Страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1.31 Вычислите $ \frac{2x^2 - 2y^2}{(x+y)(x-y)} $, если:

a) $ x = 2, y = 3 $;

б) $ x = \frac{3}{2}, y = \frac{1}{3} $;

в) $ x = -2, y = 0 $;

г) $ x = 1,3, y = -0,5 $.

Для решения данной задачи сначала упростим исходное выражение: $\frac{2x^2 - 2y^2}{(x+y)(x-y)}$.

1. Вынесем общий множитель 2 в числителе:

$\frac{2(x^2 - y^2)}{(x+y)(x-y)}$

2. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках в числителе:

$\frac{2(x-y)(x+y)}{(x+y)(x-y)}$

3. Сократим дробь на общий множитель $(x+y)(x-y)$. Это преобразование допустимо, если знаменатель не равен нулю, то есть $(x+y)(x-y) \neq 0$, что равносильно условиям $x \neq y$ и $x \neq -y$.

Если эти условия выполнены, то значение выражения равно 2. Проверим эти условия для каждого случая.

а) если $x = 2, y = 3$

Проверяем условия: $2 \neq 3$ и $2 \neq -3$. Оба условия выполнены. Следовательно, значение выражения равно 2.

Для проверки выполним подстановку в исходное выражение:

$\frac{2 \cdot 2^2 - 2 \cdot 3^2}{(2+3)(2-3)} = \frac{2 \cdot 4 - 2 \cdot 9}{5 \cdot (-1)} = \frac{8-18}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$.

Ответ: 2.

б) если $x = \frac{3}{2}, y = \frac{1}{3}$

Проверяем условия: $\frac{3}{2} \neq \frac{1}{3}$ и $\frac{3}{2} \neq -\frac{1}{3}$. Оба условия выполнены. Следовательно, значение выражения равно 2.

Для проверки выполним подстановку в исходное выражение:

$\frac{2(\frac{3}{2})^2 - 2(\frac{1}{3})^2}{(\frac{3}{2}+\frac{1}{3})(\frac{3}{2}-\frac{1}{3})} = \frac{2 \cdot \frac{9}{4} - 2 \cdot \frac{1}{9}}{(\frac{9+2}{6})(\frac{9-2}{6})} = \frac{\frac{9}{2} - \frac{2}{9}}{\frac{11}{6} \cdot \frac{7}{6}} = \frac{\frac{81-4}{18}}{\frac{77}{36}} = \frac{\frac{77}{18}}{\frac{77}{36}} = \frac{77}{18} \cdot \frac{36}{77} = 2$.

Ответ: 2.

в) если $x = -2, y = 0$

Проверяем условия: $-2 \neq 0$ и $-2 \neq -0$. Оба условия выполнены. Следовательно, значение выражения равно 2.

Для проверки выполним подстановку в исходное выражение:

$\frac{2(-2)^2 - 2 \cdot 0^2}{(-2+0)(-2-0)} = \frac{2 \cdot 4 - 0}{(-2)(-2)} = \frac{8}{4} = 2$.

Ответ: 2.

г) если $x = 1,3, y = -0,5$

Проверяем условия: $1,3 \neq -0,5$ и $1,3 \neq -(-0,5)$, то есть $1,3 \neq 0,5$. Оба условия выполнены. Следовательно, значение выражения равно 2.

Для проверки выполним подстановку в исходное выражение:

$\frac{2(1,3)^2 - 2(-0,5)^2}{(1,3+(-0,5))(1,3-(-0,5))} = \frac{2 \cdot 1,69 - 2 \cdot 0,25}{(1,3-0,5)(1,3+0,5)} = \frac{3,38 - 0,5}{0,8 \cdot 1,8} = \frac{2,88}{1,44} = 2$.

Ответ: 2.

1.32 Сравните значения выражений $x^2 - 2xy + y^2$ и $(x - y)^2$, если:

а) $x = 8, y = 3;$

б) $x = 7,6, y = -1,4;$

в) $x = -10, y = -2,6;$

г) $x = -1,5, y = 3.$

Для сравнения значений выражений $x^2 - 2xy + y^2$ и $(x - y)^2$ необходимо заметить, что они являются тождественно равными. Выражение $x^2 - 2xy + y^2$ представляет собой разложение формулы сокращенного умножения, известной как "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Следовательно, для любых значений переменных $x$ и $y$ значения данных выражений будут одинаковы. Продемонстрируем это на конкретных примерах.

а) если $x = 8, y = 3$

1. Вычисляем значение первого выражения:
$x^2 - 2xy + y^2 = 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 + 3^2 = 64 - 48 + 9 = 25$.

2. Вычисляем значение второго выражения:
$(x - y)^2 = (8 - 3)^2 = 5^2 = 25$.

3. Сравнение: $25 = 25$.

Ответ: значения выражений равны.

б) если $x = 7,6, y = -1,4$

1. Вычисляем значение первого выражения:
$x^2 - 2xy + y^2 = (7,6)^2 - 2 \cdot (7,6) \cdot (-1,4) + (-1,4)^2 = 57,76 + 21,28 + 1,96 = 81$.

2. Вычисляем значение второго выражения:
$(x - y)^2 = (7,6 - (-1,4))^2 = (7,6 + 1,4)^2 = 9^2 = 81$.

3. Сравнение: $81 = 81$.

Ответ: значения выражений равны.

в) если $x = -10, y = -2,6$

1. Вычисляем значение первого выражения:
$x^2 - 2xy + y^2 = (-10)^2 - 2 \cdot (-10) \cdot (-2,6) + (-2,6)^2 = 100 - 52 + 6,76 = 54,76$.

2. Вычисляем значение второго выражения:
$(x - y)^2 = (-10 - (-2,6))^2 = (-10 + 2,6)^2 = (-7,4)^2 = 54,76$.

3. Сравнение: $54,76 = 54,76$.

Ответ: значения выражений равны.

г) если $x = -1,5, y = 3$

1. Вычисляем значение первого выражения:
$x^2 - 2xy + y^2 = (-1,5)^2 - 2 \cdot (-1,5) \cdot 3 + 3^2 = 2,25 + 9 + 9 = 20,25$.

2. Вычисляем значение второго выражения:
$(x - y)^2 = (-1,5 - 3)^2 = (-4,5)^2 = 20,25$.

3. Сравнение: $20,25 = 20,25$.

Ответ: значения выражений равны.

1.33 Найдите значение выражений $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a-b}$ и $a - b$, если:

а) $a = -13, b = 12;$

б) $a = 2,4, b = 2,3;$

в) $a = -3,5, b = -2,5;$

г) $a = 7,4, b = -3,6.$

Для решения данной задачи необходимо найти значения двух выражений: $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a - b}$ и $a - b$.

Сначала упростим первое выражение. Заметим, что числитель дроби $a^2 - 2ab + b^2$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле сокращенного умножения: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Таким образом, $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

Подставим это в исходную дробь:

$\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a - b} = \frac{(a - b)^2}{a - b}$

При условии, что $a \neq b$ (что верно для всех предложенных случаев), мы можем сократить дробь на $(a-b)$:

$\frac{(a - b)^2}{a - b} = a - b$

Это означает, что значения обоих выражений для заданных пар чисел $a$ и $b$ будут одинаковыми. Следовательно, для каждого пункта нам достаточно вычислить значение выражения $a - b$.

а) если $a = -13, b = 12$

Вычисляем значение $a - b$:

$a - b = -13 - 12 = -25$

Значение выражения $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a - b}$ также равно $-25$.

Ответ: $-25$ и $-25$.

б) если $a = 2,4, b = 2,3$

Вычисляем значение $a - b$:

$a - b = 2,4 - 2,3 = 0,1$

Значение выражения $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a - b}$ также равно $0,1$.

Ответ: $0,1$ и $0,1$.

