Номер 17, страница 13, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

17. Какие значения переменных называют недопустимыми?

Недопустимыми значениями переменных в математическом выражении называют такие значения, при подстановке которых в это выражение оно теряет математический смысл, то есть становится неопределенным. Поиск недопустимых значений тесно связан с нахождением Области допустимых значений (ОДЗ) выражения — множества всех значений переменных, при которых выражение имеет смысл. Соответственно, недопустимые значения — это все те значения, которые не входят в ОДЗ.

Существует несколько основных случаев, когда возникают недопустимые значения:

Деление на ноль

В алгебраических дробях знаменатель не может быть равен нулю. Если в выражении есть дробь вида $\frac{A}{B}$, где $B$ — выражение, содержащее переменную, то все значения переменной, обращающие $B$ в ноль, будут недопустимыми.

Пример: Рассмотрим выражение $\frac{12}{x-5}$. Знаменатель этого выражения равен $x-5$. Деление на ноль происходит, когда $x-5=0$. Решив это уравнение, получаем $x=5$. Таким образом, $x=5$ является недопустимым значением для данного выражения.

Извлечение арифметического корня четной степени из отрицательного числа

В области действительных чисел выражение под знаком корня четной степени (квадратного, четвертой степени и т.д.) должно быть неотрицательным. Если в выражении есть конструкция вида $\sqrt[2n]{A}$, где $n$ — натуральное число, а $A$ — выражение с переменной, то все значения переменной, при которых $A < 0$, будут недопустимыми.

Пример: Рассмотрим выражение $\sqrt{y+3}$. Подкоренное выражение равно $y+3$. Оно должно быть неотрицательным, то есть $y+3 \ge 0$. Отсюда следует, что $y \ge -3$. Значит, все значения $y$, которые меньше $-3$ (например, $-4$, $-10$), делают подкоренное выражение отрицательным и являются недопустимыми.

Таким образом, для нахождения недопустимых значений необходимо проанализировать выражение на наличие операций, имеющих ограничения.

Ответ: Недопустимые значения переменных — это такие значения, при которых математическое выражение не имеет смысла (например, происходит деление на ноль или извлечение корня четной степени из отрицательного числа).