Номер 1.31, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

1.31 Вычислите $ \frac{2x^2 - 2y^2}{(x+y)(x-y)} $, если:

a) $ x = 2, y = 3 $;

б) $ x = \frac{3}{2}, y = \frac{1}{3} $;

в) $ x = -2, y = 0 $;

г) $ x = 1,3, y = -0,5 $.

Для решения данной задачи сначала упростим исходное выражение: $\frac{2x^2 - 2y^2}{(x+y)(x-y)}$.

1. Вынесем общий множитель 2 в числителе:

$\frac{2(x^2 - y^2)}{(x+y)(x-y)}$

2. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках в числителе:

$\frac{2(x-y)(x+y)}{(x+y)(x-y)}$

3. Сократим дробь на общий множитель $(x+y)(x-y)$. Это преобразование допустимо, если знаменатель не равен нулю, то есть $(x+y)(x-y) \neq 0$, что равносильно условиям $x \neq y$ и $x \neq -y$.

Если эти условия выполнены, то значение выражения равно 2. Проверим эти условия для каждого случая.

а) если $x = 2, y = 3$

Проверяем условия: $2 \neq 3$ и $2 \neq -3$. Оба условия выполнены. Следовательно, значение выражения равно 2.

Для проверки выполним подстановку в исходное выражение:

$\frac{2 \cdot 2^2 - 2 \cdot 3^2}{(2+3)(2-3)} = \frac{2 \cdot 4 - 2 \cdot 9}{5 \cdot (-1)} = \frac{8-18}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$.

Ответ: 2.

б) если $x = \frac{3}{2}, y = \frac{1}{3}$

Проверяем условия: $\frac{3}{2} \neq \frac{1}{3}$ и $\frac{3}{2} \neq -\frac{1}{3}$. Оба условия выполнены. Следовательно, значение выражения равно 2.

Для проверки выполним подстановку в исходное выражение:

$\frac{2(\frac{3}{2})^2 - 2(\frac{1}{3})^2}{(\frac{3}{2}+\frac{1}{3})(\frac{3}{2}-\frac{1}{3})} = \frac{2 \cdot \frac{9}{4} - 2 \cdot \frac{1}{9}}{(\frac{9+2}{6})(\frac{9-2}{6})} = \frac{\frac{9}{2} - \frac{2}{9}}{\frac{11}{6} \cdot \frac{7}{6}} = \frac{\frac{81-4}{18}}{\frac{77}{36}} = \frac{\frac{77}{18}}{\frac{77}{36}} = \frac{77}{18} \cdot \frac{36}{77} = 2$.

Ответ: 2.

в) если $x = -2, y = 0$

Проверяем условия: $-2 \neq 0$ и $-2 \neq -0$. Оба условия выполнены. Следовательно, значение выражения равно 2.

Для проверки выполним подстановку в исходное выражение:

$\frac{2(-2)^2 - 2 \cdot 0^2}{(-2+0)(-2-0)} = \frac{2 \cdot 4 - 0}{(-2)(-2)} = \frac{8}{4} = 2$.

Ответ: 2.

г) если $x = 1,3, y = -0,5$

Проверяем условия: $1,3 \neq -0,5$ и $1,3 \neq -(-0,5)$, то есть $1,3 \neq 0,5$. Оба условия выполнены. Следовательно, значение выражения равно 2.

Для проверки выполним подстановку в исходное выражение:

$\frac{2(1,3)^2 - 2(-0,5)^2}{(1,3+(-0,5))(1,3-(-0,5))} = \frac{2 \cdot 1,69 - 2 \cdot 0,25}{(1,3-0,5)(1,3+0,5)} = \frac{3,38 - 0,5}{0,8 \cdot 1,8} = \frac{2,88}{1,44} = 2$.

Ответ: 2.