Страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

8.15 а) $6x + 3y - 2 = 0$, если $y = 3\frac{1}{3}$;

б) $3.5x - 5y - 1 = 0$, если $y = 0.5$;

в) $4x - 2y + 11 = 0$, если $y = -1.5$;

г) $8x + 5y - 3 = 0$, если $y = 4\frac{2}{5}$.

а) Чтобы найти значение $x$, подставим заданное значение $y$ в уравнение $6x + 3y - 2 = 0$.
Дано $y = 3\frac{1}{3}$. Переведем смешанную дробь в неправильную: $y = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.
Подставляем в уравнение:
$6x + 3 \cdot (\frac{10}{3}) - 2 = 0$
$6x + 10 - 2 = 0$
$6x + 8 = 0$
Переносим 8 в правую часть уравнения, меняя знак:
$6x = -8$
$x = -\frac{8}{6}$
Сокращаем дробь:
$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$
Ответ: $-1\frac{1}{3}$.

б) Подставим значение $y = 0,5$ в уравнение $3,5x - 5y - 1 = 0$.
$3,5x - 5 \cdot (0,5) - 1 = 0$
$3,5x - 2,5 - 1 = 0$
$3,5x - 3,5 = 0$
Переносим -3,5 в правую часть уравнения:
$3,5x = 3,5$
$x = \frac{3,5}{3,5}$
$x = 1$
Ответ: $1$.

в) Подставим значение $y = -1,5$ в уравнение $4x - 2y + 11 = 0$.
$4x - 2 \cdot (-1,5) + 11 = 0$
$4x + 3 + 11 = 0$
$4x + 14 = 0$
Переносим 14 в правую часть:
$4x = -14$
$x = -\frac{14}{4}$
Сокращаем дробь и переводим в десятичную:
$x = -\frac{7}{2} = -3,5$
Ответ: $-3,5$.

г) Подставим значение $y$ в уравнение $8x + 5y - 3 = 0$.
Дано $y = 4\frac{2}{5}$. Переведем смешанную дробь в неправильную: $y = \frac{4 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{22}{5}$.
Подставляем в уравнение:
$8x + 5 \cdot (\frac{22}{5}) - 3 = 0$
$8x + 22 - 3 = 0$
$8x + 19 = 0$
Переносим 19 в правую часть:
$8x = -19$
$x = -\frac{19}{8}$
Выделим целую часть:
$x = -2\frac{3}{8}$
Ответ: $-2\frac{3}{8}$.

8.16 a) Известно, что абсцисса некоторой точки прямой, заданной уравнением $7x - 3y - 12 = 0$, равна 3. Найдите ординату этой точки.

б) Известно, что ордината некоторой точки прямой, заданной уравнением $11x + 21y - 31 = 0$, равна 2. Найдите абсциссу этой точки.

а)

Уравнение прямой задано как $7x - 3y - 12 = 0$. Абсцисса точки — это ее координата $x$. По условию задачи, $x = 3$. Чтобы найти ординату (координату $y$), необходимо подставить известное значение абсциссы в уравнение прямой и решить его относительно $y$.

Подставляем $x = 3$ в уравнение:

$7 \cdot 3 - 3y - 12 = 0$

Выполняем умножение:

$21 - 3y - 12 = 0$

Приводим подобные слагаемые (вычитаем 12 из 21):

$9 - 3y = 0$

Переносим член с $y$ в правую часть уравнения:

$9 = 3y$

Находим $y$:

$y = \frac{9}{3}$

$y = 3$

Таким образом, ордината этой точки равна 3.

Ответ: 3

б)

Уравнение прямой задано как $11x + 21y - 31 = 0$. Ордината точки — это ее координата $y$. По условию задачи, $y = 2$. Чтобы найти абсциссу (координату $x$), необходимо подставить известное значение ординаты в уравнение прямой и решить его относительно $x$.

