Страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Линейные уравнения с одной переменной.

Определение и общий вид

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида $ax + b = 0$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты). Число $a$ называется коэффициентом при переменной, а $b$ — свободным членом.

Решить уравнение — значит найти все его корни (решения) или доказать, что корней нет. Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Любое уравнение, которое можно свести к виду $ax = b$ путем алгебраических преобразований, является линейным.

Исследование решения уравнения $ax = b$

Количество корней линейного уравнения зависит от значений коэффициентов $a$ и $b$.

1. Если $a \neq 0$, то уравнение имеет единственный корень. Чтобы его найти, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент $a$:
$x = \frac{b}{a}$.

2. Если $a = 0$ и $b = 0$, то уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно при любом значении $x$. Следовательно, уравнение имеет бесконечно много корней. Любое число является его корнем.

3. Если $a = 0$ и $b \neq 0$, то уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$. Это равенство неверно ни при каком значении $x$, так как произведение нуля на любое число равно нулю, а $b$ не равно нулю. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Алгоритм решения линейного уравнения

Для решения уравнений, которые сводятся к линейным, можно использовать следующий алгоритм:

1. Раскрыть все скобки, если они есть в уравнении, и избавиться от знаменателей, если это необходимо.

2. Собрать слагаемые, содержащие переменную, в левой части уравнения, а слагаемые, не содержащие переменную (свободные члены), — в правой части. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

3. Привести подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения. В результате уравнение примет вид $ax = b$.

4. Найти корень уравнения, проанализировав значения $a$ и $b$ (как описано в предыдущем пункте).

Примеры решения

Пример 1. Решить уравнение $5x - 15 = 0$.

Приведем уравнение к виду $ax=b$.

Перенесем свободный член $-15$ в правую часть, изменив знак:
$5x = 15$

Здесь $a=5, b=15$. Так как $a \neq 0$, делим обе части на $5$:
$x = \frac{15}{5}$
$x = 3$

Ответ: $3$

Пример 2. Решить уравнение $7x + 4 = 3x - 8$.

1. Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую. Слагаемое $3x$ переносим влево со знаком минус, а $4$ — вправо со знаком минус.
$7x - 3x = -8 - 4$

2. Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$4x = -12$

3. Разделим обе части на коэффициент при $x$, то есть на $4$:
$x = \frac{-12}{4}$
$x = -3$

Ответ: $-3$

Пример 3. Решить уравнение $3(x - 2) - 5(x + 1) = -17$.

1. Раскроем скобки. Для этого умножим число перед скобкой на каждый член внутри скобки:
$3 \cdot x + 3 \cdot (-2) - 5 \cdot x - 5 \cdot 1 = -17$
$3x - 6 - 5x - 5 = -17$

2. Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(3x - 5x) + (-6 - 5) = -17$
$-2x - 11 = -17$

3. Перенесем свободный член $-11$ в правую часть со знаком плюс:
$-2x = -17 + 11$
$-2x = -6$

4. Разделим обе части на $-2$:
$x = \frac{-6}{-2}$
$x = 3$

Ответ: $3$

Пример 4. Решить уравнение $\frac{x-1}{3} + 2 = \frac{x+8}{6}$.

1. Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей $3$ и $6$, то есть на $6$:
$6 \cdot (\frac{x-1}{3} + 2) = 6 \cdot \frac{x+8}{6}$
$6 \cdot \frac{x-1}{3} + 6 \cdot 2 = x+8$
$2(x-1) + 12 = x+8$

2. Раскроем скобки:
$2x - 2 + 12 = x+8$
$2x + 10 = x+8$

3. Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа — вправо:
$2x - x = 8 - 10$

4. Приведем подобные слагаемые:
$x = -2$

Ответ: $-2$

Пример 5. Решить уравнение $4(x-1) = 4x+5$.

1. Раскроем скобки в левой части:
$4x - 4 = 4x + 5$

2. Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$4x - 4x = 5 + 4$

3. Приведем подобные слагаемые:
$0 \cdot x = 9$

Получилось уравнение вида $0 \cdot x = b$, где $b \neq 0$. Такое равенство не может быть верным ни при каком значении $x$.

Ответ: корней нет

Пример 6. Решить уравнение $2(3x - 1) = 6x - 2$.

