Страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

5. Как вы думаете, может ли корнем линейного уравнения с одной переменной быть отрицательное число? Если да, то приведите пример.

Да, корнем линейного уравнения с одной переменной может быть отрицательное число.

Общий вид линейного уравнения с одной переменной: $ax + b = 0$, где $x$ — это переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты), причем $a \neq 0$.

Чтобы найти корень уравнения, выразим $x$:

$ax = -b$

$x = -\frac{b}{a}$

Из этой формулы видно, что знак корня $x$ зависит от знаков коэффициентов $a$ и $b$. Корень $x$ будет отрицательным, если выражение $-\frac{b}{a}$ будет отрицательным. Это произойдет, когда частное $\frac{b}{a}$ будет положительным, то есть когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные).

Пример:

Рассмотрим линейное уравнение, в котором коэффициенты $a$ и $b$ — положительные числа:

$5x + 15 = 0$

Здесь $a = 5$ и $b = 15$. Решим это уравнение:

Перенесем свободный член (15) в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$5x = -15$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$ (на 5):

$x = \frac{-15}{5}$

$x = -3$

Корень уравнения равен -3, что является отрицательным числом. Сделаем проверку, подставив найденный корень в исходное уравнение:

$5 \cdot (-3) + 15 = -15 + 15 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: Да, корнем линейного уравнения с одной переменной может быть отрицательное число. Например, для уравнения $5x + 15 = 0$ корнем является число $x = -3$.

ведите пример.

6. Найдите корень уравнения $2x + 7 = 11$.

6.

Для решения уравнения $2x + 7 = 11$ необходимо найти значение переменной x, при котором равенство будет верным.

Сначала изолируем член с переменной x. Для этого перенесём число 7 из левой части уравнения в правую, при этом знак числа меняется на противоположный: $$2x = 11 - 7$$

Выполним вычитание в правой части уравнения: $$2x = 4$$

Теперь, чтобы найти x, разделим обе части уравнения на коэффициент, стоящий перед x, то есть на 2: $$x = \frac{4}{2}$$

В результате деления получаем корень уравнения: $$x = 2$$

Выполним проверку, подставив найденное значение x=2 в исходное уравнение: $$2 \cdot 2 + 7 = 11$$ $$4 + 7 = 11$$ $$11 = 11$$ Равенство верно, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: 2

7. Приведите пример линейного уравнения с одной переменной, имеющего своим корнем число:

а) $0$;

б) $2$;

в) $-1$.

Линейное уравнение с одной переменной имеет общий вид $ax + b = 0$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты), причем $a \neq 0$. Корень такого уравнения — это значение $x$, при котором равенство становится верным. Чтобы составить уравнение с заданным корнем $x_0$, можно подставить этот корень в уравнение и подобрать коэффициенты $a$ и $b$. Более простой способ — использовать формулу $k(x - x_0) = 0$, где $x_0$ — заданный корень, а $k$ — любое число, не равное нулю.

Необходимо привести пример линейного уравнения, корнем которого является число 0.
Пусть корень уравнения $x_0 = 0$.
Воспользуемся формулой $k(x - x_0) = 0$. Подставим $x_0 = 0$.
$k(x - 0) = 0$
$kx = 0$
В качестве коэффициента $k$ можно выбрать любое число, не равное нулю. Например, пусть $k=3$.
Тогда получим уравнение: $3x = 0$.
Проверим решение: чтобы найти корень, разделим обе части на 3.
$x = 0/3$
$x = 0$
Корень уравнения действительно равен 0.
Ответ: $3x = 0$.

Необходимо привести пример линейного уравнения, корнем которого является число 2.
Пусть корень уравнения $x_0 = 2$.
Воспользуемся формулой $k(x - x_0) = 0$. Подставим $x_0 = 2$.
$k(x - 2) = 0$
В качестве коэффициента $k$ можно выбрать любое число, не равное нулю. Для простоты выберем $k=1$.
Тогда получим уравнение: $1 \cdot (x - 2) = 0$, или $x - 2 = 0$.
Проверим решение: перенесем -2 в правую часть уравнения с противоположным знаком.
$x = 2$
Корень уравнения действительно равен 2.
Ответ: $x - 2 = 0$.

