Номер 10, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

10 Найдите координаты точек, отстоящих на расстояние 3,2 единичного отрезка от точки $A(-1,7)$.

Множество всех точек на плоскости, находящихся на заданном расстоянии от одной точки, образует окружность. Центром этой окружности является данная точка, а радиусом — заданное расстояние. В данной задаче нам дана точка $A(-1; 7)$ и расстояние (радиус) $r = 3,2$. Пусть искомая точка имеет координаты $(x; y)$.

Формула расстояния между двумя точками $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$ выглядит так: $d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Подставив наши значения, получаем: $3,2 = \sqrt{(x - (-1))^2 + (y - 7)^2}$.

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат: $3,2^2 = (x + 1)^2 + (y - 7)^2$, что дает нам уравнение окружности: $(x + 1)^2 + (y - 7)^2 = 10,24$. Любая точка $(x; y)$, координаты которой удовлетворяют этому уравнению, находится на расстоянии $3,2$ от точки $A$.

Поскольку в задаче требуется найти "координаты точек", мы можем привести в пример несколько конкретных точек, лежащих на этой окружности. Например, найдем точки, которые лежат на горизонтальной и вертикальной прямых, проходящих через центр окружности $A(-1; 7)$.

Для точек на горизонтальной прямой $y=7$, уравнение упрощается до $(x + 1)^2 = 10,24$. Отсюда $x + 1 = \pm 3,2$, что дает $x_1 = 3,2 - 1 = 2,2$ и $x_2 = -3,2 - 1 = -4,2$. Таким образом, мы получаем две точки: $(2,2; 7)$ и $(-4,2; 7)$.

Для точек на вертикальной прямой $x=-1$, уравнение упрощается до $(y - 7)^2 = 10,24$. Отсюда $y - 7 = \pm 3,2$, что дает $y_1 = 3,2 + 7 = 10,2$ и $y_2 = -3,2 + 7 = 3,8$. Таким образом, мы получаем еще две точки: $(-1; 10,2)$ и $(-1; 3,8)$.

Ответ: Множество всех таких точек описывается уравнением окружности $(x + 1)^2 + (y - 7)^2 = 10,24$. Примерами таких точек являются $(2,2; 7)$, $(-4,2; 7)$, $(-1; 10,2)$ и $(-1; 3,8)$.