий, можно рассмотреть все возможные пары друзей или использовать комбинаторную формулу.

Способ 1: Логический перебор
Представим трех друзей и назовем их условно Друг 1, Друг 2 и Друг 3. Теперь посчитаем все уникальные рукопожатия:
1. Друг 1 пожимает руку Другу 2.
2. Друг 1 пожимает руку Другу 3.
3. Друг 2 пожимает руку Другу 3.
На этом все уникальные рукопожатия заканчиваются. Если, например, Друг 2 пожмет руку Другу 1, это будет то же самое рукопожатие, что и первое в нашем списке. Таким образом, всего было совершено 3 рукопожатия.

Способ 2: Использование формулы
Эта задача является классическим примером на нахождение числа сочетаний. Каждое рукопожатие — это уникальная пара из двух человек, и порядок людей в паре не важен. Для нахождения количества рукопожатий в группе из $n$ человек существует специальная формула:
$$ N = \frac{n(n-1)}{2} $$Где $N$ — это общее количество рукопожатий, а $n$ — количество людей.
В нашем случае $n = 3$. Подставим это значение в формулу:
$$ N = \frac{3 \times (3-1)}{2} = \frac{3 \times 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$Оба способа решения приводят к одинаковому результату.

Ответ: 3

8. Каждую вершину квадрата соединили отрезком с каждой.

Сколько провели отрезков?

У квадрата 4 вершины. Задача состоит в том, чтобы найти общее количество отрезков, которые можно провести, соединяя каждую пару из этих 4 вершин. Для решения можно использовать два подхода.

Способ 1: Логический пересчет
Давайте мысленно пронумеруем вершины квадрата: 1, 2, 3 и 4.

• Из вершины 1 можно провести отрезки к 3 другим вершинам (2, 3 и 4). Это 3 отрезка.
• Из вершины 2 можно провести 2 новых отрезка к вершинам 3 и 4. Отрезок к вершине 1 мы уже учли.
• Из вершины 3 можно провести 1 новый отрезок к вершине 4. Отрезки к вершинам 1 и 2 уже посчитаны.
• Из вершины 4 все отрезки (к 1, 2 и 3) уже были проведены и учтены.

Сложим количество полученных отрезков: $3 + 2 + 1 = 6$.
Геометрически эти 6 отрезков являются 4 сторонами квадрата и 2 его диагоналями.

Способ 2: Использование формулы из комбинаторики
Каждый отрезок определяется выбором двух вершин из четырех имеющихся. Порядок вершин в паре не важен (отрезок А-Б — это тот же самый отрезок, что и Б-А). Следовательно, нам нужно найти число сочетаний из 4 элементов по 2.
Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит так:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашей задаче общее число вершин $n=4$, а для построения одного отрезка мы выбираем $k=2$ вершины.
Подставим эти значения в формулу:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.
Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 6

9. В классе 14 мальчиков и 11 девочек. Сколькими способами можно составить пару «мальчик-девочка»?

Для решения этой задачи используется фундаментальный принцип комбинаторики, известный как правило умножения. Нам необходимо сформировать пару, состоящую из одного мальчика и одной девочки.

Процесс выбора можно разбить на два независимых этапа:

1. Выбор мальчика.
2. Выбор девочки.

Согласно условию, в классе 14 мальчиков. Следовательно, существует 14 различных способов выбрать одного мальчика. Обозначим количество способов выбора мальчика как $N_м = 14$.

Также в классе 11 девочек. Это означает, что существует 11 различных способов выбрать одну девочку. Обозначим количество способов выбора девочки как $N_д = 11$.

Поскольку выбор мальчика и выбор девочки являются независимыми событиями, общее количество способов составить пару «мальчик-девочка» равно произведению числа способов на каждом этапе. Таким образом, общее число комбинаций $N$ вычисляется по формуле:

$N = N_м \times N_д$

Подставляя данные из условия задачи, получаем:

$N = 14 \times 11 = 154$

Таким образом, можно составить 154 различные пары «мальчик-девочка».

Ответ: 154

Вариант 2

1 Вычислите наиболее рациональным способом:

$0.32 \cdot 235.7 + 264.3 \cdot 0.32$

Для вычисления данного выражения наиболее рациональным способом следует заметить, что оба слагаемых имеют общий множитель. Это позволяет применить распределительное свойство умножения относительно сложения, которое выглядит так: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$.

В нашем случае общим множителем является число $0,32$. Вынесем его за скобки:

$0,32 \cdot 235,7 + 264,3 \cdot 0,32 = 0,32 \cdot (235,7 + 264,3)$

Теперь выполним сложение чисел в скобках:

$235,7 + 264,3 = 500$

Подставим полученный результат обратно в выражение. Теперь нам осталось выполнить простое умножение:

$0,32 \cdot 500$

Вычислим произведение:

$0,32 \cdot 500 = 160$

Использование распределительного свойства позволило значительно упростить вычисления.

Ответ: 160

2 Выясните, имеет ли выражение смысл, и если да, то равно ли нулю его значение:

$\frac{18,6 \cdot 0,24 + 3\frac{2}{9} \cdot \frac{15}{38}}{7 : 7\frac{1}{2} - \left( 5\frac{1}{15} \cdot 3 - 12\frac{19}{30} \right)} : 2,75$

Для ответа на поставленные вопросы проанализируем выражение и вычислим его значение по частям.

Выясните, имеет ли выражение смысл

Выражение имеет смысл, если в процессе вычислений не встречается деление на ноль. В данном выражении есть три операции деления, которые нужно проверить:

1. Деление числителя на знаменатель основной дроби.
2. Деление в составе знаменателя: $7:7\frac{1}{2}$.
3. Итоговое деление всего выражения на $2,75$.

Проверим, не равен ли какой-либо из делителей нулю.

Делитель во втором пункте, $7\frac{1}{2}$, очевидно не равен нулю.

Делитель в третьем пункте, $2,75$, также не равен нулю.

Остается проверить знаменатель основной дроби: $7:7\frac{1}{2} - (5\frac{1}{15} \cdot 3 - 12\frac{19}{30})$. Вычислим его значение:

1) $7:7\frac{1}{2} = 7 : \frac{15}{2} = 7 \cdot \frac{2}{15} = \frac{14}{15}$.

2) Вычислим выражение в скобках. Сначала умножение:

$5\frac{1}{15} \cdot 3 = \frac{76}{15} \cdot 3 = \frac{76}{5}$.

3) Теперь вычитание в скобках. Переведем $12\frac{19}{30}$ в неправильную дробь:

$12\frac{19}{30} = \frac{12 \cdot 30 + 19}{30} = \frac{379}{30}$.

$\frac{76}{5} - \frac{379}{30} = \frac{76 \cdot 6}{30} - \frac{379}{30} = \frac{456 - 379}{30} = \frac{77}{30}$.

4) Вычислим значение всего знаменателя:

$\frac{14}{15} - \frac{77}{30} = \frac{14 \cdot 2}{30} - \frac{77}{30} = \frac{28 - 77}{30} = -\frac{49}{30}$.

Знаменатель основной дроби равен $-\frac{49}{30}$, что не является нулём. Так как все операции деления в выражении производятся на числа, отличные от нуля, то выражение имеет смысл.

Ответ: да, выражение имеет смысл.

и если да, то равно ли нулю его значение

Значение всего выражения равно нулю тогда и только тогда, когда его общий числитель равен нулю. Общим числителем в данном случае является числитель основной дроби: $18,6 \cdot 0,24 + 3\frac{2}{9} \cdot \frac{15}{38}$.

Проанализируем это выражение:

Первое слагаемое: $18,6 \cdot 0,24$. Оба множителя являются положительными числами, следовательно, их произведение также положительно.

Второе слагаемое: $3\frac{2}{9} \cdot \frac{15}{38}$. Оба множителя также положительны, значит, и их произведение положительно.

Сумма двух положительных чисел всегда является положительным числом и не может быть равна нулю.

Следовательно, значение выражения не равно нулю. Для полноты решения вычислим точное значение всего выражения.

1) Вычислим числитель: $18,6 \cdot 0,24 + 3\frac{2}{9} \cdot \frac{15}{38}$.

$18,6 \cdot 0,24 = 4,464 = \frac{4464}{1000} = \frac{558}{125}$.

$3\frac{2}{9} \cdot \frac{15}{38} = \frac{29}{9} \cdot \frac{15}{38} = \frac{145}{114}$.

$\frac{558}{125} + \frac{145}{114} = \frac{558 \cdot 114 + 145 \cdot 125}{14250} = \frac{63612 + 18125}{14250} = \frac{81737}{14250}$.

2) Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{81737/14250}{-49/30} = \frac{81737}{14250} \cdot (-\frac{30}{49}) = -\frac{81737 \cdot 30}{14250 \cdot 49} = -\frac{81737}{475 \cdot 49} = -\frac{81737}{23275}$.

3) Выполним конечное деление на $2,75$:

$2,75 = 2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}$.

$-\frac{81737}{23275} : \frac{11}{4} = -\frac{81737}{23275} \cdot \frac{4}{11} = -\frac{326948}{256025}$.

Полученное значение $-\frac{326948}{256025}$ не равно нулю.

Ответ: нет, значение выражения не равно нулю.

3 Найдите значение выражения $a - b$, если $a$ — полуразность чисел 68,56 и 25,3, а $b$ — удвоенная сумма чисел 2,405 и 3,41.

Для того чтобы найти значение выражения $a - b$, необходимо последовательно вычислить значения a и b на основе данных в условии задачи.

Сначала найдем значение a. В условии сказано, что a — это полуразность чисел 68,56 и 25,3. Полуразность означает, что нужно найти разность этих чисел и результат разделить на 2.

1. Вычисляем разность чисел: $68{,}56 - 25{,}3 = 43{,}26$.
2. Делим полученную разность на 2, чтобы найти a: $a = \frac{43{,}26}{2} = 21{,}63$.

Теперь найдем значение b. В условии сказано, что b — это удвоенная сумма чисел 2,405 и 3,41. Удвоенная сумма означает, что нужно найти сумму этих чисел и результат умножить на 2.

1. Вычисляем сумму чисел: $2{,}405 + 3{,}41 = 5{,}815$.
2. Умножаем полученную сумму на 2, чтобы найти b: $b = 2 \cdot 5{,}815 = 11{,}63$.

Наконец, зная значения $a = 21{,}63$ и $b = 11{,}63$, мы можем вычислить значение исходного выражения $a - b$.

$a - b = 21{,}63 - 11{,}63 = 10$.

Ответ: 10

4 Найдите неизвестное число, если сумма полуразности этого числа и числа 14,6 и полусуммы числа 3,8 и неизвестного числа равна 5.

$ \frac{x - 14.6}{2} + \frac{3.8 + x}{2} = 5 $

Для решения задачи введем переменную. Пусть неизвестное число — это $x$.

Теперь переведем условие задачи на язык математики:

• «Полуразность этого числа и числа 14,6» записывается как $\frac{x - 14,6}{2}$.

• «Полусумма числа 3,8 и неизвестного числа» записывается как $\frac{3,8 + x}{2}$.

Согласно условию, сумма этих двух выражений равна 5. Составим и решим уравнение:

$\frac{x - 14,6}{2} + \frac{3,8 + x}{2} = 5$

Поскольку у дробей одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{(x - 14,6) + (3,8 + x)}{2} = 5$

Упростим выражение в числителе:

$\frac{x - 14,6 + 3,8 + x}{2} = 5$

$\frac{2x - 10,8}{2} = 5$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$2x - 10,8 = 10$

Перенесем -10,8 в правую часть уравнения, изменив знак на "+":

$2x = 10 + 10,8$

$2x = 20,8$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{20,8}{2}$

$x = 10,4$

Таким образом, неизвестное число равно 10,4.

Ответ: 10,4

5 Решите задачу, выделяя 3 этапа математического моделирования.

Учащиеся трёх седьмых классов поехали на экскурсию за город в трёх автобусах. В третьем автобусе сидело на 5 учеников меньше, чем в первом, и на 4 человека больше, чем во втором. Сколько учеников сидело в каждом автобусе, если всего на экскурсию поехали 67 учеников?

Этап 1. Составление математической модели

Введем переменную для описания условия задачи. Удобнее всего обозначить за $x$ количество учеников в третьем автобусе, так как количество учеников в первом и втором автобусах сравнивается именно с ним.
Пусть $x$ — количество учеников в третьем автобусе.
Из условия известно, что в третьем автобусе сидело на 5 учеников меньше, чем в первом. Это означает, что в первом автобусе было на 5 учеников больше, чем в третьем. Таким образом, количество учеников в первом автобусе равно $(x + 5)$.
Также в условии сказано, что в третьем автобусе было на 4 человека больше, чем во втором. Следовательно, во втором автобусе было на 4 ученика меньше, чем в третьем. Количество учеников во втором автобусе равно $(x - 4)$.
Всего на экскурсию поехали 67 учеников. Можем составить уравнение, приравняв сумму учеников во всех трех автобусах к 67.
Математическая модель (уравнение) выглядит следующим образом:
$(x + 5) + (x - 4) + x = 67$

Этап 2. Работа с математической моделью

На этом этапе решим составленное уравнение, чтобы найти значение $x$.
$(x + 5) + (x - 4) + x = 67$
Раскроем скобки:
$x + 5 + x - 4 + x = 67$
Приведем подобные слагаемые (сложим все $x$ и числовые значения):
$(x + x + x) + (5 - 4) = 67$
$3x + 1 = 67$
Перенесем 1 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$3x = 67 - 1$
$3x = 66$
Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 3:
$x = \frac{66}{3}$
$x = 22$

Этап 3. Интерпретация полученного результата

Мы нашли значение переменной $x=22$. В нашей модели $x$ — это количество учеников в третьем автобусе.
Итак, в третьем автобусе сидело 22 ученика.
Теперь найдем, сколько учеников было в остальных автобусах:
- В первом автобусе: $x + 5 = 22 + 5 = 27$ учеников.
- Во втором автобусе: $x - 4 = 22 - 4 = 18$ учеников.
Проведем проверку. Соответствуют ли полученные данные условию задачи?
1. В третьем автобусе (22) на 5 меньше, чем в первом (27)? Да, $27 - 5 = 22$.
2. В третьем автобусе (22) на 4 больше, чем во втором (18)? Да, $18 + 4 = 22$.
3. Общее количество учеников равно 67? $27 + 18 + 22 = 45 + 22 = 67$. Да, общее число сходится.
Все условия задачи выполнены. Мы нашли количество учеников в каждом из трех автобусов.
Ответ: в первом автобусе было 27 учеников, во втором — 18 учеников, а в третьем — 22 ученика.

6 Придумайте задачу, математическая модель которой указана ниже, и решите её:

$5x - 4(x - 20) = 160.$

Задача

В магазине продаются тетради в клетку и в линейку. Тетрадь в клетку стоит на 20 рублей дешевле, чем тетрадь в линейку. Ученик купил 5 тетрадей в линейку и 4 тетради в клетку. За все тетради в линейку он заплатил на 160 рублей больше, чем за все тетради в клетку. Сколько стоит одна тетрадь в линейку?

Решение

Пусть $x$ рублей — цена одной тетради в линейку. Тогда, согласно условию, цена одной тетради в клетку составляет $(x - 20)$ рублей.

Стоимость пяти тетрадей в линейку равна $5x$ рублей.

Стоимость четырех тетрадей в клетку равна $4(x - 20)$ рублей.

По условию задачи, разница между стоимостью тетрадей в линейку и тетрадей в клетку составляет 160 рублей. Составим и решим уравнение, которое является математической моделью данной задачи:

$5x - 4(x - 20) = 160$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$5x - 4 \cdot x - 4 \cdot (-20) = 160$

$5x - 4x + 80 = 160$

Приведем подобные слагаемые:

$x + 80 = 160$

Чтобы найти $x$, перенесем 80 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$x = 160 - 80$

$x = 80$

Таким образом, мы нашли, что цена одной тетради в линейку составляет 80 рублей.

Ответ: цена тетради в линейку — 80 рублей.

7 Решите уравнение $\frac{3x - 5}{7} + \frac{2x + 1}{14} = \frac{2x - 3}{2}$.

Исходное уравнение:

$$ \frac{3x - 5}{7} + \frac{2x + 1}{14} = \frac{2x - 3}{2} $$

Чтобы избавиться от дробей, приведем все члены уравнения к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОК) для чисел 7, 14 и 2 равен 14.

Умножим обе части уравнения на 14:

$$ 14 \cdot \left( \frac{3x - 5}{7} + \frac{2x + 1}{14} \right) = 14 \cdot \left( \frac{2x - 3}{2} \right) $$

Применим распределительный закон умножения:

$$ \frac{14 \cdot (3x - 5)}{7} + \frac{14 \cdot (2x + 1)}{14} = \frac{14 \cdot (2x - 3)}{2} $$