Необходимо привести пример линейного уравнения, корнем которого является число -1.
Пусть корень уравнения $x_0 = -1$.
Воспользуемся формулой $k(x - x_0) = 0$. Подставим $x_0 = -1$.
$k(x - (-1)) = 0$
$k(x + 1) = 0$
В качестве коэффициента $k$ можно выбрать любое число, не равное нулю. Например, пусть $k=1$.
Тогда получим уравнение: $1 \cdot (x + 1) = 0$, или $x + 1 = 0$.
Проверим решение: перенесем 1 в правую часть уравнения с противоположным знаком.
$x = -1$
Корень уравнения действительно равен -1.
Ответ: $x + 1 = 0$.

8. Сформулируйте алгоритм решения линейного уравнения $ax + b = 0$ в случае, когда $a \neq 0$.

Алгоритм решения линейного уравнения вида $ax + b = 0$ в случае, когда коэффициент $a \neq 0$, представляет собой последовательность из двух шагов.

1. Первым шагом является изоляция слагаемого с переменной $x$. Для этого необходимо перенести свободный член $b$ из левой части уравнения в правую. Согласно правилам преобразования уравнений, при переносе слагаемого через знак равенства его знак меняется на противоположный. Таким образом, уравнение $ax + b = 0$ преобразуется к виду:

   $ax = -b$

2. Вторым шагом является нахождение значения переменной $x$. Для этого нужно разделить обе части полученного уравнения $ax = -b$ на коэффициент $a$. Это действие является допустимым, так как по условию задачи $a \neq 0$, что исключает деление на ноль.

   $\frac{ax}{a} = \frac{-b}{a}$

   В результате деления мы получаем итоговую формулу для корня уравнения:

   $x = -\frac{b}{a}$

Ответ: Алгоритм решения уравнения $ax + b = 0$ при $a \neq 0$: 1. Перенести свободный член $b$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный, чтобы получить уравнение $ax = -b$. 2. Разделить обе части полученного уравнения на коэффициент $a$, чтобы найти корень $x = -\frac{b}{a}$.

9. Сформулируйте алгоритм решения линейного уравнения $ax + b = cx + d (a \neq c)$.

Алгоритм решения линейного уравнения вида $ax + b = cx + d$ при условии, что $a \neq c$, состоит из следующих шагов:

1. Перенести все члены, содержащие неизвестную переменную $x$, в левую часть уравнения, а все постоянные члены (свободные члены) — в правую часть. При переносе членов из одной части в другую их знак меняется на противоположный.
Исходное уравнение $ax + b = cx + d$ преобразуется к виду:
$ax - cx = d - b$

2. В левой части уравнения вынести общий множитель $x$ за скобки. Это называется приведением подобных слагаемых.
Уравнение примет вид:
$(a - c)x = d - b$

3. Найти значение переменной $x$, разделив обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на выражение $(a - c)$. Это действие является корректным, поскольку по условию задачи $a \neq c$, что означает, что делитель $(a - c)$ не равен нулю.
В результате получаем формулу для нахождения корня уравнения:
$x = \frac{d - b}{a - c}$

Ответ: Алгоритм заключается в последовательном выполнении трех шагов: 1) собрать все члены с переменной $x$ в левой части уравнения, а постоянные члены - в правой; 2) вынести $x$ за скобки в левой части; 3) разделить правую часть на коэффициент при $x$. Корень уравнения находится по формуле $x = \frac{d - b}{a - c}$.

10. Приведите пример таких значений $a$ и $b$, при которых уравнение $ax = b$:

а) не имеет корней;

б) имеет бесконечное множество корней.

Рассмотрим общее линейное уравнение $ax = b$. Его решение зависит от значений коэффициентов $a$ и $b$.

а) не имеет корней;

Уравнение $ax = b$ не имеет корней, если мы приходим к неверному равенству, которое не зависит от переменной $x$.

Если мы возьмем коэффициент $a = 0$, уравнение примет вид $0 \cdot x = b$.

Левая часть этого уравнения ($0 \cdot x$) всегда будет равна нулю, независимо от значения $x$. Таким образом, уравнение превращается в равенство $0 = b$.

Чтобы это равенство было неверным, значение $b$ должно быть любым числом, не равным нулю. Например, выберем $b = 5$.