Подставляем $y = 2$ в уравнение:

$11x + 21 \cdot 2 - 31 = 0$

Выполняем умножение:

$11x + 42 - 31 = 0$

Приводим подобные слагаемые (вычитаем 31 из 42):

$11x + 11 = 0$

Переносим свободный член в правую часть уравнения:

$11x = -11$

Находим $x$:

$x = \frac{-11}{11}$

$x = -1$

Таким образом, абсцисса этой точки равна -1.

Ответ: -1

На координатной плоскости $xOy$ постройте график уравнения:

8.17

а) $x + y - 4 = 0$;

б) $2x - y + 5 = 0$;

в) $-x - y + 6 = 0$;

г) $x + 2y - 3 = 0$.

а) $x + y - 4 = 0$
Данное уравнение является линейным, следовательно, его графиком будет прямая линия. Для построения прямой на координатной плоскости достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих ей.
Сначала выразим переменную $y$ через $x$:
$y = -x + 4$
Теперь найдем координаты двух точек. Для этого выберем два произвольных значения $x$ и вычислим для них соответствующие значения $y$:
1. Если $x = 0$, то $y = -0 + 4 = 4$. Получаем точку с координатами $(0; 4)$.
2. Если $x = 4$, то $y = -4 + 4 = 0$. Получаем точку с координатами $(4; 0)$.
Чтобы построить график, необходимо отметить на координатной плоскости $xOy$ точки $(0; 4)$ и $(4; 0)$ и провести через них прямую.
Ответ: Графиком уравнения $x + y - 4 = 0$ является прямая, проходящая через точки с координатами $(0; 4)$ и $(4; 0)$.

б) $2x - y + 5 = 0$
Это линейное уравнение, его график — прямая.
Выразим $y$ через $x$:
$-y = -2x - 5$
$y = 2x + 5$
Найдем координаты двух точек, принадлежащих этой прямой:
1. Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 + 5 = 5$. Получаем точку с координатами $(0; 5)$.
2. Если $x = -2$, то $y = 2 \cdot (-2) + 5 = -4 + 5 = 1$. Получаем точку с координатами $(-2; 1)$.
Отметив на координатной плоскости точки $(0; 5)$ и $(-2; 1)$ и проведя через них прямую, получим искомый график.
Ответ: Графиком уравнения $2x - y + 5 = 0$ является прямая, проходящая через точки с координатами $(0; 5)$ и $(-2; 1)$.

в) $-x - y + 6 = 0$
Это линейное уравнение, его график — прямая.
Выразим $y$ через $x$:
$-y = x - 6$
$y = -x + 6$
Найдем координаты двух точек, принадлежащих этой прямой:
1. Если $x = 0$, то $y = -0 + 6 = 6$. Получаем точку с координатами $(0; 6)$.
2. Если $x = 6$, то $y = -6 + 6 = 0$. Получаем точку с координатами $(6; 0)$.
Отметив на координатной плоскости точки $(0; 6)$ и $(6; 0)$ и проведя через них прямую, получим искомый график.
Ответ: Графиком уравнения $-x - y + 6 = 0$ является прямая, проходящая через точки с координатами $(0; 6)$ и $(6; 0)$.

г) $x + 2y - 3 = 0$
Это линейное уравнение, его график — прямая.
Выразим $y$ через $x$:
$2y = -x + 3$
$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$
Найдем координаты двух точек. Для удобства вычислений выберем нечетные значения $x$:
1. Если $x = 1$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Получаем точку с координатами $(1; 1)$.
2. Если $x = 3$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{3}{2} = 0$. Получаем точку с координатами $(3; 0)$.
Отметив на координатной плоскости точки $(1; 1)$ и $(3; 0)$ и проведя через них прямую, получим искомый график.
Ответ: Графиком уравнения $x + 2y - 3 = 0$ является прямая, проходящая через точки с координатами $(1; 1)$ и $(3; 0)$.

8.18 a) $5x + 3y - 15 = 0;$

б) $7x - 4y + 28 = 0;$

В) $6x + 3y + 18 = 0;$

Г) $8x - 3y - 24 = 0.$

а) $5x + 3y - 15 = 0$

Чтобы выразить переменную y через x из данного линейного уравнения, необходимо выполнить следующие шаги. Сначала изолируем член, содержащий y, в левой части уравнения, перенеся остальные члены в правую часть с противоположным знаком:

$3y = -5x + 15$

Далее, разделим обе части уравнения на коэффициент при y, то есть на 3:

$y = \frac{-5x + 15}{3}$

Теперь можно упростить правую часть, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$y = -\frac{5}{3}x + \frac{15}{3}$

$y = -\frac{5}{3}x + 5$

Ответ: $y = -\frac{5}{3}x + 5$

б) $7x - 4y + 28 = 0$

Выразим переменную y. Для этого оставим член с y в левой части, а остальные перенесем в правую:

$-4y = -7x - 28$

Чтобы избавиться от знака минус перед коэффициентом y, умножим обе части уравнения на -1:

$4y = 7x + 28$

Теперь разделим обе части уравнения на 4:

$y = \frac{7x + 28}{4}$

Упростим выражение, разделив его на два слагаемых:

$y = \frac{7}{4}x + \frac{28}{4}$

$y = \frac{7}{4}x + 7$

Ответ: $y = \frac{7}{4}x + 7$

в) $6x + 3y + 18 = 0$

Изолируем член с y в левой части уравнения:

$3y = -6x - 18$

Разделим обе части на коэффициент при y, равный 3:

$y = \frac{-6x - 18}{3}$

Упростим, разделив каждый член числителя на 3:

$y = \frac{-6x}{3} - \frac{18}{3}$

$y = -2x - 6$

Ответ: $y = -2x - 6$

г) $8x - 3y - 24 = 0$

Перенесем члены, не содержащие y, в правую часть уравнения:

$-3y = -8x + 24$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы сделать коэффициент при y положительным:

$3y = 8x - 24$

Разделим обе части на 3:

$y = \frac{8x - 24}{3}$

Разделим правую часть на два слагаемых для упрощения:

$y = \frac{8}{3}x - \frac{24}{3}$

$y = \frac{8}{3}x - 8$

Ответ: $y = \frac{8}{3}x - 8$

8.19 На координатной плоскости tOs постройте график уравнения:

а) $7t + 9s + 63 = 0;$

б) $3t - 4s = 12;$

в) $5t - 2s = 10;$

г) $4t + 9s + 36 = 0.$

а)

Чтобы построить график уравнения $7t + 9s + 63 = 0$ в координатной плоскости tOs, необходимо найти координаты двух точек, удовлетворяющих этому уравнению. Графиком данного линейного уравнения является прямая. Удобнее всего найти точки пересечения этой прямой с осями координат. Ось абсцисс в данном случае — это ось Ot, а ось ординат — ось Os.

1. Найдем точку пересечения с осью Ot. В этой точке координата $s$ равна нулю. Подставим $s = 0$ в уравнение:

$7t + 9 \cdot 0 + 63 = 0$

$7t + 63 = 0$

$7t = -63$

$t = -9$

Таким образом, первая точка имеет координаты $(-9; 0)$.

2. Найдем точку пересечения с осью Os. В этой точке координата $t$ равна нулю. Подставим $t = 0$ в уравнение:

$7 \cdot 0 + 9s + 63 = 0$

$9s + 63 = 0$

$9s = -63$

$s = -7$

Таким образом, вторая точка имеет координаты $(0; -7)$.

Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости tOs точки $(-9; 0)$ и $(0; -7)$ и провести через них прямую.

Ответ: Графиком является прямая, проходящая через точки $(-9; 0)$ и $(0; -7)$.

б)

Для построения графика уравнения $3t - 4s = 12$ найдем точки пересечения с осями координат.

1. При $s = 0$ (пересечение с осью Ot):

$3t - 4 \cdot 0 = 12$

$3t = 12$

$t = 4$

Первая точка — $(4; 0)$.

2. При $t = 0$ (пересечение с осью Os):

$3 \cdot 0 - 4s = 12$

$-4s = 12$

$s = -3$

Вторая точка — $(0; -3)$.

Проводим прямую через точки $(4; 0)$ и $(0; -3)$.

Ответ: Графиком является прямая, проходящая через точки $(4; 0)$ и $(0; -3)$.

в)

Для построения графика уравнения $5t - 2s = 10$ найдем точки пересечения с осями координат.

1. При $s = 0$ (пересечение с осью Ot):

$5t - 2 \cdot 0 = 10$

$5t = 10$

$t = 2$

Первая точка — $(2; 0)$.

2. При $t = 0$ (пересечение с осью Os):

$5 \cdot 0 - 2s = 10$

$-2s = 10$

$s = -5$

Вторая точка — $(0; -5)$.

Проводим прямую через точки $(2; 0)$ и $(0; -5)$.

Ответ: Графиком является прямая, проходящая через точки $(2; 0)$ и $(0; -5)$.

г)

Для построения графика уравнения $4t + 9s + 36 = 0$ найдем точки пересечения с осями координат.

1. При $s = 0$ (пересечение с осью Ot):

$4t + 9 \cdot 0 + 36 = 0$

$4t + 36 = 0$

$4t = -36$

$t = -9$

Первая точка — $(-9; 0)$.

2. При $t = 0$ (пересечение с осью Os):

$4 \cdot 0 + 9s + 36 = 0$

$9s + 36 = 0$

$9s = -36$

$s = -4$

Вторая точка — $(0; -4)$.

Проводим прямую через точки $(-9; 0)$ и $(0; -4)$.

Ответ: Графиком является прямая, проходящая через точки $(-9; 0)$ и $(0; -4)$.

8.20 а) Докажите, что прямые $5x + 11y = 8$ и $10x - 7y = 74$ пересекаются в точке $A(6; -2)$.

б) Докажите, что прямые $12x - 7y = 2$ и $4x - 5y = 6$ пересекаются в точке $B(-1; -2)$.

а) Докажите, что прямые $5x + 11y = 8$ и $10x - 7y = 74$ пересекаются в точке А(6; -2).

Чтобы доказать, что две прямые пересекаются в заданной точке, необходимо показать, что координаты этой точки удовлетворяют уравнениям обеих прямых.

1. Проверим, принадлежит ли точка А(6; -2) первой прямой $5x + 11y = 8$. Для этого подставим значения $x = 6$ и $y = -2$ в уравнение:
$5 \cdot (6) + 11 \cdot (-2) = 30 - 22 = 8$.
Мы получили $8 = 8$. Это верное равенство, следовательно, точка А(6; -2) лежит на первой прямой.

2. Проверим, принадлежит ли точка А(6; -2) второй прямой $10x - 7y = 74$. Подставим значения $x = 6$ и $y = -2$ в уравнение:
$10 \cdot (6) - 7 \cdot (-2) = 60 + 14 = 74$.
Мы получили $74 = 74$. Это верное равенство, следовательно, точка А(6; -2) лежит и на второй прямой.

Поскольку точка А(6; -2) принадлежит обеим прямым, она является их точкой пересечения.

Ответ: Утверждение доказано, так как координаты точки А(6; -2) удовлетворяют уравнениям обеих прямых.

б) Докажите, что прямые $12x - 7y = 2$ и $4x - 5y = 6$ пересекаются в точке B(-1; -2).

Аналогично предыдущему пункту, проверим, удовлетворяют ли координаты точки B(-1; -2) уравнениям обеих прямых.

1. Проверим, принадлежит ли точка B(-1; -2) первой прямой $12x - 7y = 2$. Подставим значения $x = -1$ и $y = -2$ в уравнение:
$12 \cdot (-1) - 7 \cdot (-2) = -12 + 14 = 2$.
Мы получили $2 = 2$. Это верное равенство, следовательно, точка B(-1; -2) лежит на первой прямой.

