Страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

3.16 Первое число равно $x$, а второе на 2,5 больше первого. Известно, что $\frac{1}{5}$ первого числа равна $\frac{1}{4}$ второго.

Пусть первое число равно $x$.

Согласно условию задачи, второе число на 2,5 больше первого. Следовательно, второе число можно записать как $(x + 2.5)$.

Также в условии сказано, что $\frac{1}{5}$ первого числа равна $\frac{1}{4}$ второго. На основе этого мы можем составить уравнение:

$\frac{1}{5}x = \frac{1}{4}(x + 2.5)$

Для того чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от дробей. Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 4, которое равно 20:

$20 \cdot \frac{1}{5}x = 20 \cdot \frac{1}{4}(x + 2.5)$

Выполним умножение:

$4x = 5(x + 2.5)$

Теперь раскроем скобки в правой части уравнения:

$4x = 5x + 5 \cdot 2.5$

$4x = 5x + 12.5$

Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а числовые значения оставим в правой:

$4x - 5x = 12.5$

$-x = 12.5$

Умножим обе части на -1, чтобы найти $x$:

$x = -12.5$

Таким образом, первое число равно -12,5.

Теперь найдем второе число, подставив значение $x$ в выражение $(x + 2.5)$:

Второе число = $-12.5 + 2.5 = -10$.

Проверим наше решение.

$\frac{1}{5}$ первого числа: $\frac{1}{5} \cdot (-12.5) = -2.5$.

$\frac{1}{4}$ второго числа: $\frac{1}{4} \cdot (-10) = -2.5$.

Так как $-2.5 = -2.5$, условие задачи выполняется, и решение найдено верно.

Ответ: первое число равно -12,5, второе число равно -10.

3.17 У Миши $x$ марок, а у Андрея $y$ марок. Если Миша отдаст Андрею 8 марок, то у Андрея станет марок вдвое больше, чем останется у Миши.

Для решения этой задачи необходимо составить уравнение, основываясь на её условиях.

Изначально у Миши было $x$ марок, а у Андрея — $y$ марок.

Когда Миша отдает Андрею 8 марок, количество марок у Миши становится $x - 8$.

В то же время количество марок у Андрея увеличивается на 8 и становится $y + 8$.

По условию, после этого у Андрея стало марок вдвое больше, чем у Миши. Это означает, что количество марок Андрея равно удвоенному количеству марок Миши. Запишем это в виде математического равенства:

$y + 8 = 2 \cdot (x - 8)$

Это и есть уравнение, описывающее зависимость между $x$ и $y$. Можно его упростить, раскрыв скобки:

$y + 8 = 2x - 16$

Теперь можно выразить одну переменную через другую. Например, выразим $y$ через $x$:

$y = 2x - 16 - 8$

$y = 2x - 24$

Ответ: Уравнение, описывающее данное условие, имеет вид $y + 8 = 2(x - 8)$ или, в упрощенной форме, $y = 2x - 24$.

3.18 Автомобиль проехал $x$ км по шоссе и $y$ км по просёлочной дороге, причём по шоссе он проехал большую часть пути.

а) Сколько всего километров проехал автомобиль по шоссе и просёлочной дороге?

б) На сколько больше километров он проехал по шоссе, чем по просёлочной дороге?

в) Во сколько раз путь по просёлочной дороге короче пути по шоссе?

г) Какое время затратил автомобиль на весь путь, если он ехал со скоростью 40 км/ч; $v$ км/ч; 60 км/ч по шоссе и 30 км/ч по просёлочной дороге?

а) Сколько всего километров проехал автомобиль по шоссе и просёлочной дороге?

Чтобы найти общее расстояние, необходимо сложить расстояние, пройденное автомобилем по шоссе, и расстояние, пройденное по просёлочной дороге. Согласно условию, автомобиль проехал $x$ км по шоссе и $y$ км по просёлочной дороге. Таким образом, общее расстояние, которое проехал автомобиль, вычисляется как сумма этих двух расстояний.

Выражение для общего расстояния: $x + y$ км.

Ответ: $x + y$ км.

б) На сколько больше километров он проехал по шоссе, чем по просёлочной дороге?

Чтобы определить, на сколько километров путь по шоссе длиннее пути по просёлочной дороге, нужно из расстояния, пройденного по шоссе, вычесть расстояние, пройденное по просёлочной дороге. В условии сказано, что по шоссе он проехал большую часть пути, то есть $x > y$. Следовательно, разница составляет $x - y$ км.

Ответ: на $x - y$ км.

в) Во сколько раз путь по просёлочной дороге короче пути по шоссе?

