Номер 2, страница 15, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Вспомните из курса математики 5—6-го классов правила действий с положительными и отрицательными числами. Сформулируйте их на обычном языке и постарайтесь осуществить перевод этих правил на математический язык.

Ниже приведены правила действий с положительными и отрицательными числами, сформулированные на обычном языке и переведенные на математический язык.

Сложение

Сложение двух отрицательных чисел
На обычном языке: Чтобы сложить два отрицательных числа, необходимо сложить их модули (числа, взятые без знака) и перед полученным результатом поставить знак «минус».
На математическом языке: Для любых положительных чисел $a$ и $b$ справедливо равенство: $(-a) + (-b) = -(a + b)$.

Сложение чисел с разными знаками
На обычном языке: Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль и перед полученной разностью поставить знак того слагаемого, модуль которого был больше. Если модули равны, то сумма равна нулю.
На математическом языке: Пусть $a > 0$ и $b > 0$.
Если $a > b$, то $a + (-b) = a - b$.
Если $b > a$, то $a + (-b) = -(b - a)$.
Если $a = b$, то $a + (-a) = 0$.

Ответ: Правила сложения определяются знаками слагаемых. При сложении чисел с одинаковыми знаками их модули складываются, а знак сохраняется. При сложении чисел с разными знаками из большего модуля вычитается меньший, а знак результата совпадает со знаком слагаемого, имеющего больший модуль.

Вычитание

На обычном языке: Чтобы из одного числа вычесть другое, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
На математическом языке: Для любых чисел $a$ и $b$ справедливо равенство: $a - b = a + (-b)$.
Это правило позволяет свести операцию вычитания к операции сложения. Например, вычитание отрицательного числа эквивалентно прибавлению положительного: $a - (-b) = a + b$.

Ответ: Правило вычитания заключается в замене этой операции на сложение с числом, противоположным вычитаемому, что позволяет далее применять правила сложения.

Умножение

Умножение чисел с разными знаками
На обычном языке: Произведение двух чисел с разными знаками — это отрицательное число. Чтобы найти его, нужно перемножить модули сомножителей и перед результатом поставить знак «минус».
На математическом языке: Для любых положительных чисел $a$ и $b$: $a \cdot (-b) = -(a \cdot b)$.

Умножение двух отрицательных чисел
На обычном языке: Произведение двух отрицательных чисел — это положительное число, равное произведению их модулей.
На математическом языке: Для любых положительных чисел $a$ и $b$: $(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$.

Ответ: Знак произведения зависит от знаков сомножителей: «плюс» на «минус» дает «минус», а «минус» на «минус» дает «плюс». Модуль произведения всегда равен произведению модулей сомножителей.

Деление

Правила определения знака для частного полностью аналогичны правилам для произведения.

Деление чисел с разными знаками
На обычном языке: Частное от деления двух чисел с разными знаками — это отрицательное число. Чтобы найти его модуль, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя.
На математическом языке: Для любых положительных чисел $a$ и $b$ (где $b \neq 0$): $a : (-b) = -(a : b)$.

Деление двух отрицательных чисел
На обычном языке: Частное от деления двух отрицательных чисел — это положительное число, равное частному от деления их модулей.
На математическом языке: Для любых положительных чисел $a$ и $b$ (где $b \neq 0$): $(-a) : (-b) = a : b$.

Ответ: Знак частного определяется так же, как и знак произведения: при делении чисел с разными знаками результат отрицательный, а при делении чисел с одинаковыми знаками — положительный. Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя.