Страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Запишите в общем виде линейное уравнение с двумя переменными $x, y$.

1. Линейным уравнением с двумя переменными $x$ и $y$ называется уравнение, которое можно представить в следующем общем виде:

$ax + by + c = 0$

В данной формуле:

• $x$ и $y$ — это переменные.
• $a, b, c$ — это числовые коэффициенты (константы), которые являются действительными числами. Коэффициенты $a$ и $b$ стоят при переменных, а $c$ — свободный член.

Ключевым требованием является то, что коэффициенты $a$ и $b$ не должны быть равны нулю одновременно. Если бы оба коэффициента, $a$ и $b$, были равны нулю, уравнение бы выродилось в равенство $c=0$, которое не содержит переменных и, следовательно, не является уравнением с двумя переменными. Математически это условие можно записать как $a^2 + b^2 \neq 0$.

Графиком такого уравнения на координатной плоскости является прямая линия.

Ответ: $ax + by + c = 0$, где $x$ и $y$ – переменные, $a, b, c$ – числовые коэффициенты, причём $a$ и $b$ не равны нулю одновременно.

2. Запишите в общем виде линейное уравнение с двумя переменными $u$, $v$.

Общим видом линейного уравнения с двумя переменными называется уравнение вида $ax + by + c = 0$.

В этой записи:
$x$ и $y$ – это переменные, значения которых нужно найти.
$a$, $b$ и $c$ – это некоторые заданные числа (коэффициенты).
Основное требование к коэффициентам $a$ и $b$ заключается в том, что они не могут быть равны нулю одновременно. Если бы и $a=0$, и $b=0$, уравнение потеряло бы свои переменные и перестало быть линейным уравнением с двумя переменными. Это условие можно записать математически как $a^2 + b^2 \neq 0$.

В поставленной задаче требуется записать это уравнение для переменных $u$ и $v$. Для этого необходимо просто заменить стандартные переменные $x$ и $y$ на указанные в задании $u$ и $v$.

Таким образом, подставив $u$ и $v$ в общую формулу, мы получаем искомое уравнение.

Ответ: Общий вид линейного уравнения с двумя переменными $u$ и $v$ выглядит так: $au + bv + c = 0$, где $u, v$ — переменные, а $a, b, c$ — числа (коэффициенты), причем коэффициенты $a$ и $b$ не равны нулю одновременно.

3. Что называют решением уравнения $ax + by + c = 0$, где $x, y$ – переменные, $a, b, c$ – коэффициенты?

3. Уравнение вида $ax + by + c = 0$ является линейным уравнением с двумя переменными ($x$ и $y$) и коэффициентами ($a$, $b$, $c$).

Решением такого уравнения называют любую упорядоченную пару чисел $(x_0; y_0)$, которая при подстановке в уравнение вместо переменных $x$ и $y$ соответственно превращает его в верное числовое равенство. Иначе говоря, для пары чисел $(x_0; y_0)$ должно выполняться условие:

$ax_0 + by_0 + c = 0$

Например, для уравнения $3x - 2y - 1 = 0$ пара чисел $(1; 1)$ является решением, потому что при подстановке $x=1$ и $y=1$ получается верное равенство:

$3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 1 = 3 - 2 - 1 = 0$

А пара $(2; 2)$ не является решением, так как:

$3 \cdot 2 - 2 \cdot 2 - 1 = 6 - 4 - 1 = 1 \neq 0$

Как правило, у таких уравнений существует бесконечное множество решений, которые на координатной плоскости образуют прямую линию.

Ответ: Решением уравнения $ax + by + c = 0$ называют всякую упорядоченную пару чисел $(x; y)$, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство.

4. Может ли линейное уравнение с двумя переменными не иметь решений? Если да, то приведите пример.

Да, линейное уравнение с двумя переменными может не иметь решений.

Общий вид линейного уравнения с двумя переменными $x$ и $y$ выглядит так:

$ax + by = c$

где $a$, $b$ и $c$ — это некоторые числа (коэффициенты).

Обычно, если хотя бы один из коэффициентов при переменных ($a$ или $b$) не равен нулю, уравнение имеет бесконечно много решений (его график — прямая линия).

Однако рассмотрим случай, когда оба коэффициента при переменных равны нулю, то есть $a = 0$ и $b = 0$. Уравнение тогда принимает вид:

$0 \cdot x + 0 \cdot y = c$

Левая часть этого уравнения всегда будет равна нулю, вне зависимости от значений $x$ и $y$. Таким образом, мы получаем равенство:

$0 = c$

Это равенство будет верным только если $c = 0$. Если же $c$ является любым числом, не равным нулю ($c \ne 0$), то мы получаем неверное числовое равенство. Например, $0 = 5$ или $0 = -1$. Поскольку никакие значения $x$ и $y$ не могут изменить тот факт, что это равенство неверно, у такого уравнения нет решений.

Пример:

Рассмотрим уравнение $0x + 0y = 5$.

Чтобы найти его решение, нужно найти такую пару чисел $(x, y)$, которая обратит его в верное равенство. Но при подстановке любых значений $x$ и $y$, левая часть уравнения всегда будет равна $0 \cdot x + 0 \cdot y = 0$. Тогда мы получаем равенство $0 = 5$, которое является ложным. Следовательно, не существует ни одной пары $(x, y)$, которая бы удовлетворяла этому уравнению.

Ответ: Да, может. Например, уравнение $0x + 0y = 5$.

5. Может ли линейное уравнение с двумя переменными иметь конечное множество решений; бесконечное множество решений? Если да, то приведите пример.

конечное множество решений Да, линейное уравнение с двумя переменными может иметь конечное множество решений. Рассмотрим общий вид такого уравнения: $ax + by = c$, где $x$ и $y$ – переменные, а $a$, $b$ и $c$ – некоторые числа (коэффициенты). Конечное число решений, а именно, ноль решений, возникает в вырожденном случае, когда оба коэффициента при переменных равны нулю ($a=0$ и $b=0$), а свободный член не равен нулю ($c \neq 0$). В этом случае уравнение принимает вид $0 \cdot x + 0 \cdot y = c$, что упрощается до $0 = c$. Если $c$ – любое число, не равное нулю, то это равенство является ложным при любых значениях $x$ и $y$. Следовательно, у такого уравнения нет решений. Множество решений пустое, а количество решений равно нулю, что является конечным числом. Например, уравнение $0x + 0y = 5$ приводится к неверному равенству $0=5$ и не имеет ни одного решения. Ответ: Да, может. Например, уравнение $0x + 0y = 5$ не имеет решений, то есть множество его решений конечно (состоит из 0 элементов).

бесконечное множество решений Да, линейное уравнение с двумя переменными может иметь бесконечное множество решений. Это наиболее распространенный случай. Если хотя бы один из коэффициентов при переменных ($a$ или $b$) не равен нулю, то уравнение $ax + by = c$ имеет бесконечно много решений. Графиком такого уравнения на координатной плоскости является прямая линия. Каждая точка этой прямой представляет собой пару чисел $(x, y)$, которая является решением уравнения. Поскольку любая прямая состоит из бесконечного множества точек, то и уравнение имеет бесконечное множество решений. Также бесконечное множество решений имеет вырожденное уравнение вида $0x + 0y = 0$, поскольку равенство $0=0$ верно для абсолютно любых значений $x$ и $y$. Например, рассмотрим уравнение $x + y = 3$. Мы можем выразить одну переменную через другую: $y = 3 - x$. Теперь, выбирая любое значение для $x$, мы можем найти соответствующее значение $y$. К примеру: если $x=1$, то $y=2$ (решение (1, 2)); если $x=5$, то $y=-2$ (решение (5, -2)); если $x=0$, то $y=3$ (решение (0, 3)), и так далее до бесконечности. Ответ: Да, может. Например, уравнение $x + y = 3$ имеет бесконечное множество решений.

6. Придумайте текстовую задачу, математическая модель которой представляет собой линейное уравнение с двумя переменными.

Текстовая задача:

В седьмом классе учится 28 человек. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?

Построение математической модели:

Для составления математической модели данной задачи необходимо ввести две переменные, так как у нас есть две неизвестные величины: количество мальчиков и количество девочек.

Пусть $x$ — это количество мальчиков в классе.
Пусть $y$ — это количество девочек в классе.

По условию задачи, общее количество учеников в классе равно 28. Это означает, что сумма количества мальчиков и количества девочек должна быть равна 28.