Чтобы узнать, во сколько раз один путь короче другого, нужно разделить длину большего пути на длину меньшего. В данном случае, мы делим расстояние, пройденное по шоссе ($x$ км), на расстояние, пройденное по просёлочной дороге ($y$ км). Это отношение покажет, во сколько раз путь по шоссе длиннее, что эквивалентно тому, во сколько раз путь по просёлочной дороге короче.

Отношение расстояний: $\frac{x}{y}$.

Ответ: в $\frac{x}{y}$ раз.

г) Какое время затратил автомобиль на весь путь, если он ехал со скоростью 40 км/ч; v км/ч; 60 км/ч по шоссе и 30 км/ч по просёлочной дороге?

Общее время в пути складывается из времени движения по шоссе и времени движения по просёлочной дороге. Время находится по формуле $t = \frac{s}{v}$, где $s$ – это расстояние, а $v$ – это скорость.
Время движения по просёлочной дороге ($y$ км со скоростью 30 км/ч) постоянно во всех случаях и равно $t_{прос} = \frac{y}{30}$ ч.
Время движения по шоссе ($x$ км) зависит от скорости. Рассмотрим три предложенных варианта скорости:

1. Скорость по шоссе равна 40 км/ч.
Время по шоссе: $t_{шоссе} = \frac{x}{40}$ ч.
Общее время: $T_1 = t_{шоссе} + t_{прос} = \frac{x}{40} + \frac{y}{30}$ ч.

2. Скорость по шоссе равна $v$ км/ч.
Время по шоссе: $t_{шоссе} = \frac{x}{v}$ ч.
Общее время: $T_2 = t_{шоссе} + t_{прос} = \frac{x}{v} + \frac{y}{30}$ ч.

3. Скорость по шоссе равна 60 км/ч.
Время по шоссе: $t_{шоссе} = \frac{x}{60}$ ч.
Общее время: $T_3 = t_{шоссе} + t_{прос} = \frac{x}{60} + \frac{y}{30}$ ч.

Ответ: $\frac{x}{40} + \frac{y}{30}$ ч; $\frac{x}{v} + \frac{y}{30}$ ч; $\frac{x}{60} + \frac{y}{30}$ ч.

3.19 Автомобиль ехал 1 ч по городу со скоростью $x$ км/ч и 2 ч по автостраде со скоростью $y$ км/ч.

а) Сколько километров автомобиль проехал по городу?

б) Сколько километров он проехал по автостраде?

в) Сколько всего километров автомобиль проехал по городу и автостраде?

г) На сколько больше километров он проехал по автостраде, чем по городу?

а) Сколько километров автомобиль проехал по городу?

Для нахождения расстояния ($S$) используется формула $S = v \cdot t$, где $v$ — это скорость, а $t$ — время.
По городу автомобиль ехал 1 час со скоростью $x$ км/ч.
Подставляем значения в формулу: $S_{города} = x \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = x$ км.
Ответ: $x$ км.

б) Сколько километров он проехал по автостраде?

По автостраде автомобиль ехал 2 часа со скоростью $y$ км/ч.
Подставляем значения в формулу: $S_{автострады} = y \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 2y$ км.
Ответ: $2y$ км.

в) Сколько всего километров автомобиль проехал по городу и автостраде?

Чтобы найти общее расстояние, нужно сложить расстояние, пройденное по городу, и расстояние, пройденное по автостраде.
$S_{общее} = S_{города} + S_{автострады} = x + 2y$.
Ответ: $(x + 2y)$ км.

г) На сколько больше километров он проехал по автостраде, чем по городу?

Чтобы найти, на сколько километров путь по автостраде длиннее, нужно из расстояния, пройденного по автостраде, вычесть расстояние, пройденное по городу.
Разница в расстоянии: $S_{автострады} - S_{города} = 2y - x$.
Ответ: на $(2y - x)$ км.

3.20 Скорость пешехода $v$ км/ч, а велосипедиста на $b$ км/ч больше.

а) Чему равна скорость велосипедиста?

б) Какое расстояние пройдёт пешеход за 2 ч? 45 мин? 1 ч 20 мин?

в) Какое расстояние проедет велосипедист за $t$ ч? $m$ мин?

г) Сколько времени затратит пешеход на расстояние, пройденное велосипедистом за $t$ ч?

а) Чему равна скорость велосипедиста?
Скорость пешехода равна $v$ км/ч. По условию, скорость велосипедиста на $b$ км/ч больше. Чтобы найти скорость велосипедиста, необходимо к скорости пешехода прибавить разницу в скорости $b$.
Скорость велосипедиста = $v + b$ (км/ч).
Ответ: $(v + b)$ км/ч.