2. Проверим, принадлежит ли точка B(-1; -2) второй прямой $4x - 5y = 6$. Подставим значения $x = -1$ и $y = -2$ в уравнение:
$4 \cdot (-1) - 5 \cdot (-2) = -4 + 10 = 6$.
Мы получили $6 = 6$. Это верное равенство, следовательно, точка B(-1; -2) лежит и на второй прямой.

Поскольку точка B(-1; -2) принадлежит обеим прямым, она является их точкой пересечения.

Ответ: Утверждение доказано, так как координаты точки B(-1; -2) удовлетворяют уравнениям обеих прямых.

8.21 Найдите координаты точки пересечения прямых:

a) $x - y = -1$ и $2x + y = 4$;

б) $4x + 3y = 6$ и $2x + 3y = 0$.

а) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, необходимо найти общее решение для их уравнений, то есть решить систему уравнений.

Запишем систему для прямых $x - y = -1$ и $2x + y = 4$:

$ \begin{cases} x - y = -1 \\ 2x + y = 4 \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($-1$ и $1$). Сложим левые и правые части уравнений:

$(x - y) + (2x + y) = -1 + 4$

$3x = 3$

$x = 1$

Теперь подставим найденное значение $x=1$ в любое из уравнений системы, чтобы найти $y$. Подставим в первое уравнение:

$1 - y = -1$

$-y = -1 - 1$

$-y = -2$

$y = 2$

Таким образом, координаты точки пересечения прямых — $(1; 2)$.

Ответ: $(1; 2)$

б) Аналогично найдем координаты точки пересечения прямых $4x + 3y = 6$ и $2x + 3y = 0$.

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} 4x + 3y = 6 \\ 2x + 3y = 0 \end{cases} $

В этом случае коэффициенты при переменной $y$ одинаковы, поэтому удобно использовать метод вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

$(4x + 3y) - (2x + 3y) = 6 - 0$

$2x = 6$

$x = 3$

Теперь подставим найденное значение $x=3$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:

$2(3) + 3y = 0$

$6 + 3y = 0$

$3y = -6$

$y = -2$

Таким образом, координаты точки пересечения прямых — $(3; -2)$.

Ответ: $(3; -2)$

Дано линейное уравнение с двумя переменными. Используя его, выразите каждую из переменных через другую:

8.22 а) $a + b = 24$;

б) $7x - y = 56$;

в) $m - n = 48$;

г) $c + 5d = 30$.

а) Рассматриваем уравнение $a + b = 24$.

Чтобы выразить переменную $a$ через $b$, необходимо изолировать $a$ в левой части уравнения. Для этого перенесем $b$ из левой части в правую, изменив знак на противоположный. Получаем: $a = 24 - b$.

Чтобы выразить переменную $b$ через $a$, необходимо изолировать $b$. Аналогично, перенесем $a$ в правую часть уравнения. Получаем: $b = 24 - a$.

Ответ: $a = 24 - b$; $b = 24 - a$.

б) Рассматриваем уравнение $7x - y = 56$.

Чтобы выразить переменную $y$ через $x$, перенесём $-y$ в правую часть уравнения, а $56$ — в левую. Это позволит нам получить выражение для $y$ с положительным знаком: $7x - 56 = y$. Запишем в более привычном виде: $y = 7x - 56$.

Чтобы выразить переменную $x$ через $y$, сначала оставим $7x$ в левой части, а $-y$ перенесем в правую: $7x = 56 + y$. Затем, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент 7: $x = \frac{56 + y}{7}$.

Ответ: $y = 7x - 56$; $x = \frac{56 + y}{7}$.

в) Рассматриваем уравнение $m - n = 48$.

Чтобы выразить переменную $m$ через $n$, перенесем $-n$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный: $m = 48 + n$.

Чтобы выразить переменную $n$ через $m$, перенесем $-n$ в правую часть, а $48$ — в левую. Получим $m - 48 = n$, или в более привычном виде: $n = m - 48$.

Ответ: $m = 48 + n$; $n = m - 48$.

г) Рассматриваем уравнение $c + 5d = 30$.

