Номер 3, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Что такое линейное уравнение с одной переменной?

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение, которое можно представить в виде $ax = b$, где $x$ — это переменная (неизвестное, которое нужно найти), а $a$ и $b$ — некоторые известные числа, которые называются коэффициентами.

Решить линейное уравнение — значит найти все значения переменной $x$ (которые называются корнями уравнения), при подстановке которых в уравнение получается верное числовое равенство, либо установить, что таких значений нет.

Анализ решения уравнения вида $ax = b$:

• Если коэффициент $a \neq 0$, то уравнение всегда имеет один единственный корень, который находится по формуле $x = \frac{b}{a}$.
  Пример: В уравнении $3x = 12$, коэффициент $a=3$, $b=12$. Корень равен $x = \frac{12}{3} = 4$.
• Если коэффициент $a = 0$, а $b \neq 0$, то уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$. Это равенство невозможно ни при каком значении $x$, так как умножение на ноль всегда дает в результате ноль. В этом случае говорят, что уравнение не имеет корней (решений).
  Пример: Уравнение $0x = 5$ не имеет корней.
• Если оба коэффициента равны нулю, т.е. $a = 0$ и $b = 0$, то уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство является верным для абсолютно любого числа $x$. В этом случае говорят, что уравнение имеет бесконечно много корней (корнем является любое число).

Часто линейные уравнения задаются в более сложном виде, но с помощью тождественных преобразований (перенос слагаемых, раскрытие скобок, приведение подобных членов) их можно свести к стандартному виду $ax = b$.
Пример: Дано уравнение $5(x-2) = 2x - 1$.
Раскроем скобки: $5x - 10 = 2x - 1$.
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$5x - 2x = -1 + 10$.
Приведем подобные слагаемые: $3x = 9$.
Мы получили уравнение стандартного вида, где $a=3$, $b=9$. Корень уравнения: $x = \frac{9}{3} = 3$.

Ответ: Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты).