Страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

7.9 Найдите координаты точек, изображённых на рис. 4.

Что общего в записи координат каждой группы точек?

Как расположены на координатной плоскости все точки, имеющие одинаковую абсциссу?

Составьте аналитическую модель прямой, параллельной оси у.

Поскольку изображение «рис. 4», на которое ссылается задача, отсутствует, для ответа на первые два вопроса сделаем обоснованное предположение. Судя по содержанию последующих вопросов, на рисунке, вероятно, изображены группы точек, лежащих на вертикальных прямых. Предположим, что на рисунке были показаны следующие две группы точек:

• Группа 1: точки A(2, 1), B(2, 3), C(2, -4).
• Группа 2: точки D(-3, 0), E(-3, 2), F(-3, -1).

Исходя из этого предположения, приводим координаты точек.

Ответ: На основании сделанного предположения, координаты точек: Группа 1: A(2, 1), B(2, 3), C(2, -4). Группа 2: D(-3, 0), E(-3, 2), F(-3, -1).

Проанализируем координаты точек в каждой из предложенных выше групп.

Для точек из Группы 1 (A, B, C) первой координатой (абсциссой) всегда является число 2.

Для точек из Группы 2 (D, E, F) первой координатой (абсциссой) всегда является число -3.

Таким образом, общим свойством для всех точек внутри одной группы является постоянство их первой координаты.

Ответ: В записи координат каждой группы точек общим является то, что все точки группы имеют одинаковую первую координату (абсциссу).

Абсцисса — это координата точки по горизонтальной оси (оси x). Если у множества точек абсцисса одинакова и равна некоторому числу $a$, то их координаты можно записать в виде $(a, y)$, где ордината $y$ может принимать любое действительное значение. Геометрически, множество всех таких точек образует на координатной плоскости прямую линию.

Эта прямая является вертикальной, то есть она параллельна оси ординат (оси y), и пересекает ось абсцисс (ось x) в точке с координатами $(a, 0)$.

Ответ: Все точки, имеющие одинаковую абсциссу, расположены на прямой, параллельной оси ординат (оси y).

Аналитическая модель — это уравнение, которое описывает множество всех точек, составляющих данный геометрический объект. Как было установлено в предыдущем пункте, любая прямая, параллельная оси y, состоит из точек, у которых абсцисса (координата x) постоянна, в то время как ордината (координата y) может быть любой.

Пусть эта постоянная абсцисса равна константе $c$. Тогда любая точка $(x, y)$, принадлежащая этой прямой, должна удовлетворять условию, что ее координата $x$ всегда равна $c$. Это условие записывается в виде уравнения.

Ответ: Аналитическая модель (уравнение) прямой, параллельной оси y, имеет вид $x = c$, где $c$ — это постоянная, равная абсциссе любой точки на этой прямой.

7.10 Найдите координаты точек, изображённых на рис. 5.

N₁(-1, 3), N₂(0, 3), N₃(2, 3), N₄(4, 3)
M₁(-2, 1), M₂(0, 1), M₃(2, 1), M₄(4, 1)
K₁(-2, 0), K₂(-1, 0), K₃(2, 0), K₄(4, 0)
L₁(-3, -3), L₂(-1, -3), L₃(1, -3), L₄(3, -3)

Для каждой группы точек (N, M, K, L) все точки имеют одинаковую ординату.

Все точки, имеющие одинаковую ординату, лежат на прямой, параллельной оси x (или совпадающей с ней, если ордината 0).

Аналитическая модель прямой, параллельной оси x, имеет вид $y = c$, где $c$ - постоянная.

7.27 Постройте отрезок, симметричный отрезку СН относительно оси x.

Найдите координаты точек, изображённых на рис. 5.

Для нахождения координат точек на плоскости определим их положение относительно осей $Ox$ (ось абсцисс) и $Oy$ (ось ординат). Масштаб координатной сетки — 1 клетка равна 1 единице. Координаты записываются в формате $(x; y)$.

Координаты точек по группам:

• Группа N: $N_1(-2; 3)$, $N_2(0; 3)$, $N_3(2; 3)$, $N_4(4; 3)$
• Группа M: $M_1(-3; 1)$, $M_2(-1; 1)$, $M_3(1; 1)$, $M_4(3; 1)$
• Группа K: $K_1(-3; 0)$, $K_2(-1; 0)$, $K_3(1; 0)$, $K_4(3; 0)$
• Группа L: $L_1(-4; -2)$, $L_2(-2; -2)$, $L_3(2; -2)$, $L_4(4; -2)$

Ответ: $N_1(-2; 3)$, $N_2(0; 3)$, $N_3(2; 3)$, $N_4(4; 3)$; $M_1(-3; 1)$, $M_2(-1; 1)$, $M_3(1; 1)$, $M_4(3; 1)$; $K_1(-3; 0)$, $K_2(-1; 0)$, $K_3(1; 0)$, $K_4(3; 0)$; $L_1(-4; -2)$, $L_2(-2; -2)$, $L_3(2; -2)$, $L_4(4; -2)$.

Что общего в записи координат каждой группы точек?

Проанализируем координаты точек в каждой из четырех групп:

• В группе точек N ($N_1, N_2, N_3, N_4$) у всех точек одинаковая вторая координата (ордината): $y = 3$.
• В группе точек M ($M_1, M_2, M_3, M_4$) у всех точек одинаковая ордината: $y = 1$.
• В группе точек K ($K_1, K_2, K_3, K_4$) у всех точек одинаковая ордината: $y = 0$.
• В группе точек L ($L_1, L_2, L_3, L_4$) у всех точек одинаковая ордината: $y = -2$.

Ответ: Общим в записи координат для каждой группы точек является то, что все точки одной группы имеют одинаковую ординату (координату $y$).

Как расположены на координатной плоскости все точки, имеющие одинаковую ординату?

Как видно из рис. 5 и анализа координат, точки в каждой группе ($N, M, K, L$) имеют одинаковую ординату и все они лежат на одной горизонтальной прямой. Такая прямая всегда параллельна оси абсцисс ($Ox$). В частном случае, когда ордината равна нулю (как у точек группы $K$), точки лежат непосредственно на оси абсцисс, которая сама является прямой, параллельной самой себе (или можно сказать, совпадает с ней).

Ответ: Все точки, имеющие одинаковую ординату, расположены на одной прямой, которая параллельна оси абсцисс ($Ox$). Если эта ордината равна нулю, то точки лежат на самой оси абсцисс.

Составьте аналитическую модель прямой, параллельной оси x.

Аналитическая модель — это уравнение, которое описывает геометрическую фигуру. Прямая, параллельная оси $x$, состоит из множества всех точек плоскости, у которых ордината (координата $y$) имеет одно и то же постоянное значение, в то время как абсцисса (координата $x$) может принимать любое действительное значение.

Если обозначить это постоянное значение ординаты буквой $b$, то для любой точки $(x; y)$, принадлежащей этой прямой, будет выполняться равенство $y = b$. Это и есть общее уравнение (аналитическая модель) прямой, параллельной оси $x$.

Например, для прямых, на которых лежат точки из рис. 5, уравнения будут следующими:

• Для точек группы N: $y = 3$
• Для точек группы M: $y = 1$
• Для точек группы K (ось $Ox$): $y = 0$
• Для точек группы L: $y = -2$

Ответ: Аналитическая модель прямой, параллельной оси $x$, имеет вид $y = b$, где $b$ — некоторая константа, равная ординате любой точки этой прямой.

Постройте прямую, удовлетворяющую уравнению:

7.11

а) $x = 3$;

б) $y = 3$;

в) $y = 1$;

г) $x = 8$.

а) Уравнение $x = 3$ описывает множество всех точек на координатной плоскости, у которых первая координата (абсцисса) всегда равна 3, в то время как вторая координата (ордината $y$) может принимать любое значение. Например, точки с координатами $(3, 0)$, $(3, 1)$, $(3, -2)$, $(3, 5)$ все удовлетворяют этому уравнению. Графиком такого уравнения является вертикальная прямая, которая параллельна оси ординат (оси $Oy$) и проходит через точку $(3, 0)$ на оси абсцисс.

Ответ: Прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(3, 0)$.

б) Уравнение $y = 3$ описывает множество всех точек, у которых вторая координата (ордината) всегда равна 3, а первая координата (абсцисса $x$) может быть любой. Например, точки с координатами $(-1, 3)$, $(0, 3)$, $(2, 3)$, $(4, 3)$ удовлетворяют данному уравнению. Графиком этого уравнения является горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$) и проходящая через точку $(0, 3)$ на оси ординат.

Ответ: Прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 3)$.

в) Уравнение $y = 1$ аналогично предыдущему пункту. Оно задает множество всех точек, у которых ордината равна 1 при любом значении абсциссы. Например, точки $(-2, 1)$, $(0, 1)$, $(3, 1)$. Графиком этого уравнения является прямая, которая параллельна оси абсцисс (оси $Ox$) и пересекает ось ординат в точке с координатами $(0, 1)$.

Ответ: Прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 1)$.

г) Уравнение $x = 8$ аналогично пункту а). Оно задает множество всех точек, у которых абсцисса равна 8 при любом значении ординаты. Например, точки $(8, -3)$, $(8, 0)$, $(8, 6)$. Графиком этого уравнения является прямая, которая параллельна оси ординат (оси $Oy$) и пересекает ось абсцисс в точке с координатами $(8, 0)$.

Ответ: Прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(8, 0)$.

7.12 a) $x = -2$;

б) $y = -4$;

в) $y = -5$;

г) $x = -1$.

а) Уравнение $x = -2$ представляет собой уравнение прямой на декартовой координатной плоскости. Это уравнение означает, что для любой точки, принадлежащей этой прямой, её абсцисса (координата $x$) всегда равна $-2$, в то время как её ордината (координата $y$) может принимать абсолютно любое действительное значение.
Графиком данного уравнения является вертикальная прямая, которая проходит через точку с координатами $(-2, 0)$ и параллельна оси ординат (оси $Oy$). Все точки этой прямой имеют вид $(-2, y)$, где $y$ — любое число.
Ответ: Графиком уравнения $x = -2$ является вертикальная прямая, параллельная оси $y$ и проходящая через точку $(-2, 0)$.

б) Уравнение $y = -4$ представляет собой уравнение прямой на декартовой координатной плоскости. Это уравнение означает, что для любой точки, принадлежащей этой прямой, её ордината (координата $y$) всегда равна $-4$, в то время как её абсцисса (координата $x$) может принимать абсолютно любое действительное значение.
Графиком данного уравнения является горизонтальная прямая, которая проходит через точку с координатами $(0, -4)$ и параллельна оси абсцисс (оси $Ox$). Все точки этой прямой имеют вид $(x, -4)$, где $x$ — любое число.
Ответ: Графиком уравнения $y = -4$ является горизонтальная прямая, параллельная оси $x$ и проходящая через точку $(0, -4)$.

в) Уравнение $y = -5$ представляет собой уравнение прямой на декартовой координатной плоскости. По аналогии с предыдущим пунктом, это уравнение означает, что ордината (координата $y$) любой точки на прямой постоянна и равна $-5$, а её абсцисса (координата $x$) может быть любой.
Графиком данного уравнения является горизонтальная прямая, которая проходит через точку с координатами $(0, -5)$ и параллельна оси абсцисс (оси $Ox$). Все точки этой прямой имеют вид $(x, -5)$, где $x$ — любое число.
Ответ: Графиком уравнения $y = -5$ является горизонтальная прямая, параллельная оси $x$ и проходящая через точку $(0, -5)$.

г) Уравнение $x = -1$ представляет собой уравнение прямой на декартовой координатной плоскости. Это уравнение означает, что абсцисса (координата $x$) любой точки на этой прямой постоянна и равна $-1$, в то время как её ордината (координата $y$) может принимать любое значение.
Графиком данного уравнения является вертикальная прямая, которая проходит через точку с координатами $(-1, 0)$ и параллельна оси ординат (оси $Oy$). Все точки этой прямой имеют вид $(-1, y)$, где $y$ — любое число.
Ответ: Графиком уравнения $x = -1$ является вертикальная прямая, параллельная оси $y$ и проходящая через точку $(-1, 0)$.

7.13 а) $x = 0,5$;

б) $y = -1,5$;

в) $y = 3,5$;

г) $x = -6,5$.

а)

Уравнение вида $x = c$, где $c$ — некоторое число, задает на координатной плоскости прямую. Все точки этой прямой имеют одну и ту же абсциссу (координату $x$), равную $c$. Ордината (координата $y$) может быть любой. Такая прямая является вертикальной, то есть параллельной оси ординат (оси $Oy$) и перпендикулярной оси абсцисс (оси $Ox$).

В данном случае задано уравнение $x = 0,5$. Это уравнение описывает вертикальную прямую, которая проходит через точку $(0,5; 0)$ на оси абсцисс и параллельна оси ординат. Любая точка на этой прямой имеет координаты $(0,5; y)$.

Ответ: Прямая, параллельная оси ординат и проходящая через точку $(0,5; 0)$.

б)

Уравнение вида $y = c$, где $c$ — некоторое число, задает на координатной плоскости прямую. Все точки этой прямой имеют одну и ту же ординату (координату $y$), равную $c$. Абсцисса (координата $x$) может быть любой. Такая прямая является горизонтальной, то есть параллельной оси абсцисс (оси $Ox$) и перпендикулярной оси ординат (оси $Oy$).

В данном случае задано уравнение $y = -1,5$. Это уравнение описывает горизонтальную прямую, которая проходит через точку $(0; -1,5)$ на оси ординат и параллельна оси абсцисс. Любая точка на этой прямой имеет координаты $(x; -1,5)$.

Ответ: Прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0; -1,5)$.

в)

Аналогично предыдущему пункту, уравнение вида $y = c$ задает горизонтальную прямую, параллельную оси абсцисс.

В данном случае задано уравнение $y = 3,5$. Это уравнение описывает горизонтальную прямую, которая проходит через точку $(0; 3,5)$ на оси ординат и параллельна оси абсцисс. Все точки этой прямой имеют ординату, равную $3,5$. Координаты любой точки на этой прямой можно записать как $(x; 3,5)$.

Ответ: Прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0; 3,5)$.

г)

Аналогично пункту а), уравнение вида $x = c$ задает вертикальную прямую, параллельную оси ординат.

В данном случае задано уравнение $x = -6,5$. Это уравнение описывает вертикальную прямую, которая проходит через точку $(-6,5; 0)$ на оси абсцисс и параллельна оси ординат. Все точки этой прямой имеют абсциссу, равную $-6,5$. Координаты любой точки на этой прямой можно записать как $(-6,5; y)$.

Ответ: Прямая, параллельная оси ординат и проходящая через точку $(-6,5; 0)$.