Чтобы выразить переменную $c$ через $d$, перенесем слагаемое $5d$ в правую часть уравнения: $c = 30 - 5d$.

Чтобы выразить переменную $d$ через $c$, сначала оставим $5d$ в левой части, а $c$ перенесем в правую: $5d = 30 - c$. Затем, чтобы найти $d$, разделим обе части уравнения на коэффициент 5: $d = \frac{30 - c}{5}$.

Ответ: $c = 30 - 5d$; $d = \frac{30 - c}{5}$.

8.23 a) $3a + 8b = 24;$

б) $6c + 5d = 30;$

в) $12m - 3n = 48;$

г) $7x - 8y = 56.$

а) Дано линейное диофантово уравнение $3a + 8b = 24$. Для нахождения его целочисленных решений выразим переменную $a$ через $b$:
$3a = 24 - 8b$
$a = \frac{24 - 8b}{3} = 8 - \frac{8b}{3}$
Чтобы значение $a$ было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{8b}{3}$ была целым числом. Так как коэффициенты 8 и 3 являются взаимно простыми числами (их наибольший общий делитель равен 1), то $b$ должно быть кратно 3. Введем целочисленный параметр $k$, такой что $b = 3k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь подставим это в выражение для $a$:
$a = 8 - \frac{8(3k)}{3} = 8 - 8k$
Таким образом, общее решение уравнения в целых числах имеет вид:
$a = 8 - 8k, b = 3k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверка: $3(8 - 8k) + 8(3k) = 24 - 24k + 24k = 24$, что верно.
Ответ: $a = 8 - 8k, b = 3k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Рассмотрим уравнение $6c + 5d = 30$. Коэффициенты 6 и 5 взаимно просты, поэтому уравнение имеет целочисленные решения. Выразим $d$ через $c$:
$5d = 30 - 6c$
$d = \frac{30 - 6c}{5} = 6 - \frac{6c}{5}$
Для целочисленности $d$ необходимо, чтобы $c$ было кратно 5, так как $\text{НОД}(6,5)=1$. Пусть $c = 5k$ для некоторого целого $k$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Подставим в выражение для $d$:
$d = 6 - \frac{6(5k)}{5} = 6 - 6k$
Общее решение:
$c = 5k, d = 6 - 6k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверка: $6(5k) + 5(6 - 6k) = 30k + 30 - 30k = 30$, что верно.
Ответ: $c = 5k, d = 6 - 6k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $12m - 3n = 48$. Все коэффициенты этого уравнения (12, -3, 48) делятся на их наибольший общий делитель, который равен 3. Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:
$4m - n = 16$
Из этого уравнения легко выразить $n$ через $m$:
$n = 4m - 16$
Это соотношение показывает, что для любого целого значения $m$, значение $n$ также будет целым. Чтобы записать общее решение, можно положить, что $m$ является произвольным целым числом. Обозначим его через параметр $k$:
$m = k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Тогда $n$ выражается как:
$n = 4k - 16$
Общее решение:
$m = k, n = 4k - 16$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверка: $12(k) - 3(4k - 16) = 12k - 12k + 48 = 48$, что верно.
Ответ: $m = k, n = 4k - 16$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) Рассмотрим уравнение $7x - 8y = 56$. Коэффициенты 7 и -8 взаимно просты, решения в целых числах существуют. Выразим $x$ через $y$:
$7x = 56 + 8y$
$x = \frac{56 + 8y}{7} = 8 + \frac{8y}{7}$
Чтобы $x$ было целым, $y$ должно быть кратно 7, так как $\text{НОД}(8,7)=1$. Пусть $y = 7k$ для некоторого целого $k$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Подставим в выражение для $x$:
$x = 8 + \frac{8(7k)}{7} = 8 + 8k$
Общее решение:
$x = 8 + 8k, y = 7k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверка: $7(8 + 8k) - 8(7k) = 56 + 56k - 56k = 56$, что верно.
Ответ: $x = 8 + 8k, y = 7k$, где $k \in \mathbb{Z}$.