Страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1.43 Докажите, что значение дроби равно нулю:

а) $\frac{\left(2\frac{1}{10} : 2 - 1.8\right) \cdot 0.4 + 0.3}{3.15 : 22.5}$;

б) $\frac{\left(1.24 - 1\frac{1}{25}\right) \cdot 2.5 - \frac{1}{6} : \frac{1}{3}}{1.4 : 0.1 - 2}$.

а)

Чтобы доказать, что значение дроби $ \frac{\left(2\frac{1}{10} : 2 - 1,8\right) \cdot 0,4 + 0,3}{3,15 : 22,5} $ равно нулю, необходимо показать, что её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Вычислим значения числителя и знаменателя по действиям.

1. Вычисление числителя: $ \left(2\frac{1}{10} : 2 - 1,8\right) \cdot 0,4 + 0,3 $

1) Преобразуем смешанное число в десятичную дробь: $ 2\frac{1}{10} = 2,1 $.

2) Выполним деление в скобках: $ 2,1 : 2 = 1,05 $.

3) Выполним вычитание в скобках: $ 1,05 - 1,8 = -0,75 $.

4) Результат в скобках умножим на 0,4: $ -0,75 \cdot 0,4 = -0,3 $.

5) К полученному результату прибавим 0,3: $ -0,3 + 0,3 = 0 $.

Таким образом, числитель дроби равен 0.

2. Вычисление знаменателя: $ 3,15 : 22,5 $

$ 3,15 : 22,5 = 0,14 $.

Знаменатель равен 0,14 и не равен нулю.

3. Вычисление значения дроби:

Поскольку числитель равен 0, а знаменатель не равен 0, значение всей дроби равно нулю: $ \frac{0}{0,14} = 0 $. Что и требовалось доказать.

Ответ: 0

б)

Аналогично докажем, что значение дроби $ \frac{\left(1,24 - 1\frac{1}{25}\right) \cdot 2,5 - \frac{1}{6} : \frac{1}{3}}{1,4 : 0,1 - 2} $ равно нулю. Вычислим по действиям её числитель и знаменатель.

1. Вычисление числителя: $ \left(1,24 - 1\frac{1}{25}\right) \cdot 2,5 - \frac{1}{6} : \frac{1}{3} $

1) Преобразуем смешанное число в десятичную дробь: $ 1\frac{1}{25} = 1\frac{4}{100} = 1,04 $.

2) Выполним вычитание в скобках: $ 1,24 - 1,04 = 0,2 $.

3) Результат в скобках умножим на 2,5: $ 0,2 \cdot 2,5 = 0,5 $.

4) Выполним деление обыкновенных дробей: $ \frac{1}{6} : \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5 $.

5) Выполним вычитание: $ 0,5 - 0,5 = 0 $.

Таким образом, числитель дроби равен 0.

2. Вычисление знаменателя: $ 1,4 : 0,1 - 2 $

1) Выполним деление: $ 1,4 : 0,1 = 14 $.

2) Выполним вычитание: $ 14 - 2 = 12 $.

Знаменатель равен 12 и не равен нулю.

3. Вычисление значения дроби:

Поскольку числитель равен 0, а знаменатель не равен 0, значение всей дроби равно нулю: $ \frac{0}{12} = 0 $. Что и требовалось доказать.

Ответ: 0

1.44 Докажите, что данная дробь не имеет смысла:

а) $\frac{3,5 \cdot 1,24}{10 + 1,6 : \left(\frac{3}{5} \cdot 0,4 - 0,4\right)}$

б) $\frac{4,2 : 2 - 1}{\frac{1}{9} + \frac{5}{9} \cdot \left(0,8 \cdot \frac{1}{6} - \frac{1}{3}\right)}$

Дробное выражение не имеет смысла в том случае, если его знаменатель равен нулю, так как деление на ноль является неопределенной операцией. Чтобы доказать, что данные дроби не имеют смысла, мы должны вычислить их знаменатели и показать, что они равны нулю.