б) Какое расстояние пройдёт пешеход за 2 ч? 45 мин? 1 ч 20 мин?
Расстояние вычисляется по формуле $S = V \cdot T$, где $S$ — это расстояние, $V$ — скорость, а $T$ — время. Скорость пешехода равна $v$ км/ч.
1) За 2 часа:
Время $T = 2$ ч. Расстояние, которое пройдет пешеход, составит $S = v \cdot 2 = 2v$ (км).
2) За 45 минут:
Сначала необходимо перевести минуты в часы. В одном часе 60 минут, следовательно, $45$ мин = $\frac{45}{60}$ ч = $\frac{3}{4}$ ч.
Расстояние, которое пройдет пешеход, составит $S = v \cdot \frac{3}{4} = \frac{3v}{4}$ (км).
3) За 1 час 20 минут:
Переведем время в часы. $20$ мин = $\frac{20}{60}$ ч = $\frac{1}{3}$ ч.
Общее время в пути $T = 1$ ч $20$ мин = $1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ ч.
Расстояние, которое пройдет пешеход, составит $S = v \cdot \frac{4}{3} = \frac{4v}{3}$ (км).
Ответ: за 2 ч пешеход пройдёт $2v$ км; за 45 мин — $\frac{3v}{4}$ км; за 1 ч 20 мин — $\frac{4v}{3}$ км.

в) Какое расстояние проедет велосипедист за t ч? m мин?
Скорость велосипедиста, как было найдено в пункте а), равна $(v+b)$ км/ч.
1) За $t$ часов:
Время $T = t$ ч. Расстояние, которое проедет велосипедист, составит $S = (v+b) \cdot t$ (км).
2) За $m$ минут:
Переведем минуты в часы: $T = m$ мин = $\frac{m}{60}$ ч.
Расстояние, которое проедет велосипедист, составит $S = (v+b) \cdot \frac{m}{60} = \frac{m(v+b)}{60}$ (км).
Ответ: за $t$ ч велосипедист проедет $t(v+b)$ км; за $m$ мин — $\frac{m(v+b)}{60}$ км.

г) Сколько времени затратит пешеход на расстояние, пройденное велосипедистом за t ч?
Решение задачи состоит из двух шагов.
Шаг 1: Найдем расстояние, которое проехал велосипедист за $t$ часов. Его скорость равна $(v+b)$ км/ч.
Расстояние $S = (v+b) \cdot t$ (км).
Шаг 2: Найдем, сколько времени потребуется пешеходу, чтобы пройти это же расстояние. Скорость пешехода равна $v$ км/ч. Время вычисляется по формуле $T = \frac{S}{V}$.
Время пешехода $T_{пеш} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость пешехода}} = \frac{t(v+b)}{v}$ (ч).
Ответ: $\frac{t(v+b)}{v}$ ч.

3.21 Ира купила $n$ м ткани на юбку, а на блузку в $1,5$ раза больше.

а) Сколько метров ткани Ира купила на блузку?

б) На сколько больше метров ткани она купила на блузку, чем на юбку?

в) Сколько всего метров ткани купила Ира?

г) Сколько рублей истратила Ира на всю ткань, если цена ткани за $1$ м равна $x$ р.?

а) Сколько метров ткани Ира купила на блузку?

По условию, на юбку Ира купила $n$ м ткани. На блузку она купила в $1,5$ раза больше. Чтобы найти количество ткани, купленной на блузку, нужно количество ткани на юбку умножить на $1,5$.

Выражение для количества ткани на блузку: $n \cdot 1,5 = 1,5n$ (м).

Ответ: Ира купила на блузку $1,5n$ м ткани.

б) На сколько больше метров ткани она купила на блузку, чем на юбку?

Чтобы найти, на сколько больше метров ткани было куплено на блузку по сравнению с юбкой, нужно из количества ткани на блузку вычесть количество ткани на юбку.

Разница в количестве ткани: $1,5n - n = (1,5 - 1)n = 0,5n$ (м).

Ответ: На блузку она купила на $0,5n$ м ткани больше, чем на юбку.

в) Сколько всего метров ткани купила Ира?

Чтобы найти общее количество купленной ткани, необходимо сложить количество ткани, купленное на юбку, и количество ткани, купленное на блузку.

Общее количество ткани: $n + 1,5n = (1 + 1,5)n = 2,5n$ (м).

Ответ: Всего Ира купила $2,5n$ м ткани.

г) Сколько рублей истратила Ира на всю ткань, если цена ткани за 1 м равна x р.?

Чтобы рассчитать общую стоимость покупки, нужно общее количество купленной ткани (найденное в пункте в) умножить на цену за один метр ткани.

Общая стоимость: (общее количество ткани) $\cdot$ (цена за 1 м) = $2,5n \cdot x = 2,5nx$ (р.).

Ответ: Ира истратила на всю ткань $2,5nx$ рублей.