Страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1.38 Составьте числовое выражение, значение которого равно $\frac{5}{6}$, используя при этом:

а) только одно действие;

б) сложение и вычитание;

в) умножение и деление;

г) сложение и деление.

а) только одно действие;

Для того чтобы получить числовое выражение, равное $\frac{5}{6}$, используя только одно действие, можно, например, вычесть из единицы дробь $\frac{1}{6}$.

Проверим вычисление: $1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{6-1}{6} = \frac{5}{6}$.

Другим примером может быть деление: $5 : 6 = \frac{5}{6}$.

Ответ: $1 - \frac{1}{6}$

б) сложение и вычитание;

Необходимо составить выражение, в котором присутствуют и сложение, и вычитание. Можно начать с какого-либо числа, а затем прибавить и вычесть другие числа так, чтобы в итоге получилось $\frac{5}{6}$.

Возьмем, к примеру, выражение $1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2}$. Приведем дроби к общему знаменателю 6: $1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{6}{6} + \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = \frac{6+2-3}{6} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2}$

в) умножение и деление;

Теперь составим выражение с использованием умножения и деления. Можно взять операцию деления, которая дает промежуточный результат, а затем умножить его на подходящее число.

Например, рассмотрим выражение $(10 : 3) \cdot \frac{1}{4}$. Выполним действия: $10 : 3 = \frac{10}{3}$.

Теперь умножим результат на $\frac{1}{4}$: $\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $(10 : 3) \cdot \frac{1}{4}$

г) сложение и деление.

Требуется составить выражение, включающее сложение и деление. Самый простой способ — это составить сумму в числителе и число в знаменателе.

Например, выражение $(2 + 3) : 6$. Сначала выполним сложение в скобках: $2+3=5$.

Затем выполним деление: $5 : 6 = \frac{5}{6}$.

Ответ: $(2 + 3) : 6$

1.39 Составьте числовое выражение, значение которого равно $-3\frac{1}{5}$, используя при этом:

а) только одно действие;

б) сложение и деление;

в) деление и умножение;

г) сложение и умножение.

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную дробь и в десятичную дробь для удобства вычислений:

$-3\frac{1}{5} = -\frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = -\frac{16}{5} = -3.2$

а) только одно действие;

Чтобы получить значение $-3\frac{1}{5}$ с помощью одного действия, можно использовать любую из четырёх арифметических операций. Самый простой способ — представить число $-\frac{16}{5}$ как результат деления.

Пример выражения: $-16 \div 5$.

Проверка: $-16 \div 5 = -3.2$, что равно $-3\frac{1}{5}$.

Ответ: $-16 \div 5$.

б) сложение и деление;

Нужно составить выражение, содержащее одно сложение и одно деление. Выражение может иметь вид $a + (b \div c)$ или $(a + b) \div c$.

Возьмем структуру $a + (b \div c)$. Пусть результат равен $-3.2$. Мы можем подобрать такие числа, чтобы получить нужный результат. Например, возьмем $a = -4$. Тогда нам нужно, чтобы частное $(b \div c)$ было равно $-3.2 - (-4) = 0.8$. Частное $0.8$ можно получить, разделив $4$ на $5$.

Получаем выражение: $-4 + (4 \div 5)$.

Проверка: $-4 + (4 \div 5) = -4 + 0.8 = -3.2 = -3\frac{1}{5}$.

Ответ: $-4 + (4 \div 5)$.

в) деление и умножение;

Нужно составить выражение, содержащее одно деление и одно умножение. Выражение может иметь вид $(a \div b) \cdot c$ или $a \div (b \cdot c)$.

Возьмем структуру $a \div (b \cdot c)$. Пусть результат равен $-3.2$ или $-\frac{16}{5}$. Если мы выберем $a = -16$, то нам нужно, чтобы произведение $(b \cdot c)$ было равно $5$. Это можно получить, например, умножив $2$ на $2.5$.

Получаем выражение: $-16 \div (2 \cdot 2.5)$.

Проверка: $-16 \div (2 \cdot 2.5) = -16 \div 5 = -3.2 = -3\frac{1}{5}$.

Ответ: $-16 \div (2 \cdot 2.5)$.

г) сложение и умножение.

Нужно составить выражение, содержащее одно сложение и одно умножение. Выражение может иметь вид $a + (b \cdot c)$ или $(a + b) \cdot c$.

Возьмем структуру $a + (b \cdot c)$. Число $-3\frac{1}{5}$ можно представить как сумму целой и дробной части: $-3 + (-\frac{1}{5})$. Дробь $-\frac{1}{5}$ можно представить как произведение, например, $-1 \cdot \frac{1}{5}$.

Получаем выражение: $-3 + (-1 \cdot \frac{1}{5})$.

Проверка: $-3 + (-1 \cdot \frac{1}{5}) = -3 - \frac{1}{5} = -3\frac{1}{5}$.

Ответ: $-3 + (-1 \cdot \frac{1}{5})$.

1.40 Даны два числа — 18 и 12. Запишите и найдите значение:

а) произведения большего из чисел и разности квадратов этих чисел; $18 \cdot (18^2 - 12^2)$

б) частного от деления меньшего из этих чисел на их полусумму; $\frac{12}{\frac{18 + 12}{2}}$

в) суммы большего из этих чисел и частного от деления большего на меньшее; $18 + \frac{18}{12}$

г) разности произведения этих чисел и их частного. $18 \cdot 12 - \frac{18}{12}$

а) произведения большего из чисел и разности квадратов этих чисел;
Согласно условию, нам нужно записать и вычислить выражение: произведение числа 18 (большее из двух) и разности квадратов чисел 18 и 12.
Математическая запись выражения: $18 \cdot (18^2 - 12^2)$.
1. Вычислим разность квадратов. Можно сделать это напрямую или используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$18^2 - 12^2 = (18 - 12)(18 + 12) = 6 \cdot 30 = 180$.
2. Теперь умножим большее число на полученный результат:
$18 \cdot 180 = 3240$.
Ответ: 3240.

б) частного от деления меньшего из этих чисел на их полусумму;
Нужно найти частное от деления числа 12 (меньшее из двух) на полусумму чисел 18 и 12.
Математическая запись выражения: $12 \div \frac{18 + 12}{2}$.
1. Найдем полусумму чисел:
$\frac{18 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15$.
2. Теперь разделим меньшее число на полусумму:
$12 \div 15 = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0,8$.
Ответ: 0,8.

в) суммы большего из этих чисел и частного от деления большего на меньшее;
Нужно найти сумму числа 18 (большее из двух) и частного от деления 18 на 12.
Математическая запись выражения: $18 + \frac{18}{12}$.
1. Найдем частное от деления большего числа на меньшее:
$\frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1,5$.
2. Теперь сложим большее число с полученным частным:
$18 + 1,5 = 19,5$.
Ответ: 19,5.

г) разности произведения этих чисел и их частного.
Нужно найти разность между произведением чисел 18 и 12 и их частным (частным от деления большего на меньшее).
Математическая запись выражения: $(18 \cdot 12) - (18 \div 12)$.
1. Найдем произведение чисел:
$18 \cdot 12 = 216$.
2. Найдем частное от деления большего на меньшее:
$18 \div 12 = 1,5$.
3. Вычтем из произведения частное:
$216 - 1,5 = 214,5$.
Ответ: 214,5.

1.41 Даны два числа — 7,2 и 6,4. Запишите и найдите значение:

а) произведения большего из чисел и полуразности этих чисел; $7.2 \cdot \frac{7.2 - 6.4}{2}$

б) частного от деления меньшего из этих чисел на разность их квадратов; $\frac{6.4}{7.2^2 - 6.4^2}$

в) суммы большего из этих чисел и частного от деления большего на меньшее; $7.2 + \frac{7.2}{6.4}$

г) частного от деления большего числа на меньшее. $\frac{7.2}{6.4}$

а) произведения большего из чисел и полуразности этих чисел;

Сначала определим, какое из данных чисел ($-7,2$ и $6,4$) является большим, а какое меньшим. Так как любое положительное число больше любого отрицательного, то:

• Большее число: $6,4$

• Меньшее число: $-7,2$

Далее найдем разность этих чисел, вычитая из большего меньшее:

$6,4 - (-7,2) = 6,4 + 7,2 = 13,6$

Полуразность — это половина разности. Найдем ее:

$\frac{13,6}{2} = 6,8$

Теперь найдем искомое произведение большего числа на полуразность:

$6,4 \cdot 6,8 = 43,52$

Все вычисление можно записать одним выражением:

$6,4 \cdot \frac{6,4 - (-7,2)}{2} = 6,4 \cdot \frac{13,6}{2} = 6,4 \cdot 6,8 = 43,52$

Ответ: $43,52$

б) частного от деления меньшего из этих чисел на разность их квадратов;

Меньшее число: $-7,2$.

Найдем квадраты данных чисел:

Квадрат большего числа: $(6,4)^2 = 40,96$

Квадрат меньшего числа: $(-7,2)^2 = 51,84$

Найдем разность их квадратов. Под разностью квадратов чисел $-7,2$ и $6,4$ будем понимать выражение $(-7,2)^2 - (6,4)^2$:

$(-7,2)^2 - (6,4)^2 = 51,84 - 40,96 = 10,88$

Теперь найдем частное от деления меньшего числа на полученную разность квадратов:

$\frac{-7,2}{10,88}$

Для удобства вычислений избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 100:

$\frac{-7,2 \cdot 100}{10,88 \cdot 100} = \frac{-720}{1088}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 720 и 1088 равен 16:

$\frac{-720 : 16}{1088 : 16} = -\frac{45}{68}$

Ответ: $-\frac{45}{68}$

в) суммы большего из этих чисел и частного от деления большего на меньшее;

Большее число: $6,4$.

Меньшее число: $-7,2$.

Сначала найдем частное от деления большего числа на меньшее:

$\frac{6,4}{-7,2} = -\frac{64}{72}$

Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:

$-\frac{64 : 8}{72 : 8} = -\frac{8}{9}$

Теперь найдем сумму большего числа и полученного частного. Для этого представим $6,4$ в виде обыкновенной дроби:

$6,4 = \frac{64}{10} = \frac{32}{5}$

Выполним сложение:

$\frac{32}{5} + (-\frac{8}{9}) = \frac{32}{5} - \frac{8}{9}$

Приведем дроби к общему знаменателю 45:

$\frac{32 \cdot 9}{5 \cdot 9} - \frac{8 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{288}{45} - \frac{40}{45} = \frac{288-40}{45} = \frac{248}{45}$

Дробь $\frac{248}{45}$ является несократимой. Можно также представить ее в виде смешанного числа: $5\frac{23}{45}$.

Ответ: $\frac{248}{45}$

г) частного от деления большего числа на меньшее.

Это действие уже было выполнено в предыдущем пункте.

Большее число: $6,4$.

Меньшее число: $-7,2$.

Найдем частное от деления большего числа на меньшее:

$\frac{6,4}{-7,2} = -\frac{64}{72}$

Сократим дробь на наибольший общий делитель, равный 8:

$-\frac{64 : 8}{72 : 8} = -\frac{8}{9}$

Ответ: $-\frac{8}{9}$

1.42 Найдите значение числового выражения:

a) $(8\frac{7}{12} - 2\frac{17}{36}) \cdot 2,7 - 4\frac{1}{3} : 0,65;$

б) $(1\frac{11}{24} + \frac{13}{36}) \cdot 1,44 - \frac{8}{15} \cdot 0,5625;$

в) $(6\frac{8}{15} - 4\frac{21}{45}) \cdot 4,5 - 2\frac{1}{6} : 0,52;$

г) $(\frac{9}{22} + 1\frac{12}{33}) \cdot 1,32 - \frac{8}{13} \cdot 0,1625.$

а) $\left(8\frac{7}{12} - 2\frac{17}{36}\right) \cdot 2,7 - 4\frac{1}{3} : 0,65$

Решим по действиям. Сначала выполним действие в скобках, затем умножение и деление, и в конце — вычитание.

1. Выполним вычитание в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 36: $8\frac{7}{12} - 2\frac{17}{36} = 8\frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} - 2\frac{17}{36} = 8\frac{21}{36} - 2\frac{17}{36} = (8-2) + \left(\frac{21-17}{36}\right) = 6\frac{4}{36} = 6\frac{1}{9}$.

2. Выполним умножение. Переведем смешанное число и десятичную дробь в обыкновенные дроби: $6\frac{1}{9} \cdot 2,7 = \frac{55}{9} \cdot \frac{27}{10} = \frac{55 \cdot 27}{9 \cdot 10} = \frac{(5 \cdot 11) \cdot (3 \cdot 9)}{9 \cdot (2 \cdot 5)} = \frac{11 \cdot 3}{2} = \frac{33}{2} = 16,5$.

3. Выполним деление. Переведем смешанное число и десятичную дробь в обыкновенные дроби: $4\frac{1}{3} : 0,65 = \frac{13}{3} : \frac{65}{100} = \frac{13}{3} : \frac{13}{20} = \frac{13}{3} \cdot \frac{20}{13} = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$.

4. Выполним последнее действие — вычитание. Переведем оба числа в обыкновенные дроби с общим знаменателем 6: $16,5 - 6\frac{2}{3} = 16\frac{1}{2} - 6\frac{2}{3} = \frac{33}{2} - \frac{20}{3} = \frac{33 \cdot 3}{6} - \frac{20 \cdot 2}{6} = \frac{99-40}{6} = \frac{59}{6} = 9\frac{5}{6}$.

Ответ: $9\frac{5}{6}$.