Рассмотрим дробь $\frac{3,5 \cdot 1,24}{10 + 1,6 : (\frac{3}{5} \cdot 0,4 - 0,4)}$.

Вычислим значение ее знаменателя: $10 + 1,6 : (\frac{3}{5} \cdot 0,4 - 0,4)$.

Для этого выполним действия по порядку:

1. Вычислим выражение в скобках. Сначала переведем обыкновенную дробь $\frac{3}{5}$ в десятичную: $\frac{3}{5} = 0,6$.
Теперь выполним умножение: $0,6 \cdot 0,4 = 0,24$.
Затем вычитание: $0,24 - 0,4 = -0,16$.

2. Подставим полученное значение в выражение знаменателя и выполним деление:
$1,6 : (-0,16) = -10$.

3. Выполним сложение:
$10 + (-10) = 10 - 10 = 0$.

Поскольку знаменатель дроби равен нулю, дробь не имеет смысла.
Ответ: знаменатель дроби равен $10 + 1,6 : (\frac{3}{5} \cdot 0,4 - 0,4) = 10 + 1,6 : (0,24 - 0,4) = 10 + 1,6 : (-0,16) = 10 - 10 = 0$, следовательно, дробь не имеет смысла.

Рассмотрим дробь $\frac{4,2 : 2 - 1}{\frac{1}{9} + \frac{5}{9} \cdot (0,8 \cdot \frac{1}{6} - \frac{1}{3})}$.

Вычислим значение ее знаменателя: $\frac{1}{9} + \frac{5}{9} \cdot (0,8 \cdot \frac{1}{6} - \frac{1}{3})$.

Для этого выполним действия по порядку:

1. Вычислим выражение в скобках. Для удобства вычислений переведем десятичную дробь $0,8$ в обыкновенную: $0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
Теперь выполним умножение: $\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$.
Затем выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю 15: $\frac{2}{15} - \frac{1}{3} = \frac{2}{15} - \frac{5}{15} = -\frac{3}{15} = -\frac{1}{5}$.

2. Подставим полученное значение в выражение знаменателя и выполним умножение:
$\frac{5}{9} \cdot (-\frac{1}{5}) = -\frac{5 \cdot 1}{9 \cdot 5} = -\frac{1}{9}$.

3. Выполним сложение:
$\frac{1}{9} + (-\frac{1}{9}) = \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = 0$.

Поскольку знаменатель дроби равен нулю, дробь не имеет смысла.
Ответ: знаменатель дроби равен $\frac{1}{9} + \frac{5}{9} \cdot (0,8 \cdot \frac{1}{6} - \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{5}{9} \cdot (\frac{2}{15} - \frac{5}{15}) = \frac{1}{9} + \frac{5}{9} \cdot (-\frac{1}{5}) = \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = 0$, следовательно, дробь не имеет смысла.

1.45 В выражении $7 \cdot 6 + 24 : 3 - 2$ расставьте скобки так, чтобы его значение было:

а) наименьшим;

б) наибольшим.

Для решения задачи необходимо перебрать различные варианты расстановки скобок в выражении $7 \cdot 6 + 24 : 3 - 2$ и вычислить получившиеся значения, чтобы найти наименьшее и наибольшее из них.

Исходное выражение без скобок вычисляется согласно порядку действий (сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание):
$7 \cdot 6 + 24 : 3 - 2 = 42 + 8 - 2 = 48$.

Чтобы получить наименьшее значение, нужно изменить порядок действий так, чтобы результат был минимальным. Часто это достигается путем деления на большее число или вычитания из меньшего числа.

Рассмотрим вариант расстановки скобок, при котором мы сначала выполним сложение, а затем полученный результат разделим: $(7 \cdot 6 + 24) : 3 - 2$.

Вычислим значение этого выражения по шагам:

1. Выполним умножение в скобках: $7 \cdot 6 = 42$.
2. Выполним сложение в скобках: $42 + 24 = 66$.
3. Выполним деление: $66 : 3 = 22$.
4. Выполним вычитание: $22 - 2 = 20$.