Получаем уравнение $0 \cdot x = 5$, что эквивалентно неверному равенству $0 = 5$. Поскольку это равенство ложно, не существует такого значения $x$, которое могло бы сделать его истинным. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: например, $a = 0$, $b = 5$.

б) имеет бесконечное множество корней.

Уравнение $ax = b$ имеет бесконечное множество корней, если оно превращается в верное тождество, истинное для любого значения $x$.

Как и в предыдущем пункте, рассмотрим случай, когда $a = 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$, что сводится к $0 = b$.

Чтобы это равенство было верным, необходимо, чтобы $b$ было равно нулю.

При $a = 0$ и $b = 0$ мы получаем уравнение $0 \cdot x = 0$.

Это равенство, $0 = 0$, является истинным для абсолютно любого значения $x$, которое мы можем подставить. Какое бы число мы ни взяли в качестве $x$, при умножении на ноль результат будет ноль. Таким образом, любое число является решением уравнения.

Ответ: $a = 0$, $b = 0$.

4.36 Кирпичный завод обеспечивает кирпичом три стройки. В начале рабочего дня на первую стройку отправили $1/5$ всего количества кирпича со склада, а на вторую — $1/3$ остатка. После обеда на третью стройку отправили 120 поддонов кирпича, что составляло $3/4$ остатка кирпича на складе завода. Сколько поддонов кирпича было на складе завода в начале рабочего дня?

Для решения этой задачи будем рассуждать в обратном порядке, отталкиваясь от последнего известного действия.

1. Найдем количество поддонов на складе перед отправкой на третью стройку

Нам известно, что на третью стройку отправили 120 поддонов, что составило $\frac{3}{4}$ от остатка кирпича на складе после обеда. Чтобы найти этот остаток (обозначим его $О_2$), нужно разделить известное количество поддонов на долю, которую оно составляет:

$О_2 = 120 \div \frac{3}{4} = 120 \times \frac{4}{3} = \frac{120 \times 4}{3} = 40 \times 4 = 160$ поддонов.

Следовательно, до отправки кирпича на третью стройку (после обеда) на складе было 160 поддонов.

2. Найдем количество поддонов на складе перед отправкой на вторую стройку

На вторую стройку отправили $\frac{1}{3}$ остатка после первой отправки. Это означает, что 160 поддонов, которые остались после второй отправки, представляют собой $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ от количества кирпича, которое было на складе перед этим (обозначим его $О_1$).

Теперь найдем $О_1$, разделив 160 поддонов на соответствующую долю:

$О_1 = 160 \div \frac{2}{3} = 160 \times \frac{3}{2} = \frac{160 \times 3}{2} = 80 \times 3 = 240$ поддонов.

Таким образом, до отправки кирпича на вторую стройку (и после первой) на складе было 240 поддонов.

3. Найдем первоначальное количество поддонов на складе

В начале дня на первую стройку отправили $\frac{1}{5}$ всего количества кирпича. Значит, 240 поддонов, которые остались после этой отправки, составляют $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ от общего первоначального количества кирпича (обозначим его $X$).

Найдем $X$, разделив 240 поддонов на долю, которую они составляют:

$X = 240 \div \frac{4}{5} = 240 \times \frac{5}{4} = \frac{240 \times 5}{4} = 60 \times 5 = 300$ поддонов.

Это и есть первоначальное количество поддонов кирпича на складе.

Проверка:

• Изначально на складе было 300 поддонов.
• На первую стройку отправили $\frac{1}{5}$ от 300: $300 \times \frac{1}{5} = 60$ поддонов. Осталось: $300 - 60 = 240$ поддонов.
• На вторую стройку отправили $\frac{1}{3}$ от остатка (240): $240 \times \frac{1}{3} = 80$ поддонов. Осталось: $240 - 80 = 160$ поддонов.
• На третью стройку отправили 120 поддонов. Это составляет $\frac{120}{160} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$ от остатка. Все условия задачи выполнены.

Ответ: на складе завода в начале рабочего дня было 300 поддонов кирпича.

Придумайте задачу по данной математической модели и решите её:

4.37 а) $x + (x - 5) = 15;$

б) $x + 3x = 20;$

в) $x + (x + 9) = 31;$

г) $7x - x = 12.$

Задача: В двух корзинах вместе 15 кг яблок. В первой корзине на 5 кг яблок меньше, чем во второй. Сколько килограммов яблок во второй корзине?

