Номер 1, страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Вопросы для самопроверки. Параграф 5. Координатная прямая. Глава 1. Математический язык. Математическая модель. Часть 1 - номер 1, страница 30.

Условие.

1. Что такое координатная прямая? Чем она отличается от обычной прямой?

Решение 1.

Решение 8.

Что такое координатная прямая?

Координатная прямая, также известная как числовая ось, — это прямая линия, на которой каждой точке поставлено в соответствие уникальное вещественное число. Чтобы обычная геометрическая прямая стала координатной, на ней необходимо задать три ключевых элемента:

• Начало отсчета. Это специально выбранная точка на прямой, которой сопоставляется число $0$. Она служит отправной точкой для всех измерений и обычно обозначается буквой $O$.
• Единичный отрезок. Это отрезок, длина которого принимается за единицу измерения (масштаб). Он определяет расстояние между целыми числами на прямой. Например, расстояние от точки $0$ до точки $1$ равно длине этого единичного отрезка.
• Положительное направление. Это одно из двух возможных направлений на прямой, которое выбирается в качестве направления, в котором числа возрастают. Обычно оно указывается стрелкой на правом конце прямой. Точки, расположенные в этом направлении от начала отсчета, соответствуют положительным числам, а в противоположном — отрицательным.

Эти три компонента устанавливают взаимно-однозначное соответствие между множеством всех точек на прямой и множеством всех вещественных чисел ($\mathbb{R}$). Это означает, что каждой точке на прямой соответствует ровно одно число (ее координата), и каждому вещественному числу соответствует ровно одна точка на прямой.

Ответ: Координатная прямая — это прямая, на которой заданы начало отсчета (точка $0$), единичный отрезок (масштаб) и положительное направление, что позволяет присвоить каждой точке этой прямой уникальную числовую координату.

Чем она отличается от обычной прямой?

Обычная прямая в евклидовой геометрии — это абстрактный объект, представляющий собой бесконечную, идеально ровную линию. Она состоит из множества точек, но сама по себе не имеет никакой дополнительной структуры: все ее точки абсолютно равноправны, у нее нет ни "нуля", ни масштаба, ни выделенного направления.

Координатная прямая отличается от обычной именно наличием этой дополнительной структуры. Вот ключевые различия:

1. Наличие начала отсчета. На обычной прямой нет никаких особенных, выделенных точек. На координатной прямой есть одна такая точка — начало отсчета (нуль), служащая точкой отсчета для всех остальных.
2. Наличие масштаба. Обычная прямая не имеет встроенной единицы измерения. Координатная прямая имеет заданный единичный отрезок, который устанавливает масштаб и позволяет измерять расстояния и определять положение точек численно.
3. Наличие направления. Обычная прямая симметрична в обе стороны. Координатная прямая асимметрична, так как у нее выбрано положительное направление, которое упорядочивает все точки (числа) по возрастанию.
4. Связь с числами. Это фундаментальное отличие. Обычная прямая является чисто геометрическим понятием. Координатная прямая — это алгебраическо-геометрическая модель, которая наглядно представляет множество вещественных чисел и устанавливает мост между геометрией (точками) и алгеброй (числами).

Проще говоря, если обычная прямая — это пустая дорога, то координатная прямая — это та же дорога, но с километровыми столбами, указателем "на север" и четко обозначенным "нулевым километром".

Ответ: Координатная прямая отличается от обычной прямой тем, что она "оснащена" дополнительной структурой: началом отсчета, единичным отрезком (масштабом) и положительным направлением. Эта структура превращает геометрическую линию в числовую ось, где каждая точка имеет свою координату.