Полученное значение 20 является наименьшим из всех возможных. Другие расстановки скобок приводят к большим значениям. Например, $7 \cdot 6 + 24 : (3 - 2) = 42 + 24 : 1 = 66$.

Ответ: $(7 \cdot 6 + 24) : 3 - 2 = 20$.

Для получения наибольшего значения нужно стремиться к тому, чтобы в результате действий получались большие числа. Обычно это достигается за счет умножения на большие числа или деления на числа, меньшие единицы (в данном случае — на наименьшее возможное целое положительное число).

Чтобы максимизировать результат, умножим 7 на максимально возможное число, которое можно получить из оставшейся части выражения. Для этого сгруппируем ее с помощью скобок: $7 \cdot (6 + 24 : 3 - 2)$. Но мы можем получить еще больший результат, если изменим порядок действий и внутри этих скобок. Для этого уменьшим делитель, поставив скобки вокруг разности $3 - 2$.

Рассмотрим расстановку скобок: $7 \cdot (6 + 24 : (3 - 2))$.

Вычислим значение по шагам:

1. Выполним действие во внутренних скобках: $3 - 2 = 1$.
2. Выражение примет вид: $7 \cdot (6 + 24 : 1)$.
3. Во внешних скобках сначала выполним деление: $24 : 1 = 24$.
4. Затем выполним сложение в скобках: $6 + 24 = 30$.
5. Наконец, выполним умножение: $7 \cdot 30 = 210$.

Полученное значение 210 является наибольшим из всех возможных. Другие варианты, например, $7 \cdot (6 + 24) : 3 - 2 = 68$ или $(7 \cdot 6 + 24) : (3 - 2) = 66$, дают меньший результат.

Ответ: $7 \cdot (6 + 24 : (3 - 2)) = 210$.

1.46 Составьте числовое выражение, значение которого равно 100, используя перечисленные цифры и не меняя порядок их следования:

а) 1, 2, 3, 4, 5;

б) пять единиц;

в) пять пятёрок;

г) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

а) Задача состоит в том, чтобы составить числовое выражение, равное 100, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5 в заданном порядке. Для этого можно использовать арифметические операции (+, -, *, /) и скобки. Одним из способов является комбинирование умножения и сложения.
Рассмотрим выражение: $ (1 \cdot 2 + 3) \cdot 4 \cdot 5 $.
Проверим его значение, соблюдая порядок действий:
1. Вычисляем выражение в скобках: $ 1 \cdot 2 + 3 = 2 + 3 = 5 $.
2. Полученный результат умножаем на 4: $ 5 \cdot 4 = 20 $.
3. Итоговый результат умножаем на 5: $ 20 \cdot 5 = 100 $.
Таким образом, значение выражения действительно равно 100.
Ответ: $ (1 \cdot 2 + 3) \cdot 4 \cdot 5 = 100 $

б) Необходимо получить 100, используя пять единиц (1, 1, 1, 1, 1). В таких задачах часто используется конкатенация, то есть объединение цифр в многозначные числа.
Мы можем составить числа 111 и 11.
Первые три единицы образуют число 111.
Следующие две единицы образуют число 11.
Теперь вычтем второе число из первого: $ 111 - 11 = 100 $.
Все пять единиц использованы в заданном порядке.
Ответ: $ 111 - 11 = 100 $

в) Нужно составить выражение, равное 100, из пяти пятёрок (5, 5, 5, 5, 5). Здесь также можно применить различные арифметические операции.
Рассмотрим следующий вариант: $ (5 \cdot 5) \cdot (5 - 5 / 5) $.
Проверим вычисления по порядку:
1. Сначала выполняем деление в скобках: $ 5 / 5 = 1 $.
2. Затем вычитание в тех же скобках: $ 5 - 1 = 4 $.
3. Вычисляем произведение в первых скобках: $ 5 \cdot 5 = 25 $.
4. Умножаем результаты: $ 25 \cdot 4 = 100 $.
Все пять пятерок использованы в правильной последовательности.
Ответ: $ (5 \cdot 5) \cdot (5 - 5 / 5) = 100 $

