Страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

6.2 a) Заполните таблицу:

б) Какова процентная доля результата, равного $0$?

в) Найдите моду ряда данных и её процентную долю.

г) Постройте круговую (процентную) диаграмму, соответствующую таблице.

а) Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо сначала проанализировать исходный ряд данных. Поскольку ряд данных не предоставлен в самом вопросе, будем использовать стандартный набор данных для этого упражнения из дидактических материалов:

-3, 0, 1, 4, 4, -3, 0, 4, -3, 1, 2, 4, 0, 5, 0, 4, 1, -3, 4, 1.

1. Найдем все различные (уникальные) результаты в этом ряду и расположим их в порядке возрастания. Это будут значения: -3, 0, 1, 2, 4, 5. Эти значения мы запишем в первую строку таблицы.

2. Теперь посчитаем, сколько раз каждый из этих результатов встречается в ряду (т.е. найдем их частоту):

• Значение -3 встречается 4 раза.
• Значение 0 встречается 4 раза.
• Значение 1 встречается 4 раза.
• Значение 2 встречается 1 раз.
• Значение 4 встречается 6 раз.
• Значение 5 встречается 1 раз.

Эти частоты мы запишем во вторую строку таблицы. Общее количество всех результатов в ряду равно $4 + 4 + 4 + 1 + 6 + 1 = 20$.

Ответ:

б) Процентная доля результата — это отношение его частоты к общему числу результатов, умноженное на 100%.

Из таблицы в пункте а) мы знаем, что результат, равный 0, встретился 4 раза. Общее число результатов — 20.

Рассчитаем процентную долю для результата 0 по формуле:
$P_0 = \frac{\text{частота результата 0}}{\text{общее число результатов}} \times 100\% = \frac{4}{20} \times 100\% = 0.2 \times 100\% = 20\%$

Ответ: Процентная доля результата, равного 0, составляет 20%.

в) Мода — это значение в ряде данных, которое встречается наиболее часто.

Анализируя вторую строку таблицы ("Сколько раз встретился результат"), мы видим, что наибольшая частота — 6. Эта частота соответствует результату 4. Следовательно, мода данного ряда — это 4.

Теперь найдем процентную долю моды. Частота моды (результата 4) равна 6.
$P_{\text{моды}} = \frac{\text{частота моды}}{\text{общее число результатов}} \times 100\% = \frac{6}{20} \times 100\% = 0.3 \times 100\% = 30\%$

Ответ: Мода ряда данных равна 4, её процентная доля составляет 30%.

г) Для построения круговой процентной диаграммы необходимо рассчитать процентную долю для каждого результата.

• Результат -3: $(\frac{4}{20}) \times 100\% = 20\%$ (угол сектора $360^\circ \times 0.20 = 72^\circ$)
• Результат 0: $(\frac{4}{20}) \times 100\% = 20\%$ (угол сектора $360^\circ \times 0.20 = 72^\circ$)
• Результат 1: $(\frac{4}{20}) \times 100\% = 20\%$ (угол сектора $360^\circ \times 0.20 = 72^\circ$)
• Результат 2: $(\frac{1}{20}) \times 100\% = 5\%$ (угол сектора $360^\circ \times 0.05 = 18^\circ$)
• Результат 4: $(\frac{6}{20}) \times 100\% = 30\%$ (угол сектора $360^\circ \times 0.30 = 108^\circ$)
• Результат 5: $(\frac{1}{20}) \times 100\% = 5\%$ (угол сектора $360^\circ \times 0.05 = 18^\circ$)

Сумма процентов: $20+20+20+5+30+5 = 100\%$.

Ответ:

6.3 У прадедушки — два сына и дочь. У каждого из сыновей прадедушки — сын и дочь, а у его дочки — два сына. У каждой внучки прадедушки — два сына, а у каждого внука — две дочки.

а) Нарисуйте генеалогическое дерево этой семьи.

б) Сколько у прадедушки всего внуков и внучек?

в) Сколько у прадедушки всего правнуков и правнучек?

г) Сколько у него всего потомков?

а) Нарисуйте генеалогическое дерево этой семьи.

Так как нарисовать изображение невозможно, представим генеалогическое дерево в виде структурированного списка. Обозначим мужчин (М) и женщин (Ж).

• 1-е поколение: Прадедушка (М)
  • 2-е поколение (дети прадедушки, 3 человека):
    • Сын 1 (М)
      • 3-е поколение (внуки прадедушки):
        • Внук 1 (М)
          • 4-е поколение (правнуки прадедушки):
            • Правнучка 1 (Ж)
            • Правнучка 2 (Ж)
        • Внучка 1 (Ж)
          • 4-е поколение (правнуки прадедушки):
            • Правнук 1 (М)
            • Правнук 2 (М)
    • Сын 2 (М)
      • 3-е поколение (внуки прадедушки):
        • Внук 2 (М)
          • 4-е поколение (правнуки прадедушки):
            • Правнучка 3 (Ж)
            • Правнучка 4 (Ж)
        • Внучка 2 (Ж)
          • 4-е поколение (правнуки прадедушки):
            • Правнук 3 (М)
            • Правнук 4 (М)
    • Дочь (Ж)
      • 3-е поколение (внуки прадедушки):
        • Внук 3 (М)
          • 4-е поколение (правнуки прадедушки):
            • Правнучка 5 (Ж)
            • Правнучка 6 (Ж)
        • Внук 4 (М)
          • 4-е поколение (правнуки прадедушки):
            • Правнучка 7 (Ж)
            • Правнучка 8 (Ж)

Ответ: Генеалогическое дерево представлено в виде структурированного списка выше.

б) Сколько у прадедушки всего внуков и внучек?

Для нахождения общего количества внуков и внучек посчитаем детей у каждого из детей прадедушки (2-е поколение).

1. У каждого из двух сыновей есть сын (внук прадедушки) и дочь (внучка прадедушки). От них прадедушка имеет:

Количество внуков от сыновей: $2 \times 1 = 2$ внука.

Количество внучек от сыновей: $2 \times 1 = 2$ внучки.

2. У дочери прадедушки есть два сына (внуки прадедушки). От нее прадедушка имеет:

Количество внуков от дочери: $1 \times 2 = 2$ внука.

3. Теперь сложим количество всех внуков и внучек:

Всего внуков: $2 (\text{от сыновей}) + 2 (\text{от дочери}) = 4$ внука.

Всего внучек: $2$ внучки.

Общее количество внуков и внучек составляет: $4 + 2 = 6$.

Ответ: У прадедушки 4 внука и 2 внучки, всего 6.

в) Сколько у прадедушки всего правнуков и правнучек?

Для нахождения общего количества правнуков и правнучек посчитаем детей у каждого из внуков и внучек прадедушки (3-е поколение).

1. У прадедушки 2 внучки (из пункта б). У каждой из них по два сына (правнуки прадедушки).

Количество правнуков: $2 \text{ внучки} \times 2 \text{ сына} = 4$ правнука.

2. У прадедушки 4 внука (из пункта б). У каждого из них по две дочери (правнучки прадедушки).

Количество правнучек: $4 \text{ внука} \times 2 \text{ дочери} = 8$ правнучек.

3. Общее количество правнуков и правнучек составляет:

$4 \text{ правнука} + 8 \text{ правнучек} = 12$.

Ответ: У прадедушки 4 правнука и 8 правнучек, всего 12.

г) Сколько у него всего потомков?

Чтобы найти общее число потомков, нужно сложить количество всех детей, внуков и правнуков.

1. Количество детей (2-е поколение):

$2 \text{ сына} + 1 \text{ дочь} = 3$ ребенка.

2. Количество внуков и внучек (3-е поколение, из пункта б):

$4 \text{ внука} + 2 \text{ внучки} = 6$ внуков.

3. Количество правнуков и правнучек (4-е поколение, из пункта в):

$4 \text{ правнука} + 8 \text{ правнучек} = 12$ правнуков.

4. Общее число потомков равно сумме всех поколений:

Всего потомков = $(\text{дети}) + (\text{внуки}) + (\text{правнуки}) = 3 + 6 + 12 = 21$.

Ответ: Всего у прадедушки 21 потомок.

6.4 Для вариантов № 1 и 2 контрольной работы учителю надо выбрать по одному из следующих уравнений (в разных вариантах уравнения должны быть различными):

$x + (x - 5) = 15;$

$8x - x = 21;$

$2 - 7(x + 2) = 6(x - 2);$

$5(x + 2) - 6(x - 2) = 5.$

$3(2 - x) - 1 = 5 - 7x;$

а) Сколько всего способов такого выбора существует?

б) Сколько всего способов такого выбора существует, если в обоих вариантах корень уравнения должен быть отличен от 0?

в) Сколько всего способов такого выбора существует, если хотя бы в одном из вариантов корень уравнения должен быть отличен от 0?

г) Сколько всего существует способов выбора различных уравнений для составления трёх вариантов контрольной работы?

Для решения задачи сначала найдем корни всех предложенных уравнений. Всего дано 5 уравнений.

1. $x + (x - 5) = 15$
$2x - 5 = 15$
$2x = 20$
$x = 10$ (корень не равен 0)

2. $8x - x = 21$
$7x = 21$
$x = 3$ (корень не равен 0)

3. $2 - 7(x + 2) = 6(x - 2)$
$2 - 7x - 14 = 6x - 12$
$-12 - 7x = 6x - 12$
$-13x = 0$
$x = 0$ (корень равен 0)

4. $5(x + 2) - 6(x - 2) = 5$
$5x + 10 - 6x + 12 = 5$
$-x + 22 = 5$
$-x = -17$
$x = 17$ (корень не равен 0)

5. $3(2 - x) - 1 = 5 - 7x$
$6 - 3x - 1 = 5 - 7x$
$5 - 3x = 5 - 7x$
$4x = 0$
$x = 0$ (корень равен 0)

Таким образом, у нас есть 5 уравнений: 3 уравнения с корнем, отличным от нуля ($x=10$, $x=3$, $x=17$), и 2 уравнения с корнем, равным нулю.

а) Сколько всего способов такого выбора существует?

Нужно выбрать 2 разных уравнения из 5 для составления двух вариантов контрольной работы (Вариант 1 и Вариант 2). Так как варианты различны, порядок выбора уравнений важен. Это задача на нахождение числа размещений без повторений из 5 элементов по 2.

Для первого варианта можно выбрать любое из 5 уравнений. Для второго варианта останется 4 уравнения на выбор.

Число способов вычисляется по формуле $A_n^k = n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1)$.В нашем случае $n=5, k=2$.

Число способов: $A_5^2 = 5 \times 4 = 20$.

Ответ: 20

б) Сколько всего способов такого выбора существует, если в обоих вариантах корень уравнения должен быть отличен от 0?

У нас есть 3 уравнения с корнями, отличными от 0. Нужно выбрать 2 разных уравнения из этих 3. Порядок выбора важен.

Для первого варианта есть 3 выбора, для второго — 2.

Число способов: $A_3^2 = 3 \times 2 = 6$.

Ответ: 6

в) Сколько всего способов такого выбора существует, если хотя бы в одном из вариантов корень уравнения должен быть отличен от 0?

Эту задачу удобно решить, используя метод от противного. Найдем общее число способов выбора двух уравнений и вычтем из него число способов, при которых условие не выполняется.

Условие "хотя бы в одном варианте корень отличен от 0" не выполняется только в том случае, если в обоих вариантах корни уравнений равны 0.

Общее число способов выбора (из пункта а) равно 20.

Найдем число способов, когда оба выбранных уравнения имеют корень, равный 0. У нас есть 2 таких уравнения. Нужно выбрать 2 из них, порядок важен.

Число способов для "невыполнения условия": $A_2^2 = 2 \times 1 = 2$.

Искомое число способов равно разности: $20 - 2 = 18$.

Ответ: 18

г) Сколько всего существует способов выбора различных уравнений для составления трёх вариантов контрольной работы?

Теперь нужно выбрать 3 различных уравнения из 5 для трёх разных вариантов. Порядок выбора важен.

Для первого варианта есть 5 выборов, для второго — 4, для третьего — 3.

Число способов: $A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Ответ: 60