в) если $a = -3,5, b = -2,5$

Вычисляем значение $a - b$:

$a - b = -3,5 - (-2,5) = -3,5 + 2,5 = -1$

Значение выражения $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a - b}$ также равно $-1$.

Ответ: $-1$ и $-1$.

г) если $a = 7,4, b = -3,6$

Вычисляем значение $a - b$:

$a - b = 7,4 - (-3,6) = 7,4 + 3,6 = 11$

Значение выражения $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a - b}$ также равно $11$.

Ответ: $11$ и $11$.

1.34 Найдите значение выражения $ \frac{a^2 + 1 - 2a}{a + 1} $, если:

а) $ a = 5 $;

б) $ a = 1 $;

в) $ a = 0 $;

г) $ a = -1 $.

Для решения задачи сначала упростим данное алгебраическое выражение. Числитель $a^2 + 1 - 2a$ можно переписать в виде $a^2 - 2a + 1$, что является формулой сокращенного умножения "квадрат разности": $(a-1)^2$.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде: $\frac{(a-1)^2}{a+1}$.

Теперь поочередно подставим в упрощенное выражение заданные значения переменной $a$.

а) При $a = 5$:

$\frac{(5-1)^2}{5+1} = \frac{4^2}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}$.

б) При $a = 1$:

$\frac{(1-1)^2}{1+1} = \frac{0^2}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Ответ: $0$.

в) При $a = 0$:

$\frac{(0-1)^2}{0+1} = \frac{(-1)^2}{1} = \frac{1}{1} = 1$

Ответ: $1$.

г) При $a = -1$:

Знаменатель дроби $a+1$ обращается в ноль: $-1 + 1 = 0$. Деление на ноль не является определенной математической операцией, поэтому при данном значении $a$ выражение не имеет смысла.

Ответ: выражение не имеет смысла.

Какие значения переменной являются допустимыми, а какие недопустимыми для заданного выражения:

1.35 a) $x^2 + 5$;

б) $\frac{3}{a}$;

в) $7y^2 + 8$;

г) $\frac{9}{5b}$?

а) Выражение $x^2 + 5$ является многочленом (целым выражением). Такие выражения определены для любых действительных значений переменной, поскольку в них отсутствуют операции, накладывающие ограничения, такие как деление на переменную или извлечение корня из переменной. Таким образом, переменная $x$ может принимать любое значение.

Допустимые значения: все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Недопустимых значений нет.

Ответ: Допустимыми являются все значения переменной $x$; недопустимых значений нет.

б) Выражение $\frac{3}{a}$ является дробно-рациональным. Единственное ограничение для таких выражений заключается в том, что знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Чтобы найти недопустимые значения, нужно приравнять знаменатель к нулю.

$a = 0$

Следовательно, значение $a=0$ является недопустимым.

Допустимые значения: все действительные числа, кроме $0$.

Недопустимое значение: $a=0$.

Ответ: Допустимыми являются все значения переменной $a$, кроме $a=0$; недопустимое значение: $a=0$.

в) Выражение $7y^2 + 8$ является многочленом. Как и в пункте а), данное выражение имеет смысл при любых действительных значениях переменной, так как не содержит операций, которые могли бы ограничить область допустимых значений. Переменная $y$ может быть любым числом.

Допустимые значения: все действительные числа, то есть $y \in (-\infty; +\infty)$.

Недопустимых значений нет.

Ответ: Допустимыми являются все значения переменной $y$; недопустимых значений нет.

г) Выражение $\frac{9}{5b}$ является дробным. Знаменатель этой дроби, $5b$, не должен равняться нулю. Найдем значение переменной $b$, которое делает знаменатель равным нулю, решив уравнение:

$5b = 0$

$b = \frac{0}{5}$

$b = 0$

Таким образом, значение $b=0$ является недопустимым, так как при нем происходит деление на ноль.

Допустимые значения: все действительные числа, кроме $0$.

Недопустимое значение: $b=0$.

Ответ: Допустимыми являются все значения переменной $b$, кроме $b=0$; недопустимое значение: $b=0$.

1.36 a) $\frac{12}{x+3}$;

б) $\frac{a-6}{a+2}$;

В) $\frac{25}{9+d}$;

г) $\frac{47+c}{c+13}$?

а) Данное выражение представляет собой дробь $\frac{12}{x+3}$. Область определения дробного выражения — это все значения переменной, при которых знаменатель не равен нулю.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель $x+3$ обращается в ноль:

$x + 3 = 0$

$x = -3$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x=-3$.

Ответ: $x \neq -3$.

б) Данное выражение представляет собой дробь $\frac{a-6}{a+2}$. Область определения дробного выражения — это все значения переменной, при которых знаменатель не равен нулю.

Найдем значение $a$, при котором знаменатель $a+2$ обращается в ноль:

$a + 2 = 0$

$a = -2$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, кроме $a=-2$.

Ответ: $a \neq -2$.

в) Данное выражение представляет собой дробь $\frac{25}{9+d}$. Область определения дробного выражения — это все значения переменной, при которых знаменатель не равен нулю.

Найдем значение $d$, при котором знаменатель $9+d$ обращается в ноль:

$9 + d = 0$

$d = -9$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $d$, кроме $d=-9$.

Ответ: $d \neq -9$.

г) Данное выражение представляет собой дробь $\frac{47+c}{c+13}$. Область определения дробного выражения — это все значения переменной, при которых знаменатель не равен нулю.

Найдем значение $c$, при котором знаменатель $c+13$ обращается в ноль:

$c + 13 = 0$

$c = -13$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $c$, кроме $c=-13$.

Ответ: $c \neq -13$.

1.37 a) $ \frac{z}{5z - 15}; $

б) $ \frac{t}{45t - 90}; $

В) $ \frac{m}{9m - 81}; $

Г) $ \frac{n}{36 - 6n}? $

а)

Выражение $\frac{z}{5z - 15}$ является алгебраической дробью. Дробь имеет смысл (определена) только в том случае, если ее знаменатель не равен нулю.

Найдем значение переменной $z$, при котором знаменатель $5z - 15$ обращается в ноль:

$5z - 15 = 0$

$5z = 15$

$z = \frac{15}{5}$

$z = 3$

Таким образом, при $z=3$ знаменатель дроби равен нулю. Это означает, что выражение определено для всех значений $z$, кроме $z=3$.

Ответ: $z \neq 3$.

б)

Выражение $\frac{t}{45t - 90}$ является алгебраической дробью. Дробь имеет смысл (определена) только в том случае, если ее знаменатель не равен нулю.

Найдем значение переменной $t$, при котором знаменатель $45t - 90$ обращается в ноль:

$45t - 90 = 0$

$45t = 90$

$t = \frac{90}{45}$

$t = 2$

Таким образом, при $t=2$ знаменатель дроби равен нулю. Это означает, что выражение определено для всех значений $t$, кроме $t=2$.

Ответ: $t \neq 2$.

в)

Выражение $\frac{m}{9m - 81}$ является алгебраической дробью. Дробь имеет смысл (определена) только в том случае, если ее знаменатель не равен нулю.

Найдем значение переменной $m$, при котором знаменатель $9m - 81$ обращается в ноль:

$9m - 81 = 0$

$9m = 81$

$m = \frac{81}{9}$

$m = 9$

Таким образом, при $m=9$ знаменатель дроби равен нулю. Это означает, что выражение определено для всех значений $m$, кроме $m=9$.

Ответ: $m \neq 9$.

г)

Выражение $\frac{n}{36 - 6n}$ является алгебраической дробью. Дробь имеет смысл (определена) только в том случае, если ее знаменатель не равен нулю.

Найдем значение переменной $n$, при котором знаменатель $36 - 6n$ обращается в ноль:

$36 - 6n = 0$

$36 = 6n$

$n = \frac{36}{6}$

$n = 6$

Таким образом, при $n=6$ знаменатель дроби равен нулю. Это означает, что выражение определено для всех значений $n$, кроме $n=6$.

Ответ: $n \neq 6$.