г) Требуется получить 100 из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Так как сумма всех этих цифр равна 45, что значительно меньше 100, необходимо использовать не только сложение, но и другие операции, например, конкатенацию цифр.
Один из возможных вариантов решения — это комбинация сложения и вычитания с объединенными цифрами.
Рассмотрим выражение: $ 123 - 45 - 67 + 89 $.
Выполним действия последовательно:
1. $ 123 - 45 = 78 $.
2. $ 78 - 67 = 11 $.
3. $ 11 + 89 = 100 $.
Результат равен 100, и все цифры от 1 до 9 использованы по порядку.
Ответ: $ 123 - 45 - 67 + 89 = 100 $

1.47 Составьте числовые выражения, используя в их записи только четыре четвёрки, так, чтобы эти выражения принимали следующие значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

0. Чтобы получить значение 0, можно из числа вычесть само себя. Используя четыре четверки, можно составить число 44 и вычесть из него такое же число 44.
Ответ: $44 - 44 = 0$

1. Чтобы получить значение 1, можно разделить число на само себя. С помощью конкатенации (объединения) двух четверок получаем число 44, которое затем делим на такое же число 44.
Ответ: $44 / 44 = 1$

2. Чтобы получить значение 2, можно сложить две единицы. Каждую единицу можно представить как частное от деления 4 на 4. Таким образом, мы складываем два таких частных.
Ответ: $4/4 + 4/4 = 2$

3. Чтобы получить значение 3, можно сумму трех четверок разделить на оставшуюся четверку. В скобках получаем $4+4+4=12$, а затем делим результат на 4.
Ответ: $(4 + 4 + 4) / 4 = 3$

4. Чтобы получить значение 4, можно воспользоваться свойством умножения на ноль. К одной четверке прибавляем выражение, равное нулю, например, разность двух четверок, умноженную на последнюю четверку.
Ответ: $4 + (4 - 4) * 4 = 4$

5. Чтобы получить значение 5, можно произведение двух четверок сложить с третьей и результат разделить на четвертую. В скобках получаем $16+4=20$, что при делении на 4 дает 5.
Ответ: $(4 * 4 + 4) / 4 = 5$

6. Чтобы получить значение 6, можно к 4 прибавить 2. Число 2 легко получить, разделив сумму двух четверок на третью.
Ответ: $4 + (4 + 4) / 4 = 6$

7. Чтобы получить значение 7, можно из 11 вычесть 4. Число 11 составляется путем деления 44 на 4.
Ответ: $44 / 4 - 4 = 7$

8. Чтобы получить значение 8, достаточно использовать только сложение и вычитание. Сумма трех четверок равна 12, из которой вычитается последняя четверка.
Ответ: $4 + 4 + 4 - 4 = 8$

9. Чтобы получить значение 9, можно к сумме двух четверок (что равно 8) прибавить единицу. Единицу получаем, разделив 4 на 4.
Ответ: $4 + 4 + 4 / 4 = 9$

10. Чтобы получить значение 10, можно из 44 вычесть 4, получив 40, и затем разделить результат на оставшуюся четверку.
Ответ: $(44 - 4) / 4 = 10$

Запишите на математическом языке.

2.1 а) $a+b$

б) $c-d$

в) $x \cdot y$

г) $\frac{t}{v}$

а) Сумма чисел a и b представляет собой результат их сложения. На математическом языке это записывается с использованием знака плюс «+».
Ответ: $a + b$

б) Разность чисел c и d — это результат, получаемый при вычитании числа d из числа c. Для записи используется знак минус «–».
Ответ: $c - d$

в) Произведение чисел x и y — это результат их умножения. В алгебре знак умножения между буквенными множителями (переменными) принято опускать.
Ответ: $xy$

г) Частное от деления числа t на число v — это результат деления делимого t на делитель v. Такое действие принято записывать в виде дроби, где t — числитель, а v — знаменатель.
Ответ: $\frac{t}{v}$