Номер 2, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

2 Выясните, имеет ли выражение смысл, и если да, то равно ли нулю его значение:

$\frac{18,6 \cdot 0,24 + 3\frac{2}{9} \cdot \frac{15}{38}}{7 : 7\frac{1}{2} - \left( 5\frac{1}{15} \cdot 3 - 12\frac{19}{30} \right)} : 2,75$

Для ответа на поставленные вопросы проанализируем выражение и вычислим его значение по частям.

Выясните, имеет ли выражение смысл

Выражение имеет смысл, если в процессе вычислений не встречается деление на ноль. В данном выражении есть три операции деления, которые нужно проверить:

1. Деление числителя на знаменатель основной дроби.
2. Деление в составе знаменателя: $7:7\frac{1}{2}$.
3. Итоговое деление всего выражения на $2,75$.

Проверим, не равен ли какой-либо из делителей нулю.

Делитель во втором пункте, $7\frac{1}{2}$, очевидно не равен нулю.

Делитель в третьем пункте, $2,75$, также не равен нулю.

Остается проверить знаменатель основной дроби: $7:7\frac{1}{2} - (5\frac{1}{15} \cdot 3 - 12\frac{19}{30})$. Вычислим его значение:

1) $7:7\frac{1}{2} = 7 : \frac{15}{2} = 7 \cdot \frac{2}{15} = \frac{14}{15}$.

2) Вычислим выражение в скобках. Сначала умножение:

$5\frac{1}{15} \cdot 3 = \frac{76}{15} \cdot 3 = \frac{76}{5}$.

3) Теперь вычитание в скобках. Переведем $12\frac{19}{30}$ в неправильную дробь:

$12\frac{19}{30} = \frac{12 \cdot 30 + 19}{30} = \frac{379}{30}$.

$\frac{76}{5} - \frac{379}{30} = \frac{76 \cdot 6}{30} - \frac{379}{30} = \frac{456 - 379}{30} = \frac{77}{30}$.

4) Вычислим значение всего знаменателя:

$\frac{14}{15} - \frac{77}{30} = \frac{14 \cdot 2}{30} - \frac{77}{30} = \frac{28 - 77}{30} = -\frac{49}{30}$.

Знаменатель основной дроби равен $-\frac{49}{30}$, что не является нулём. Так как все операции деления в выражении производятся на числа, отличные от нуля, то выражение имеет смысл.

Ответ: да, выражение имеет смысл.

и если да, то равно ли нулю его значение

Значение всего выражения равно нулю тогда и только тогда, когда его общий числитель равен нулю. Общим числителем в данном случае является числитель основной дроби: $18,6 \cdot 0,24 + 3\frac{2}{9} \cdot \frac{15}{38}$.

Проанализируем это выражение:

Первое слагаемое: $18,6 \cdot 0,24$. Оба множителя являются положительными числами, следовательно, их произведение также положительно.

Второе слагаемое: $3\frac{2}{9} \cdot \frac{15}{38}$. Оба множителя также положительны, значит, и их произведение положительно.

Сумма двух положительных чисел всегда является положительным числом и не может быть равна нулю.

Следовательно, значение выражения не равно нулю. Для полноты решения вычислим точное значение всего выражения.

1) Вычислим числитель: $18,6 \cdot 0,24 + 3\frac{2}{9} \cdot \frac{15}{38}$.

$18,6 \cdot 0,24 = 4,464 = \frac{4464}{1000} = \frac{558}{125}$.

$3\frac{2}{9} \cdot \frac{15}{38} = \frac{29}{9} \cdot \frac{15}{38} = \frac{145}{114}$.

$\frac{558}{125} + \frac{145}{114} = \frac{558 \cdot 114 + 145 \cdot 125}{14250} = \frac{63612 + 18125}{14250} = \frac{81737}{14250}$.

2) Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{81737/14250}{-49/30} = \frac{81737}{14250} \cdot (-\frac{30}{49}) = -\frac{81737 \cdot 30}{14250 \cdot 49} = -\frac{81737}{475 \cdot 49} = -\frac{81737}{23275}$.

3) Выполним конечное деление на $2,75$:

$2,75 = 2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}$.

$-\frac{81737}{23275} : \frac{11}{4} = -\frac{81737}{23275} \cdot \frac{4}{11} = -\frac{326948}{256025}$.

Полученное значение $-\frac{326948}{256025}$ не равно нулю.

Ответ: нет, значение выражения не равно нулю.