Решение:
Пусть $x$ кг яблок во второй корзине. Тогда в первой корзине будет $(x - 5)$ кг яблок. Зная, что общая масса яблок равна 15 кг, составим и решим уравнение:
$x + (x - 5) = 15$
$x + x - 5 = 15$
$2x - 5 = 15$
$2x = 15 + 5$
$2x = 20$
$x = 20 / 2$
$x = 10$
Таким образом, во второй корзине 10 кг яблок.

Ответ: 10 кг.

Задача: Для компота мама взяла яблоки и сливы, всего 20 штук. Яблок было в 3 раза меньше, чем слив. Сколько яблок взяла мама?

Решение:
Пусть мама взяла $x$ яблок. Тогда слив она взяла $3x$. Всего фруктов было 20. Составим и решим уравнение:
$x + 3x = 20$
$4x = 20$
$x = 20 / 4$
$x = 5$
Следовательно, мама взяла 5 яблок.

Ответ: 5 яблок.

Задача: За два дня турист прошёл 31 км. Во второй день он прошёл на 9 км больше, чем в первый. Какое расстояние турист прошёл в первый день?

Решение:
Пусть в первый день турист прошёл $x$ км. Тогда во второй день он прошёл $(x + 9)$ км. За два дня он прошёл 31 км. Составим и решим уравнение:
$x + (x + 9) = 31$
$x + x + 9 = 31$
$2x + 9 = 31$
$2x = 31 - 9$
$2x = 22$
$x = 22 / 2$
$x = 11$
Значит, в первый день турист прошёл 11 км.

Ответ: 11 км.

Задача: В одном бидоне было в 7 раз больше молока, чем в другом. Когда из большего бидона перелили в меньший столько молока, сколько было в меньшем, в большем бидоне осталось 12 литров. Сколько литров молока было в меньшем бидоне первоначально?

Решение:
Пусть в меньшем бидоне было $x$ литров молока. Тогда в большем бидоне было $7x$ литров. Когда из большего бидона отлили $x$ литров, в нём осталось $(7x - x)$ литров, что по условию равно 12. Составим и решим уравнение:
$7x - x = 12$
$6x = 12$
$x = 12 / 6$
$x = 2$
Таким образом, в меньшем бидоне первоначально было 2 литра молока.

Ответ: 2 литра.

4.38 а) $3x - 6 = x + 4;$

б) $x + (x - 20) + 3x = 180;$

В) $5x - 22 = 2x + 14;$

Г) $x + (x + 24) = 5x.$

а) $3x - 6 = x + 4$

Для решения этого линейного уравнения необходимо собрать все слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а все постоянные слагаемые (числа) - в другой. Перенесем $x$ из правой части в левую (сменив знак на противоположный) и число $-6$ из левой части в правую (также сменив знак).

$3x - x = 4 + 6$

Теперь упростим обе части уравнения, выполнив вычитание и сложение:

$2x = 10$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 2:

$x = \frac{10}{2}$

$x = 5$

Ответ: $5$

б) $x + (x - 20) + 3x = 180$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения. Так как перед скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри скобок не меняются.

$x + x - 20 + 3x = 180$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части (сложим все слагаемые с $x$):

$(x + x + 3x) - 20 = 180$

$5x - 20 = 180$

Перенесем число $-20$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$5x = 180 + 20$

$5x = 200$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:

$x = \frac{200}{5}$

$x = 40$

Ответ: $40$

в) $5x - 22 = 2x + 14$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные слагаемые - в правую. Не забываем менять знаки при переносе.

$5x - 2x = 14 + 22$

Упростим обе части уравнения:

$3x = 36$

Теперь разделим обе части на коэффициент при $x$, то есть на 3:

$x = \frac{36}{3}$

$x = 12$

Ответ: $12$

г) $x + (x + 24) = 5x$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:

$x + x + 24 = 5x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2x + 24 = 5x$

Перенесем слагаемое $2x$ из левой части в правую, чтобы собрать все слагаемые с $x$ вместе:

$24 = 5x - 2x$

Упростим правую часть:

$24 = 3x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{24}{3}$

$x = 8$

Ответ: $8$

4.39 В городе А в 2013 г. цена за $1 m^3$ газа выросла по сравнению с 2012 г. на 1 р. Житель этого города Иван Петрович в январе 2013 г. заплатил за $200 m^3$ газа на 260 р. больше, чем в январе 2012 г. за $180 m^3$. Сколько стал стоить $1 m^3$ газа в 2013 г.?