На основе этого мы можем составить уравнение:
$x + y = 28$

Полученное уравнение $x + y = 28$ является линейным уравнением с двумя переменными $x$ и $y$. В данном случае коэффициенты при переменных равны 1 ($a=1$, $b=1$), а свободный член равен 28 ($c=28$). Также, по смыслу задачи, переменные $x$ и $y$ могут быть только целыми неотрицательными числами.

Ответ: Задача: "В седьмом классе учится 28 человек. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?". Математическая модель этой задачи представляет собой линейное уравнение с двумя переменными: $x + y = 28$, где $x$ — количество мальчиков, а $y$ — количество девочек.

7. Как построить график линейного уравнения с двумя переменными, у которого оба коэффициента при переменных отличны от нуля? Сколько точек для этого достаточно взять?

Графиком линейного уравнения с двумя переменными $x$ и $y$ вида $ax + by + c = 0$, у которого оба коэффициента при переменных отличны от нуля ($a \neq 0$ и $b \neq 0$), является прямая линия. Для построения графика этой прямой необходимо найти координаты как минимум двух точек, которые удовлетворяют данному уравнению.

Как построить график линейного уравнения с двумя переменными, у которого оба коэффициента при переменных отличны от нуля?

Алгоритм построения графика следующий:

1. Найти координаты двух различных точек, принадлежащих графику. Для этого нужно:
   • Взять произвольное значение для одной из переменных (например, $x_1$).
   • Подставить это значение в исходное уравнение и решить его относительно второй переменной (найти $y_1$). Получится пара чисел $(x_1, y_1)$ — это координаты первой точки.
   • Аналогично найти координаты второй точки $(x_2, y_2)$, взяв другое значение для первой переменной ($x_2 \neq x_1$).
   Часто для удобства в качестве значений для одной из переменных выбирают $0$. Это позволяет легко найти точки пересечения прямой с осями координат.
2. Отметить найденные две точки на координатной плоскости.
3. С помощью линейки провести через эти две точки прямую. Эта прямая и будет являться искомым графиком.

Пример: Построим график уравнения $3x - 2y - 6 = 0$.

1. Найдем первую точку. Пусть $x = 0$. Подставляем в уравнение: $3(0) - 2y - 6 = 0$, откуда $-2y = 6$ и $y = -3$. Первая точка имеет координаты $(0, -3)$.
2. Найдем вторую точку. Пусть $y = 0$. Подставляем в уравнение: $3x - 2(0) - 6 = 0$, откуда $3x = 6$ и $x = 2$. Вторая точка имеет координаты $(2, 0)$.
3. Отмечаем точки $(0, -3)$ и $(2, 0)$ на системе координат и проводим через них прямую.

Ответ: Чтобы построить график, нужно найти координаты двух точек, удовлетворяющих уравнению, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую линию.

Сколько точек для этого достаточно взять?

Из основной аксиомы геометрии известно, что через две различные точки на плоскости проходит единственная прямая. Поскольку графиком линейного уравнения с двумя переменными (при $a \neq 0$ и $b \neq 0$) является прямая, для ее построения достаточно знать координаты всего лишь двух точек.

Для большей надежности и проверки правильности вычислений можно найти и третью, контрольную точку. Если она лежит на той же прямой, что и первые две, то построение, скорее всего, выполнено верно.

Ответ: Для построения графика достаточно взять две точки.

8. Что представляет собой график линейного уравнения с двумя переменными, у которого один коэффициент при переменной отличен от нуля, а другой равен нулю? Рассмотрите два случая.

Общий вид линейного уравнения с двумя переменными $x$ и $y$ следующий: $ax + by = c$. В этом уравнении $a$ и $b$ — это коэффициенты при переменных. Графиком такого уравнения является прямая линия. Рассмотрим два частных случая, описанных в задаче.

Случай 1

Пусть коэффициент при переменной $y$ равен нулю ($b=0$), а коэффициент при переменной $x$ отличен от нуля ($a \neq 0$). Тогда общее уравнение $ax + by = c$ примет вид:

$ax + 0 \cdot y = c$

Это уравнение упрощается до $ax = c$.

Так как по условию $a \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$ и получить:

$x = \frac{c}{a}$

Данное уравнение описывает множество всех точек на координатной плоскости, у которых абсцисса (координата $x$) постоянна и равна величине $\frac{c}{a}$, а ордината (координата $y$) может принимать любое значение. Графиком такого уравнения является вертикальная прямая, параллельная оси ординат (оси $y$).

Ответ: прямая, параллельная оси ординат (оси $y$).

Случай 2

Пусть коэффициент при переменной $x$ равен нулю ($a=0$), а коэффициент при переменной $y$ отличен от нуля ($b \neq 0$). Тогда общее уравнение $ax + by = c$ примет вид:

$0 \cdot x + by = c$

Это уравнение упрощается до $by = c$.

Так как по условию $b \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $b$ и получить:

$y = \frac{c}{b}$

Данное уравнение описывает множество всех точек на координатной плоскости, у которых ордината (координата $y$) постоянна и равна величине $\frac{c}{b}$, а абсцисса (координата $x$) может принимать любое значение. Графиком такого уравнения является горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс (оси $x$).

Ответ: прямая, параллельная оси абсцисс (оси $x$).

9. В каком случае из линейного уравнения $ax + by + c = 0$ можно выразить переменную $y$ через переменную $x$, а в каком — нельзя? Какой вид примет уравнение, если переменную $y$ можно выразить через переменную $x$?

В каком случае из линейного уравнения можно выразить переменную y через переменную x

Дано линейное уравнение $ax + by + c = 0$. Чтобы выразить переменную $y$ через переменную $x$, нужно изолировать слагаемое с $y$ в одной части уравнения, а все остальные слагаемые перенести в другую.

1. Перенесем слагаемые $ax$ и $c$ в правую часть уравнения, изменив их знаки:

$by = -ax - c$

2. Чтобы найти $y$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент $b$:

$y = \frac{-ax - c}{b}$

Эта операция деления возможна только в том случае, если делитель не равен нулю, то есть $b \neq 0$. Таким образом, выразить переменную $y$ через $x$ можно только при условии, что коэффициент при $y$ отличен от нуля.

Ответ: переменную $y$ можно выразить через $x$, если коэффициент $b \neq 0$.

В каком случае из линейного уравнения нельзя выразить переменную y через переменную x

Исходя из рассуждений в предыдущем пункте, выразить $y$ через $x$ невозможно, если мы не можем выполнить деление на коэффициент $b$. Это происходит, когда $b = 0$.

Если $b = 0$, то исходное уравнение $ax + by + c = 0$ принимает вид:

$ax + 0 \cdot y + c = 0$

$ax + c = 0$

В полученном уравнении переменная $y$ отсутствует, поэтому выразить ее через $x$ невозможно. Графиком такого уравнения (при $a \neq 0$) является вертикальная прямая, параллельная оси OY.

Ответ: переменную $y$ нельзя выразить через $x$, если коэффициент $b = 0$.

Какой вид примет уравнение, если переменную y можно выразить через переменную x

Если переменную $y$ можно выразить через $x$ (то есть при $b \neq 0$), то после выполнения преобразований уравнение принимает вид:

$y = \frac{-ax - c}{b}$

Это выражение можно записать в стандартном виде линейной функции $y = kx + m$, выполнив почленное деление в правой части:

$y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$

Это и есть искомый вид уравнения. Здесь $k = -\frac{a}{b}$ — это угловой коэффициент, а $m = -\frac{c}{b}$ — свободный член.

Ответ: уравнение примет вид $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$.

Постройте график линейной функции в соответствующей системе координат:

9.18 а) $y = x + 2$;

б) $y = x - 3$;

в) $y = x + 5$;

г) $y = x - 1$.

Для построения графика линейной функции, который представляет собой прямую линию, достаточно найти координаты двух точек, удовлетворяющих уравнению функции, а затем провести через эти точки прямую.

а) $y = x + 2$

Это линейная функция, ее график — прямая. Найдем две точки, через которые она проходит, например, точки пересечения с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (OY). Для этого подставим $x = 0$ в уравнение:

$y = 0 + 2 = 2$

Первая точка имеет координаты $(0, 2)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (OX). Для этого подставим $y = 0$ в уравнение:

$0 = x + 2$

$x = -2$

Вторая точка имеет координаты $(-2, 0)$.

Отметив на координатной плоскости точки $(0, 2)$ и $(-2, 0)$ и соединив их прямой, мы получим график функции $y = x + 2$.

Ответ: График функции $y = x + 2$ — это прямая, проходящая через точки с координатами $(0, 2)$ и $(-2, 0)$.

б) $y = x - 3$

Это линейная функция, ее график — прямая. Найдем две точки для ее построения.

1. При $x = 0$:

$y = 0 - 3 = -3$

Первая точка: $(0, -3)$.

2. При $y = 0$:

$0 = x - 3$

$x = 3$

Вторая точка: $(3, 0)$.

График функции $y = x - 3$ — это прямая, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(3, 0)$.

Ответ: График функции $y = x - 3$ — это прямая, проходящая через точки с координатами $(0, -3)$ и $(3, 0)$.

в) $y = x + 5$

Это линейная функция, ее график — прямая. Найдем две точки для ее построения.

1. При $x = 0$:

$y = 0 + 5 = 5$

Первая точка: $(0, 5)$.

2. При $y = 0$:

$0 = x + 5$

$x = -5$

Вторая точка: $(-5, 0)$.

График функции $y = x + 5$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 5)$ и $(-5, 0)$.

Ответ: График функции $y = x + 5$ — это прямая, проходящая через точки с координатами $(0, 5)$ и $(-5, 0)$.

г) $y = x - 1$

Это линейная функция, ее график — прямая. Найдем две точки для ее построения.

1. При $x = 0$:

$y = 0 - 1 = -1$

Первая точка: $(0, -1)$.

2. При $y = 0$:

$0 = x - 1$

$x = 1$

Вторая точка: $(1, 0)$.

График функции $y = x - 1$ — это прямая, проходящая через точки $(0, -1)$ и $(1, 0)$.

Ответ: График функции $y = x - 1$ — это прямая, проходящая через точки с координатами $(0, -1)$ и $(1, 0)$.

9.19 a) $y = 4x - 6$;

б) $y = 5x + 7$;

в) $y = 3x - 3$;

г) $y = 2x + 1$.

Поскольку в задании не указано, что именно нужно сделать с данными функциями, мы решим стандартную задачу для линейных функций: найдем точки пересечения их графиков с осями координат.

а) $y = 4x - 6$

1. Найдем точку пересечения графика с осью ординат (осью $Oy$). В этой точке координата $x$ равна 0. Подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = 4 \cdot 0 - 6 = -6$

Таким образом, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0; -6)$.

2. Найдем точку пересечения графика с осью абсцисс (осью $Ox$). В этой точке координата $y$ равна 0. Подставим $y=0$ в уравнение функции:

$0 = 4x - 6$

Перенесем слагаемое без $x$ в левую часть:

$4x = 6$

Найдем $x$:

$x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$

Таким образом, точка пересечения с осью $Ox$ имеет координаты $(1,5; 0)$.

Ответ: с осью $Oy$: $(0; -6)$; с осью $Ox$: $(1,5; 0)$.

б) $y = 5x + 7$

1. Найдем точку пересечения графика с осью ординат ($Oy$), подставив $x=0$:

$y = 5 \cdot 0 + 7 = 7$

Точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0; 7)$.

2. Найдем точку пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$), подставив $y=0$:

$0 = 5x + 7$

Перенесем слагаемое без $x$ в левую часть:

$5x = -7$

Найдем $x$:

$x = -\frac{7}{5} = -1,4$

Точка пересечения с осью $Ox$ имеет координаты $(-1,4; 0)$.

Ответ: с осью $Oy$: $(0; 7)$; с осью $Ox$: $(-1,4; 0)$.

в) $y = 3x - 3$

1. Найдем точку пересечения графика с осью ординат ($Oy$), подставив $x=0$:

$y = 3 \cdot 0 - 3 = -3$

Точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0; -3)$.

2. Найдем точку пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$), подставив $y=0$:

$0 = 3x - 3$

Перенесем слагаемое без $x$ в левую часть:

$3x = 3$

Найдем $x$:

$x = \frac{3}{3} = 1$

Точка пересечения с осью $Ox$ имеет координаты $(1; 0)$.

Ответ: с осью $Oy$: $(0; -3)$; с осью $Ox$: $(1; 0)$.

г) $y = 2x + 1$

1. Найдем точку пересечения графика с осью ординат ($Oy$), подставив $x=0$:

$y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$

Точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0; 1)$.

2. Найдем точку пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$), подставив $y=0$:

$0 = 2x + 1$

Перенесем слагаемое без $x$ в левую часть:

$2x = -1$

Найдем $x$:

$x = -\frac{1}{2} = -0,5$

Точка пересечения с осью $Ox$ имеет координаты $(-0,5; 0)$.

Ответ: с осью $Oy$: $(0; 1)$; с осью $Ox$: $(-0,5; 0)$.

9.20 а) $y=-x+2$;

б) $y=-x-3$;

в) $y=-x+1$;

г) $y=-x-8$.

a) $y = -x + 2$

Данная функция является линейной вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -1$ и свободный член $b = 2$. Графиком является прямая. Для ее построения найдем точки пересечения с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью Oy). Для этого значение абсциссы должно быть равно нулю: $x = 0$.

$y = -0 + 2 = 2$

Следовательно, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; 2)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью Ox). Для этого значение ординаты должно быть равно нулю: $y = 0$.

$0 = -x + 2$

$x = 2$

Следовательно, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(2; 0)$.

Ответ: точки пересечения графика функции с осями координат: $(0; 2)$ и $(2; 0)$.

б) $y = -x - 3$

Это линейная функция, ее график — прямая. Угловой коэффициент $k = -1$, свободный член $b = -3$. Найдем точки пересечения графика с осями координат.

1. Пересечение с осью Oy (подставляем $x=0$):

$y = -0 - 3 = -3$

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -3)$.

2. Пересечение с осью Ox (подставляем $y=0$):

$0 = -x - 3$

$x = -3$

Точка пересечения с осью Ox: $(-3; 0)$.

Ответ: точки пересечения графика функции с осями координат: $(0; -3)$ и $(-3; 0)$.

в) $y = -x + 1$

Это линейная функция с угловым коэффициентом $k = -1$ и свободным членом $b = 1$. Ее график — прямая. Найдем точки пересечения графика с осями координат.

1. Пересечение с осью Oy ($x=0$):

$y = -0 + 1 = 1$

Точка пересечения с осью Oy: $(0; 1)$.

2. Пересечение с осью Ox ($y=0$):

$0 = -x + 1$

$x = 1$

Точка пересечения с осью Ox: $(1; 0)$.

Ответ: точки пересечения графика функции с осями координат: $(0; 1)$ и $(1; 0)$.

г) $y = -x - 8$

Это линейная функция с угловым коэффициентом $k = -1$ и свободным членом $b = -8$. Ее график — прямая. Найдем точки пересечения графика с осями координат.

1. Пересечение с осью Oy ($x=0$):

$y = -0 - 8 = -8$

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -8)$.

2. Пересечение с осью Ox ($y=0$):

$0 = -x - 8$

$x = -8$

Точка пересечения с осью Ox: $(-8; 0)$.

Ответ: точки пересечения графика функции с осями координат: $(0; -8)$ и $(-8; 0)$.

9.21 a) $y = -3x + 2;$

Б) $y = -4x + 1;$

В) $y = -7x + 3;$

Г) $y = -5x + 2.$

а)

Для того чтобы найти, при каких значениях $x$ функция $y = -3x + 2$ принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $y > 0$.

Составим и решим неравенство:

$-3x + 2 > 0$

Перенесем слагаемое 2 в правую часть, изменив его знак:

$-3x > -2$

Разделим обе части неравенства на -3. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x < \frac{-2}{-3}$

$x < \frac{2}{3}$

Следовательно, функция положительна при всех значениях $x$, которые меньше $\frac{2}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$.

б)

Для того чтобы найти, при каких значениях $x$ функция $y = -4x + 1$ принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $y > 0$.

Составим и решим неравенство:

$-4x + 1 > 0$

Перенесем слагаемое 1 в правую часть, изменив его знак:

$-4x > -1$

Разделим обе части неравенства на -4, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < \frac{-1}{-4}$

$x < \frac{1}{4}$

Следовательно, функция положительна при всех значениях $x$, которые меньше $\frac{1}{4}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{4})$.

в)

Для того чтобы найти, при каких значениях $x$ функция $y = -7x + 3$ принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $y > 0$.

Составим и решим неравенство:

$-7x + 3 > 0$

Перенесем слагаемое 3 в правую часть, изменив его знак:

$-7x > -3$

Разделим обе части неравенства на -7, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < \frac{-3}{-7}$

$x < \frac{3}{7}$

Следовательно, функция положительна при всех значениях $x$, которые меньше $\frac{3}{7}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{3}{7})$.

г)

Для того чтобы найти, при каких значениях $x$ функция $y = -5x + 2$ принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $y > 0$.

Составим и решим неравенство:

$-5x + 2 > 0$

Перенесем слагаемое 2 в правую часть, изменив его знак:

$-5x > -2$

Разделим обе части неравенства на -5, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < \frac{-2}{-5}$

$x < \frac{2}{5}$

Следовательно, функция положительна при всех значениях $x$, которые меньше $\frac{2}{5}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{5})$.

9.22 a) $y = 0,4x + 2$;

б) $y = -2,5x - 3$;

в) $y = 0,2x - 4$;

г) $y = -1,5x + 8$.

Для нахождения функции, обратной к данной, необходимо в уравнении функции поменять местами переменные $x$ и $y$, а затем выразить новую переменную $y$ через $x$.

а)

Дана функция $y = 0,4x + 2$.

1. Меняем местами $x$ и $y$:

$x = 0,4y + 2$

2. Выражаем $y$ из полученного уравнения:

$0,4y = x - 2$

$y = \frac{x - 2}{0,4}$

Для удобства вычислений преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,4 = \frac{2}{5}$. Деление на $\frac{2}{5}$ эквивалентно умножению на $\frac{5}{2}$ или $2,5$.

$y = (x - 2) \cdot \frac{5}{2}$

$y = 2,5x - 5$

Ответ: $y = 2,5x - 5$

б)

Дана функция $y = -2,5x - 3$.

1. Меняем местами $x$ и $y$:

$x = -2,5y - 3$

2. Выражаем $y$ из полученного уравнения:

$-2,5y = x + 3$

$y = \frac{x + 3}{-2,5}$

Преобразуем $-2,5$ в обыкновенную дробь: $-2,5 = -\frac{5}{2}$. Деление на $-\frac{5}{2}$ эквивалентно умножению на $-\frac{2}{5}$ или $-0,4$.

$y = (x + 3) \cdot (-0,4)$

$y = -0,4x - 1,2$

Ответ: $y = -0,4x - 1,2$

в)

Дана функция $y = 0,2x - 4$.

1. Меняем местами $x$ и $y$:

$x = 0,2y - 4$

2. Выражаем $y$ из полученного уравнения:

$0,2y = x + 4$

$y = \frac{x + 4}{0,2}$

Так как $0,2 = \frac{1}{5}$, деление на $0,2$ эквивалентно умножению на $5$.

$y = 5(x + 4)$

$y = 5x + 20$

Ответ: $y = 5x + 20$

г)

Дана функция $y = -1,5x + 8$.

1. Меняем местами $x$ и $y$:

$x = -1,5y + 8$

2. Выражаем $y$ из полученного уравнения:

$-1,5y = x - 8$

$y = \frac{x - 8}{-1,5}$

Преобразуем $-1,5$ в обыкновенную дробь: $-1,5 = -\frac{3}{2}$. Деление на $-\frac{3}{2}$ эквивалентно умножению на $-\frac{2}{3}$.

$y = (x - 8) \cdot (-\frac{2}{3})$

$y = -\frac{2}{3}x + \frac{16}{3}$

Ответ: $y = -\frac{2}{3}x + \frac{16}{3}$

9.23 a) $y = \frac{1}{3}x - 1$;

б) $y = -\frac{1}{2}x + 1$;

в) $y = \frac{1}{2}x + 5$;

г) $y = -\frac{2}{3}x - 2$.

а) Дана функция $y = \frac{1}{3}x - 1$.
Это линейная функция вида $y = kx + b$, график которой — прямая.
1. Угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой): $k = \frac{1}{3}$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей на всей области определения.
2. Пересечение с осью ординат (Oy): Координата y точки пересечения равна свободному члену $b = -1$. Это происходит при $x=0$: $y = \frac{1}{3}(0) - 1 = -1$. Точка пересечения с осью Oy — $(0, -1)$.
3. Пересечение с осью абсцисс (Ox): Это нуль функции, который находится при $y=0$.
$0 = \frac{1}{3}x - 1$
$\frac{1}{3}x = 1$
$x = 3$
Точка пересечения с осью Ox — $(3, 0)$.
Прямую можно построить по двум найденным точкам: $(0, -1)$ и $(3, 0)$.

Ответ: Линейная, возрастающая функция. Угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$. Пересечение с осью Ox в точке $(3, 0)$, с осью Oy в точке $(0, -1)$.