1. Раскроем скобки в левой части:
$6x - 2 = 6x - 2$

2. Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$6x - 6x = -2 + 2$

3. Приведем подобные слагаемые:
$0 \cdot x = 0$

Получилось уравнение вида $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно при любом значении $x$.

Ответ: $x$ — любое число

2. Линейные уравнения как математические модели реальных ситуаций.

Линейные уравнения являются одним из фундаментальных инструментов математики, который позволяет описывать и решать множество задач из реальной жизни. Процесс перевода практической задачи на язык математики называется математическим моделированием. В результате этого процесса создается математическая модель — упрощенное представление реальной ситуации с помощью математических понятий и соотношений, в данном случае — с помощью линейных уравнений.

Что такое линейное уравнение?

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида $ax + b = 0$, где $x$ — это переменная (неизвестная величина), а $a$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты), причем $a \neq 0$. Решить такое уравнение — значит найти значение $x$, при котором равенство будет верным. Линейные уравнения получили свое название потому, что их графиком на координатной плоскости (для уравнений с двумя переменными вида $ax + by = c$) является прямая линия.

Этапы математического моделирования

Решение практической задачи с помощью линейного уравнения обычно состоит из трех основных этапов:

1. Составление математической модели. На этом этапе необходимо:
- Внимательно прочитать и проанализировать условие задачи.
- Определить, какая величина является неизвестной, и обозначить ее переменной (чаще всего $x$).
- Выразить остальные величины, упомянутые в задаче, через эту переменную, используя данные условия.
- Установить связь между величинами и составить уравнение, которое описывает эту связь.

2. Работа с математической моделью. Этот этап заключается в решении составленного уравнения. Используя алгебраические преобразования (перенос слагаемых, приведение подобных членов, деление обеих частей на коэффициент при $x$ и т.д.), находят корень уравнения.

3. Ответ на вопрос задачи. Найденный корень уравнения нужно проанализировать и интерпретировать в контексте исходной задачи. Необходимо проверить, имеет ли полученное значение смысл (например, скорость не может быть отрицательной, количество людей — дробным). После этого формулируется окончательный ответ на вопрос задачи.

Примеры решения задач

Рассмотрим, как этот процесс применяется на практике.

Задача 1: Задача на покупки

В магазине купили 4 ручки и 2 блокнота, заплатив за всю покупку 180 рублей. Известно, что блокнот стоит на 15 рублей дороже ручки. Сколько стоит одна ручка и один блокнот?

Решение:
1. Составление модели.
Пусть цена одной ручки равна $x$ рублей.
Тогда цена одного блокнота, который на 15 рублей дороже, равна $(x + 15)$ рублей.
Стоимость 4 ручек составляет $4x$ рублей.
Стоимость 2 блокнотов составляет $2(x + 15)$ рублей.
Общая стоимость покупки — 180 рублей. Составляем уравнение:
$4x + 2(x + 15) = 180$

2. Решение уравнения.
Раскроем скобки: $4x + 2x + 30 = 180$
Приведем подобные слагаемые: $6x + 30 = 180$
Перенесем 30 в правую часть: $6x = 180 - 30$
$6x = 150$
Найдем $x$: $x = 150 / 6$
$x = 25$

3. Интерпретация результата.
Мы получили $x = 25$. Так как $x$ — это цена ручки в рублях, то цена ручки — 25 рублей. Это положительное число, что логично для цены. Цена блокнота тогда будет $25 + 15 = 40$ рублей. Проверим: $4 \cdot 25 + 2 \cdot 40 = 100 + 80 = 180$. Все верно.

Ответ: одна ручка стоит 25 рублей, а один блокнот — 40 рублей.

Задача 2: Задача на движение

Из двух городов, расстояние между которыми 465 км, навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго. Найдите скорость каждого автомобиля, если они встретились через 3 часа.

