Номер 16, страница 13, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 1. Глава 1. Математический язык. Математическая модель. Параграф 1. Числовые и алгебраические выражения. Вопросы для самопроверки - номер 16, страница 13.

Условие.

16. Какие значения переменных называют допустимыми?

Решение 1.

Решение 8.

Допустимыми значениями переменных называют множество тех значений, которые можно подставлять в данное выражение (уравнение, неравенство), чтобы оно имело математический смысл. Это множество также известно как область допустимых значений (ОДЗ) или область определения выражения.

Необходимость находить ОДЗ возникает из-за того, что некоторые математические операции определены не для всех действительных чисел. Основные ограничения, которые следует учитывать:

• Деление на ноль. Знаменатель дроби не может равняться нулю. Для выражения вида $ \frac{A(x)}{B(x)} $ должно выполняться условие $ B(x) \neq 0 $.
• Извлечение корня чётной степени. Выражение, стоящее под знаком корня чётной степени ($ \sqrt{\dots}, \sqrt[4]{\dots} $ и т.д.), должно быть неотрицательным. Для выражения $ \sqrt[2n]{A(x)} $ необходимо условие $ A(x) \ge 0 $.
• Логарифмы. Аргумент логарифма должен быть строго положительным, а его основание — положительным и не равным единице. Для выражения $ \log_{b(x)}(A(x)) $ должны выполняться три условия: $ A(x) > 0 $, $ b(x) > 0 $ и $ b(x) \neq 1 $.
• Тригонометрические функции. Например, для функции тангенса $ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $, знаменатель $ \cos(x) $ не должен быть равен нулю, что исключает значения $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — любое целое число.

Примеры нахождения ОДЗ:

1. Для выражения $ \frac{2x+1}{x-7} $:

Здесь присутствует дробь, значит, знаменатель не должен быть равен нулю.

$ x - 7 \neq 0 \implies x \neq 7 $

ОДЗ: все действительные числа, кроме 7. В виде интервала: $ x \in (-\infty; 7) \cup (7; +\infty) $.

2. Для выражения $ \sqrt{10 - 2x} $:

Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным.

$ 10 - 2x \ge 0 $

$ 10 \ge 2x $

$ 5 \ge x $, или $ x \le 5 $

ОДЗ: $ x \in (-\infty; 5] $.

3. Для выражения $ \frac{\log_3(x+2)}{\sqrt{6-x}} $:

Здесь несколько ограничений, которые должны выполняться одновременно (в системе):

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $ x + 2 > 0 $.
2. Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным (поскольку оно в знаменателе, оно не может быть равно нулю, а под корнем не может быть отрицательным): $ 6 - x > 0 $.

Решаем систему неравенств:

$ \begin{cases} x + 2 > 0 \\ 6 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ 6 > x \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ x < 6 \end{cases} $

Пересечением решений является интервал от -2 до 6.

ОДЗ: $ x \in (-2; 6) $.

Ответ: Допустимые значения переменных — это те значения, при которых данное математическое выражение имеет смысл. Их находят, исходя из ограничений на математические операции (например, невозможность деления на ноль или извлечения корня четной степени из отрицательного числа). Множество всех таких значений называют областью допустимых значений (ОДЗ).