Сократим дроби, разделив числитель и знаменатель на общий множитель:

$$ 2 \cdot (3x - 5) + 1 \cdot (2x + 1) = 7 \cdot (2x - 3) $$

Раскроем скобки:

$$ 6x - 10 + 2x + 1 = 14x - 21 $$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$$ (6x + 2x) + (-10 + 1) = 14x - 21 $$

$$ 8x - 9 = 14x - 21 $$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону, а постоянные слагаемые — в другую. Перенесем $8x$ вправо, а $-21$ влево (при переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный):

$$ 21 - 9 = 14x - 8x $$

Упростим обе части:

$$ 12 = 6x $$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 6:

$$ x = \frac{12}{6} $$

$$ x = 2 $$

Выполним проверку, подставив $x=2$ в исходное уравнение:

$$ \frac{3(2) - 5}{7} + \frac{2(2) + 1}{14} = \frac{2(2) - 3}{2} $$

$$ \frac{6 - 5}{7} + \frac{4 + 1}{14} = \frac{4 - 3}{2} $$

$$ \frac{1}{7} + \frac{5}{14} = \frac{1}{2} $$

Приведем дроби в левой части к знаменателю 14:

$$ \frac{2}{14} + \frac{5}{14} = \frac{1}{2} $$

$$ \frac{7}{14} = \frac{1}{2} $$

$$ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$

Равенство верное, следовательно, уравнение решено правильно.

Ответ: 2.

8 При каких значениях $a$ корнем уравнения $x(6-a) + a(x+2) = 26$ является число 4?

По условию задачи, число 4 является корнем уравнения $x(6 - a) + a(x + 2) = 26$. Это означает, что при подстановке значения $x = 4$ в уравнение, мы получим верное числовое равенство.

Выполним подстановку $x = 4$ в данное уравнение:

$4(6 - a) + a(4 + 2) = 26$

Теперь необходимо решить полученное уравнение относительно переменной $a$. Сначала упростим выражение в левой части.

Раскроем скобки:

$24 - 4a + 6a = 26$

Приведем подобные слагаемые:

$24 + 2a = 26$

Перенесем свободный член (число 24) из левой части в правую, изменив его знак:

$2a = 26 - 24$

$2a = 2$

Найдем значение $a$, разделив обе части уравнения на 2:

$a = \frac{2}{2}$

$a = 1$

Следовательно, при $a=1$ корень уравнения равен 4.

Ответ: 1.

9 Запишите координаты точек, которые делят отрезок $MN$ на четыре равные части, если $M(-5)$, $N(11)$.

Для того чтобы найти координаты точек, делящих отрезок MN на четыре равные части, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти длину всего отрезка MN.

2. Разделить полученную длину на 4, чтобы найти длину каждой из равных частей.

3. Последовательно прибавить длину одной части к координате начальной точки M, чтобы найти координаты трех искомых точек.

Даны координаты точек: $M(-5)$ и $N(11)$.

Шаг 1: Вычисление длины отрезка MN

Длина отрезка на координатной прямой вычисляется как модуль разности координат его концов: $L = |x_N - x_M|$ Подставим значения координат точек M и N: $L = |11 - (-5)| = |11 + 5| = 16$ Таким образом, длина отрезка MN равна 16.

Шаг 2: Вычисление длины одной из четырех равных частей

По условию, отрезок делится на 4 равные части. Найдем длину одной такой части, обозначив ее $d$: $d = L / 4 = 16 / 4 = 4$

Шаг 3: Нахождение координат искомых точек

Чтобы разделить отрезок на 4 части, нужно найти 3 точки. Обозначим их координаты как $P_1$, $P_2$ и $P_3$.

Координата первой точки $P_1$ находится путем прибавления длины $d$ к координате начальной точки M: $P_1 = x_M + d = -5 + 4 = -1$

Координата второй точки $P_2$ находится путем прибавления длины $d$ к координате первой найденной точки $P_1$: $P_2 = P_1 + d = -1 + 4 = 3$

Координата третьей точки $P_3$ находится путем прибавления длины $d$ к координате второй найденной точки $P_2$: $P_3 = P_2 + d = 3 + 4 = 7$

Для проверки можно убедиться, что расстояние от третьей точки $P_3$ до конечной точки N также равно $d$: $x_N - P_3 = 11 - 7 = 4$.

Таким образом, искомые точки имеют координаты -1, 3 и 7.

Ответ: -1; 3; 7.

10 Найдите координаты точек, отстоящих на расстояние 3,2 единичного отрезка от точки $A(-1,7)$.

Множество всех точек на плоскости, находящихся на заданном расстоянии от одной точки, образует окружность. Центром этой окружности является данная точка, а радиусом — заданное расстояние. В данной задаче нам дана точка $A(-1; 7)$ и расстояние (радиус) $r = 3,2$. Пусть искомая точка имеет координаты $(x; y)$.