Решение:
1. Составление модели.
Пусть скорость второго автомобиля равна $v$ км/ч.
Тогда скорость первого автомобиля равна $(v + 10)$ км/ч.
Скорость сближения автомобилей равна сумме их скоростей: $v + (v + 10) = (2v + 10)$ км/ч.
Расстояние равно произведению скорости сближения на время в пути: $S = v_{сбл} \cdot t$.
Подставляем известные значения. Время $t = 3$ ч, расстояние $S = 465$ км. Получаем уравнение:
$(2v + 10) \cdot 3 = 465$

2. Решение уравнения.
Разделим обе части на 3: $2v + 10 = 155$
Перенесем 10 в правую часть: $2v = 155 - 10$
$2v = 145$
Найдем $v$: $v = 145 / 2$
$v = 72.5$

3. Интерпретация результата.
Мы получили $v = 72.5$. Так как $v$ — это скорость второго автомобиля, то его скорость равна 72,5 км/ч. Скорость — положительная величина, так что результат имеет смысл.
Тогда скорость первого автомобиля: $72.5 + 10 = 82.5$ км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля — 82,5 км/ч, скорость второго автомобиля — 72,5 км/ч.

Таким образом, линейные уравнения предоставляют универсальный язык для описания зависимостей между различными величинами. Умение составлять и решать такие уравнения является ключевым навыком для анализа и решения широкого круга практических задач из физики, экономики, химии и повседневной жизни.

3. Ряды данных. Объём, размах и мода ряда данных.

Ряды данных — это совокупность числовых значений, полученных в результате какого-либо измерения или наблюдения. Например, это могут быть оценки учеников за контрольную работу, температура воздуха в течение месяца, рост людей в группе и т.д. Ряд данных может быть упорядоченным, когда все его элементы расположены в порядке возрастания или убывания, и неупорядоченным. Упорядоченный ряд данных также называют вариационным рядом.

Рассмотрим пример ряда данных — оценки ученика по математике за четверть: 4, 5, 3, 4, 5, 4, 4, 3, 5.

Для анализа рядов данных используются различные статистические характеристики, такие как объём, размах, мода, медиана и среднее арифметическое. В данном случае мы рассмотрим объём, размах и моду.

Объём ряда данных

Объём ряда данных — это количество всех элементов (чисел) в этом ряду. Это самая простая характеристика, которая показывает, сколько всего измерений было проведено. Обычно объём обозначается буквой $n$.

Пример: для ряда оценок 4, 5, 3, 4, 5, 4, 4, 3, 5 подсчитаем количество чисел. Всего в ряду 9 чисел. Следовательно, объём этого ряда данных равен 9.

Ответ: Объём ряда данных — это число, показывающее, сколько всего данных в ряду.

Размах ряда данных

Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду данных. Эта характеристика показывает, насколько велик разброс данных в ряду. Размах обозначается буквой $R$. Формула для вычисления размаха: $R = x_{max} - x_{min}$, где $x_{max}$ — наибольшее значение, а $x_{min}$ — наименьшее значение в ряду.

Пример: возьмём тот же ряд оценок: 4, 5, 3, 4, 5, 4, 4, 3, 5. Для удобства нахождения наибольшего и наименьшего значений ряд можно упорядочить: 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5. Наибольшее значение в ряду: $x_{max} = 5$. Наименьшее значение в ряду: $x_{min} = 3$. Теперь вычислим размах: $R = 5 - 3 = 2$. Таким образом, размах данного ряда равен 2.

Ответ: Размах ряда данных — это разность между его наибольшим и наименьшим значениями.

Мода ряда данных

Мода (обозначается как $Mo$) — это значение в ряду данных, которое встречается чаще всего. Ряд данных может иметь одну моду (такой ряд называется унимодальным), более одной моды (мультимодальный ряд) или не иметь моды вовсе. Моды нет в том случае, если все значения в ряду встречаются одинаковое количество раз (например, по одному разу).

Пример 1 (одна мода): в нашем ряду оценок 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 подсчитаем частоту каждого значения. Число 3 встречается 2 раза; число 4 встречается 4 раза; число 5 встречается 3 раза. Чаще всего встречается число 4. Следовательно, мода этого ряда $Mo = 4$.

Пример 2 (две моды): рассмотрим ряд: 2, 6, 6, 8, 9, 9, 10. Здесь числа 6 и 9 встречаются по два раза, что чаще, чем любое другое число. Значит, у этого ряда две моды: $Mo_1 = 6$ и $Mo_2 = 9$.

Пример 3 (нет моды): в ряду 1, 2, 3, 4, 5 все числа встречаются по одному разу. Моды у этого ряда нет.