б) $\left(1\frac{11}{24} + \frac{13}{36}\right) \cdot 1,44 - \frac{8}{15} \cdot 0,5625$

Решим по действиям: сначала сложение в скобках, затем два умножения, и в конце — вычитание.

1. Выполним сложение в скобках. Найдем наименьший общий знаменатель для 24 и 36, он равен 72: $1\frac{11}{24} + \frac{13}{36} = 1 + \frac{11 \cdot 3}{24 \cdot 3} + \frac{13 \cdot 2}{36 \cdot 2} = 1 + \frac{33}{72} + \frac{26}{72} = 1\frac{33+26}{72} = 1\frac{59}{72}$.

2. Выполним первое умножение. Переведем смешанное число в неправильную дробь, а десятичную — в обыкновенную: $1\frac{59}{72} \cdot 1,44 = \frac{131}{72} \cdot \frac{144}{100} = \frac{131 \cdot 144}{72 \cdot 100} = \frac{131 \cdot 2}{100} = \frac{262}{100} = 2,62$.

3. Выполним второе умножение. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $0,5625 = \frac{5625}{10000} = \frac{9}{16}$. $\frac{8}{15} \cdot 0,5625 = \frac{8}{15} \cdot \frac{9}{16} = \frac{8 \cdot 9}{15 \cdot 16} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{3}{10} = 0,3$.

4. Выполним вычитание: $2,62 - 0,3 = 2,32$.

Ответ: $2,32$.

в) $\left(6\frac{8}{15} - 4\frac{21}{45}\right) \cdot 4,5 - 2\frac{1}{6} : 0,52$

Решим по действиям. Сначала вычитание в скобках, затем умножение и деление, и в конце — вычитание.

1. Выполним вычитание в скобках. Сначала упростим вторую дробь: $4\frac{21}{45} = 4\frac{7}{15}$. $6\frac{8}{15} - 4\frac{7}{15} = (6-4) + \left(\frac{8-7}{15}\right) = 2\frac{1}{15}$.

2. Выполним умножение. Переведем числа в неправильные дроби: $2\frac{1}{15} \cdot 4,5 = \frac{31}{15} \cdot \frac{9}{2} = \frac{31 \cdot 9}{15 \cdot 2} = \frac{31 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{93}{10} = 9,3$.

3. Выполним деление. Переведем числа в обыкновенные дроби: $0,52 = \frac{52}{100} = \frac{13}{25}$. $2\frac{1}{6} : 0,52 = \frac{13}{6} : \frac{13}{25} = \frac{13}{6} \cdot \frac{25}{13} = \frac{25}{6} = 4\frac{1}{6}$.

4. Выполним вычитание. Переведем числа в обыкновенные дроби с общим знаменателем 30: $9,3 - 4\frac{1}{6} = 9\frac{3}{10} - 4\frac{1}{6} = \frac{93}{10} - \frac{25}{6} = \frac{93 \cdot 3}{30} - \frac{25 \cdot 5}{30} = \frac{279 - 125}{30} = \frac{154}{30} = \frac{77}{15} = 5\frac{2}{15}$.

Ответ: $5\frac{2}{15}$.

г) $\left(\frac{9}{22} + 1\frac{12}{33}\right) \cdot 1,32 - \frac{8}{13} \cdot 0,1625$

Решим по действиям: сначала сложение в скобках, затем умножение, и в конце — вычитание.

1. Выполним сложение в скобках. Упростим вторую дробь $1\frac{12}{33} = 1\frac{4}{11}$. Приведем дроби к общему знаменателю 22: $\frac{9}{22} + 1\frac{4}{11} = \frac{9}{22} + 1\frac{4 \cdot 2}{11 \cdot 2} = \frac{9}{22} + 1\frac{8}{22} = 1\frac{9+8}{22} = 1\frac{17}{22}$.

2. Выполним первое умножение. Переведем смешанное число в неправильную дробь, а десятичную — в обыкновенную: $1\frac{17}{22} \cdot 1,32 = \frac{39}{22} \cdot \frac{132}{100} = \frac{39 \cdot 132}{22 \cdot 100} = \frac{39 \cdot 6}{100} = \frac{234}{100} = 2,34$.

3. Выполним второе умножение. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $0,1625 = \frac{1625}{10000} = \frac{13}{80}$. $\frac{8}{13} \cdot 0,1625 = \frac{8}{13} \cdot \frac{13}{80} = \frac{8 \cdot 13}{13 \cdot 80} = \frac{8}{80} = \frac{1}{10} = 0,1$.

4. Выполним вычитание: $2,34 - 0,1 = 2,24$.

Ответ: $2,24$.