Формула расстояния между двумя точками $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$ выглядит так: $d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Подставив наши значения, получаем: $3,2 = \sqrt{(x - (-1))^2 + (y - 7)^2}$.

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат: $3,2^2 = (x + 1)^2 + (y - 7)^2$, что дает нам уравнение окружности: $(x + 1)^2 + (y - 7)^2 = 10,24$. Любая точка $(x; y)$, координаты которой удовлетворяют этому уравнению, находится на расстоянии $3,2$ от точки $A$.

Поскольку в задаче требуется найти "координаты точек", мы можем привести в пример несколько конкретных точек, лежащих на этой окружности. Например, найдем точки, которые лежат на горизонтальной и вертикальной прямых, проходящих через центр окружности $A(-1; 7)$.

Для точек на горизонтальной прямой $y=7$, уравнение упрощается до $(x + 1)^2 = 10,24$. Отсюда $x + 1 = \pm 3,2$, что дает $x_1 = 3,2 - 1 = 2,2$ и $x_2 = -3,2 - 1 = -4,2$. Таким образом, мы получаем две точки: $(2,2; 7)$ и $(-4,2; 7)$.

Для точек на вертикальной прямой $x=-1$, уравнение упрощается до $(y - 7)^2 = 10,24$. Отсюда $y - 7 = \pm 3,2$, что дает $y_1 = 3,2 + 7 = 10,2$ и $y_2 = -3,2 + 7 = 3,8$. Таким образом, мы получаем еще две точки: $(-1; 10,2)$ и $(-1; 3,8)$.

Ответ: Множество всех таких точек описывается уравнением окружности $(x + 1)^2 + (y - 7)^2 = 10,24$. Примерами таких точек являются $(2,2; 7)$, $(-4,2; 7)$, $(-1; 10,2)$ и $(-1; 3,8)$.

11 В ряд выписаны все цифры, которые встречаются (с повторениями) в записи уравнений из заданий 6 и 7. Каков объём и размах этого ряда? Найдите моду ряда (моды, если их несколько).

Для полного решения данной задачи необходимо иметь содержание заданий 6 и 7, так как именно из них формируется числовой ряд. Поскольку эти данные отсутствуют, решение будет продемонстрировано на гипотетическом примере, чтобы показать методику вычислений.

Допустим, в заданиях 6 и 7 были даны следующие уравнения:

• Задание 6: $15x - 7 = 3x + 23$
• Задание 7: $4(y + 1) = 40$

Сначала выпишем в ряд все цифры, которые встречаются в записи этих уравнений (с повторениями):

Из первого уравнения ($15x - 7 = 3x + 23$) получаем цифры: 1, 5, 7, 3, 2, 3.

Из второго уравнения ($4(y + 1) = 40$) получаем цифры: 4, 1, 4, 0.

Объединив все цифры, получаем искомый ряд: 1, 5, 7, 3, 2, 3, 4, 1, 4, 0.

Для удобства анализа упорядочим этот ряд по возрастанию:

0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 7

Теперь найдем требуемые статистические характеристики этого ряда.

Каков объём этого ряда?

Объём ряда — это количество всех элементов (цифр) в этом ряду. Посчитаем общее количество цифр в нашем составленном ряду (1, 5, 7, 3, 2, 3, 4, 1, 4, 0).

Всего в ряду 10 цифр.

Ответ: объём ряда равен 10.

Каков размах этого ряда?

Размах ряда — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду. Для нахождения размаха воспользуемся упорядоченным рядом: 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 7.

Наибольший элемент ряда: $max = 7$.

Наименьший элемент ряда: $min = 0$.

Размах = $max - min = 7 - 0 = 7$.

Ответ: размах ряда равен 7.

Найдите моду ряда (моды, если их несколько).

Мода ряда — это значение (или значения), которое встречается в ряду чаще всего. Проанализируем частоту появления каждой цифры в ряду: 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 7.

• цифра 0 встречается 1 раз
• цифра 1 встречается 2 раза
• цифра 2 встречается 1 раз
• цифра 3 встречается 2 раза
• цифра 4 встречается 2 раза
• цифра 5 встречается 1 раз
• цифра 7 встречается 1 раз

Наибольшая частота встречаемости равна 2. Эту частоту имеют три цифры: 1, 3 и 4. Следовательно, у данного ряда три моды.

Ответ: моды ряда — 1, 3, 4.