Для решения задачи обозначим неизвестную величину переменной.

Пусть $x$ — цена за 1 м³ газа в 2012 году (в рублях).

Из условия известно, что в 2013 году цена выросла на 1 рубль, следовательно, цена за 1 м³ газа в 2013 году составила $(x + 1)$ рубль.

Стоимость газа, потребленного в январе 2012 года, составляет:

$C_{2012} = 180 \cdot x$ рублей.

Стоимость газа, потребленного в январе 2013 года, составляет:

$C_{2013} = 200 \cdot (x + 1)$ рублей.

По условию, в январе 2013 года Иван Петрович заплатил на 260 рублей больше, чем в январе 2012 года. Составим уравнение на основе этих данных:

$C_{2013} - C_{2012} = 260$

Подставим в него выражения для стоимости:

$200(x + 1) - 180x = 260$

Теперь решим полученное уравнение:

1. Раскроем скобки:

$200x + 200 - 180x = 260$

2. Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(200x - 180x) + 200 = 260$

$20x + 200 = 260$

3. Перенесем свободный член из левой части в правую с противоположным знаком:

$20x = 260 - 200$

$20x = 60$

4. Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 20:

$x = \frac{60}{20}$

$x = 3$

Мы нашли, что цена за 1 м³ газа в 2012 году составляла 3 рубля.

Вопрос задачи — сколько стоил 1 м³ газа в 2013 году. Для этого к цене 2012 года прибавим 1 рубль:

Цена в 2013 г. = $x + 1 = 3 + 1 = 4$ рубля.

Проверим полученный результат:

Сумма к оплате в 2012 году: $180 \text{ м³} \cdot 3 \text{ руб./м³} = 540$ рублей.

Сумма к оплате в 2013 году: $200 \text{ м³} \cdot 4 \text{ руб./м³} = 800$ рублей.

Разница в оплате: $800 - 540 = 260$ рублей, что соответствует условию задачи.

Ответ: 1 м³ газа в 2013 году стал стоить 4 рубля.

Решите старинные задачи:

4.40 Говорят, что на вопрос о том, сколько у него учеников, древнегреческий математик Пифагор ответил так: «Половина моих учеников изучает математику, четверть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют три девы». Сколько учеников было у Пифагора?

Для решения этой задачи обозначим общее количество учеников Пифагора переменной $x$.

Согласно условию, ученики Пифагора делятся на следующие группы:
- Половина изучает математику, что составляет $\frac{1}{2}x$ от общего числа учеников.
- Четверть изучает природу, что составляет $\frac{1}{4}x$ от общего числа учеников.
- Седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, что составляет $\frac{1}{7}x$ от общего числа учеников.
- Остальную часть составляют три девы, то есть 3 ученицы.

Сумма всех этих частей должна быть равна общему количеству учеников $x$. На основании этого составим уравнение:

$\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + \frac{1}{7}x + 3 = x$

Чтобы решить уравнение, перенесём все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовое значение оставим в другой:

$3 = x - \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x - \frac{1}{7}x$

Теперь приведём дроби в правой части уравнения к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 2, 4 и 7 равно 28.

$3 = \frac{28}{28}x - \frac{14}{28}x - \frac{7}{28}x - \frac{4}{28}x$

Выполним вычитание дробей:

$3 = \frac{28 - 14 - 7 - 4}{28}x$

$3 = \frac{3}{28}x$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{28}{3}$:

$x = 3 \cdot \frac{28}{3}$

$x = 28$

Таким образом, у Пифагора было 28 учеников.

Проверим полученный результат:
- Изучали математику: $\frac{1}{2} \cdot 28 = 14$ учеников.
- Изучали природу: $\frac{1}{4} \cdot 28 = 7$ учеников.
- Проводили время в размышлении: $\frac{1}{7} \cdot 28 = 4$ ученика.
- Три девы: 3 ученицы.
Сумма всех учеников: $14 + 7 + 4 + 3 = 28$. Решение верно.

Ответ: 28 учеников.