Ответ: Мода ряда данных — это наиболее часто встречающееся в ряду значение.

7.1 Назовите абсциссу и ординату точки:

a) $M(2; 4);$

б) $N(-3; 6);$

в) $P(12; -4);$

г) $Q(-3; -0,5).$

Для любой точки на координатной плоскости, заданной координатами $(x; y)$, абсциссой называется координата $x$ (первое число в паре), а ординатой — координата $y$ (второе число в паре).

а) Для точки $M(2; 4)$:

Первая координата равна 2, следовательно, это абсцисса.

Вторая координата равна 4, следовательно, это ордината.

Ответ: абсцисса: 2, ордината: 4.

б) Для точки $N(-3; 6)$:

Первая координата равна -3, следовательно, это абсцисса.

Вторая координата равна 6, следовательно, это ордината.

Ответ: абсцисса: -3, ордината: 6.

в) Для точки $P(12; -4)$:

Первая координата равна 12, следовательно, это абсцисса.

Вторая координата равна -4, следовательно, это ордината.

Ответ: абсцисса: 12, ордината: -4.

г) Для точки $Q(-3; -0,5)$:

Первая координата равна -3, следовательно, это абсцисса.

Вторая координата равна -0,5, следовательно, это ордината.

Ответ: абсцисса: -3, ордината: -0,5.

7.2 Не производя построения, ответьте на вопрос, в каком координатном угле координатной плоскости $xOy$ расположена точка:

а) $M(2; 4)$, $N(-3; 6)$, $P(12; -4)$, $Q(-3; -0,5)$;

б) $X(-14; -5)$, $Y(-7; 38)$, $K(1; 0)$, $L(0; -4)$;

в) $A(-23; 6)$, $B(13; 16)$, $C(19; -25)$, $D\left(2; -\frac{1}{2}\right)$;

г) $R\left(\frac{5}{8}; -\frac{1}{7}\right)$, $S\left(-\frac{4}{11}; -\frac{1}{12}\right)$, $E\left(-\frac{17}{21}; \frac{41}{43}\right)$, $F\left(\frac{15}{31}; \frac{1}{16}\right)$.

Для определения координатного угла (четверти), в котором расположена точка с координатами $(x; y)$, необходимо проанализировать знаки ее координат: $x$ (абсциссы) и $y$ (ординаты).

• I четверть (верхняя правая): абсцисса и ордината положительны ($x > 0$, $y > 0$).
• II четверть (верхняя левая): абсцисса отрицательна, ордината положительна ($x < 0$, $y > 0$).
• III четверть (нижняя левая): абсцисса и ордината отрицательны ($x < 0$, $y < 0$).
• IV четверть (нижняя правая): абсцисса положительна, ордината отрицательна ($x > 0$, $y < 0$).

Если одна из координат равна нулю, точка лежит на одной из координатных осей ($Ox$ или $Oy$) и не принадлежит ни одной из четвертей.

а)

Точка $M(2; 4)$: так как $x=2 > 0$ и $y=4 > 0$, точка расположена в I четверти.

Точка $N(-3; 6)$: так как $x=-3 < 0$ и $y=6 > 0$, точка расположена во II четверти.

Точка $P(12; -4)$: так как $x=12 > 0$ и $y=-4 < 0$, точка расположена в IV четверти.

Точка $Q(-3; -0,5)$: так как $x=-3 < 0$ и $y=-0,5 < 0$, точка расположена в III четверти.

Ответ: $M$ - I четверть, $N$ - II четверть, $P$ - IV четверть, $Q$ - III четверть.

б)

Точка $X(-14; -5)$: так как $x=-14 < 0$ и $y=-5 < 0$, точка расположена в III четверти.

Точка $Y(-7; 38)$: так как $x=-7 < 0$ и $y=38 > 0$, точка расположена во II четверти.

Точка $K(1; 0)$: так как $y=0$, точка лежит на оси абсцисс ($Ox$).

Точка $L(0; -4)$: так как $x=0$, точка лежит на оси ординат ($Oy$).

Ответ: $X$ - III четверть, $Y$ - II четверть, $K$ - на оси $Ox$, $L$ - на оси $Oy$.

в)

Точка $A(-23; 6)$: так как $x=-23 < 0$ и $y=6 > 0$, точка расположена во II четверти.

Точка $B(13; 16)$: так как $x=13 > 0$ и $y=16 > 0$, точка расположена в I четверти.

Точка $C(19; -25)$: так как $x=19 > 0$ и $y=-25 < 0$, точка расположена в IV четверти.

Точка $D(2; -\frac{1}{2})$: так как $x=2 > 0$ и $y=-\frac{1}{2} < 0$, точка расположена в IV четверти.

Ответ: $A$ - II четверть, $B$ - I четверть, $C$ - IV четверть, $D$ - IV четверть.

г)

Точка $R(\frac{5}{8}; -\frac{1}{7})$: так как $x=\frac{5}{8} > 0$ и $y=-\frac{1}{7} < 0$, точка расположена в IV четверти.

Точка $S(-\frac{4}{11}; -\frac{1}{12})$: так как $x=-\frac{4}{11} < 0$ и $y=-\frac{1}{12} < 0$, точка расположена в III четверти.

Точка $E(-\frac{17}{21}; \frac{41}{43})$: так как $x=-\frac{17}{21} < 0$ и $y=\frac{41}{43} > 0$, точка расположена во II четверти.

Точка $F(\frac{15}{31}; \frac{1}{16})$: так как $x=\frac{15}{31} > 0$ и $y=\frac{1}{16} > 0$, точка расположена в I четверти.

Ответ: $R$ - IV четверть, $S$ - III четверть, $E$ - II четверть, $F$ - I четверть.

7.3 Замените символ * каким-либо числом так, чтобы:

a) точка $A(5; *)$ принадлежала первому координатному углу;

б) точка $B(*; 3)$ принадлежала второму координатному углу;

в) точка $C(*; -7)$ принадлежала третьему координатному углу;

г) точка $D(12; *)$ принадлежала четвёртому координатному углу.

Для решения этой задачи вспомним, как определяются знаки координат точек в разных координатных углах (четвертях) на плоскости:

• I координатный угол (четверть): обе координаты положительны ($x > 0, y > 0$).
• II координатный угол (четверть): абсцисса отрицательна, ордината положительна ($x < 0, y > 0$).
• III координатный угол (четверть): обе координаты отрицательны ($x < 0, y < 0$).
• IV координатный угол (четверть): абсцисса положительна, ордината отрицательна ($x > 0, y < 0$).

а) точка A(5; *) принадлежала первому координатному углу;

В первом координатном углу обе координаты точки должны быть положительными. Первая координата точки $A$ равна 5, что является положительным числом ($5 > 0$). Следовательно, вторая координата, обозначенная символом *, также должна быть положительным числом. Мы можем выбрать любое число больше нуля.

Ответ: можно подставить любое число больше нуля, например, 3. Получим точку $A(5; 3)$.

б) точка B(*; 3) принадлежала второму координатному углу;

Во втором координатном углу первая координата (абсцисса) должна быть отрицательной, а вторая (ордината) — положительной. Вторая координата точки $B$ равна 3, что является положительным числом ($3 > 0$). Следовательно, первая координата, обозначенная символом *, должна быть отрицательным числом. Мы можем выбрать любое число меньше нуля.

Ответ: можно подставить любое число меньше нуля, например, -2. Получим точку $B(-2; 3)$.

в) точка C(*; -7) принадлежала третьему координатному углу;

В третьем координатном углу обе координаты точки должны быть отрицательными. Вторая координата точки $C$ равна -7, что является отрицательным числом ($-7 < 0$). Следовательно, первая координата, обозначенная символом *, также должна быть отрицательным числом. Мы можем выбрать любое число меньше нуля.

Ответ: можно подставить любое число меньше нуля, например, -5. Получим точку $C(-5; -7)$.

г) точка D(12; *) принадлежала четвёртому координатному углу.

В четвёртом координатном углу первая координата должна быть положительной, а вторая — отрицательной. Первая координата точки $D$ равна 12, что является положительным числом ($12 > 0$). Следовательно, вторая координата, обозначенная символом *, должна быть отрицательным числом. Мы можем выбрать любое число меньше нуля.

Ответ: можно подставить любое число меньше нуля, например, -1. Получим точку $D(12; -1)$.