4.41 По контракту рабочим причитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них взыскивается по 12 франков. Через 30 дней работы выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали на самом деле за это время?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество отработанных дней, а $y$ — количество неотработанных (пропущенных) дней.

По условию, общий период работы составляет 30 дней. Это означает, что сумма отработанных и неотработанных дней равна 30. Мы можем записать это в виде первого уравнения:

$x + y = 30$

За каждый отработанный день ($x$) рабочий получал 48 франков, а за каждый неотработанный ($y$) с него взыскивали 12 франков. В итоге их общий заработок оказался равен нулю. Это позволяет нам составить второе уравнение, которое описывает финансовый результат:

$48x - 12y = 0$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x + y = 30 \\ 48x - 12y = 0 \end{cases} $

Для удобства решения упростим второе уравнение, разделив обе его части на 12:

$4x - y = 0$

Из этого упрощенного уравнения можно легко выразить $y$ через $x$:

$y = 4x$

Это соотношение показывает, что количество неотработанных дней в 4 раза больше, чем количество отработанных.

Теперь подставим выражение $y = 4x$ в первое уравнение системы ($x + y = 30$):

$x + 4x = 30$

Решим полученное уравнение:

$5x = 30$

$x = \frac{30}{5}$

$x = 6$

Таким образом, мы нашли, что количество отработанных дней равно 6.

Для проверки найдем количество неотработанных дней:

$y = 4x = 4 \times 6 = 24$

Проверим, сходятся ли наши результаты с условиями задачи:

• Общее количество дней: $6 + 24 = 30$ дней. Это верно.
• Итоговый заработок: $48 \times 6 - 12 \times 24 = 288 - 288 = 0$ франков. Это тоже верно.

Следовательно, задача решена правильно.

Ответ: рабочие отработали 6 дней.

4.42 Спросил некто у учителя: «Скажи, сколько у тебя в классе учеников, так как я хочу отдать тебе в ученье своего сына».

Учитель ответил: «Если придёт ещё столько же, сколько имею, и полстолько, и четвёртая часть, и твой сын, то будет у меня 100 учеников». Спрашивается, сколько было у учителя учеников?

Для решения этой задачи давайте обозначим первоначальное количество учеников у учителя переменной $x$.

Согласно условию, если к текущему количеству учеников прибавить еще несколько групп людей, то в классе станет 100 человек. Учитель перечисляет все группы, которые в сумме составят 100 учеников:

• $x$ — изначальное количество учеников («столько, сколько имею»)
• $x$ — «ещё столько же»
• $\frac{x}{2}$ — «полстолько»
• $\frac{x}{4}$ — «четвёртая часть»
• 1 — «твой сын»

Сложив все эти части, мы получим общее число 100. Это позволяет нам составить следующее уравнение:

$x + x + \frac{x}{2} + \frac{x}{4} + 1 = 100$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$.

1. Сначала упростим левую часть, сложив члены с $x$ и перенеся число 1 в правую часть уравнения:

$2x + \frac{x}{2} + \frac{x}{4} = 100 - 1$

$2x + \frac{x}{2} + \frac{x}{4} = 99$

2. Чтобы сложить выражения с $x$, приведем их к общему знаменателю, который равен 4:

$\frac{2x \cdot 4}{4} + \frac{x \cdot 2}{4} + \frac{x}{4} = 99$

$\frac{8x}{4} + \frac{2x}{4} + \frac{x}{4} = 99$

3. Теперь сложим дроби в левой части:

$\frac{8x + 2x + x}{4} = 99$

$\frac{11x}{4} = 99$

4. Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 4:

$11x = 99 \cdot 4$

$11x = 396$

5. Наконец, разделим обе части на 11:

$x = \frac{396}{11}$

$x = 36$

Таким образом, мы выяснили, что у учителя изначально было 36 учеников.

Проверка:
Давайте проверим, получится ли 100, если к 36 ученикам придут все, кого перечислил учитель.
Изначальное количество (36) + столько же (36) + полстолько ($\frac{36}{2}=18$) + четверть ($\frac{36}{4}=9$) + сын (1).
Сумма: $36 + 36 + 18 + 9 + 1 = 72 + 18 + 10 = 90 + 10 = 100$.
Результат совпадает с условием, значит, задача решена верно.

Ответ: у учителя было 36 учеников.