б) Дана функция $y = -\frac{1}{2}x + 1$.
Это линейная функция вида $y = kx + b$, график которой — прямая.
1. Угловой коэффициент: $k = -\frac{1}{2}$. Так как $k < 0$, функция является убывающей на всей области определения.
2. Пересечение с осью ординат (Oy): $b = 1$. При $x=0$, $y = -\frac{1}{2}(0) + 1 = 1$. Точка пересечения с осью Oy — $(0, 1)$.
3. Пересечение с осью абсцисс (Ox): Найдем нуль функции ($y=0$).
$0 = -\frac{1}{2}x + 1$
$\frac{1}{2}x = 1$
$x = 2$
Точка пересечения с осью Ox — $(2, 0)$.
Прямая проходит через точки $(0, 1)$ и $(2, 0)$.

Ответ: Линейная, убывающая функция. Угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$. Пересечение с осью Ox в точке $(2, 0)$, с осью Oy в точке $(0, 1)$.

в) Дана функция $y = \frac{1}{2}x + 5$.
Это линейная функция вида $y = kx + b$, график которой — прямая.
1. Угловой коэффициент: $k = \frac{1}{2}$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.
2. Пересечение с осью ординат (Oy): $b = 5$. При $x=0$, $y = \frac{1}{2}(0) + 5 = 5$. Точка пересечения с осью Oy — $(0, 5)$.
3. Пересечение с осью абсцисс (Ox): Найдем нуль функции ($y=0$).
$0 = \frac{1}{2}x + 5$
$\frac{1}{2}x = -5$
$x = -10$
Точка пересечения с осью Ox — $(-10, 0)$.
Прямая проходит через точки $(0, 5)$ и $(-10, 0)$.

Ответ: Линейная, возрастающая функция. Угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$. Пересечение с осью Ox в точке $(-10, 0)$, с осью Oy в точке $(0, 5)$.

г) Дана функция $y = -\frac{2}{3}x - 2$.
Это линейная функция вида $y = kx + b$, график которой — прямая.
1. Угловой коэффициент: $k = -\frac{2}{3}$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.
2. Пересечение с осью ординат (Oy): $b = -2$. При $x=0$, $y = -\frac{2}{3}(0) - 2 = -2$. Точка пересечения с осью Oy — $(0, -2)$.
3. Пересечение с осью абсцисс (Ox): Найдем нуль функции ($y=0$).
$0 = -\frac{2}{3}x - 2$
$\frac{2}{3}x = -2$
$x = -2 \cdot \frac{3}{2} = -3$
Точка пересечения с осью Ox — $(-3, 0)$.
Прямая проходит через точки $(0, -2)$ и $(-3, 0)$.

Ответ: Линейная, убывающая функция. Угловой коэффициент $k = -\frac{2}{3}$. Пересечение с осью Ox в точке $(-3, 0)$, с осью Oy в точке $(0, -2)$.

9.24 a) $y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{4};$

б) $y = -\frac{3}{10}x - \frac{2}{5};$

В) $y = \frac{5}{6}x - \frac{1}{3};$

Г) $y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}.$

Поскольку в задании не указано, что именно нужно сделать с функциями, решим стандартную задачу для линейных функций: найдем точки пересечения их графиков с осями координат.

а) Дана функция $y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}$.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (Oy). Для этого приравниваем $x$ к нулю:

$y = \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.

Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; \frac{1}{4})$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (Ox). Для этого приравниваем $y$ к нулю:

$0 = \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}$.

Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть:

$-\frac{1}{4}x = \frac{1}{4}$.

Умножим обе части уравнения на $-4$:

$x = -1$.

Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(-1; 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0; \frac{1}{4})$, с осью Ox: $(-1; 0)$.

б) Дана функция $y = -\frac{3}{10}x - \frac{2}{5}$.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (Oy), подставив $x = 0$:

$y = -\frac{3}{10} \cdot 0 - \frac{2}{5} = -\frac{2}{5}$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -\frac{2}{5})$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (Ox), подставив $y = 0$:

$0 = -\frac{3}{10}x - \frac{2}{5}$.

Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть:

$\frac{3}{10}x = -\frac{2}{5}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части на обратную дробь коэффициента при $x$, то есть на $\frac{10}{3}$:

$x = -\frac{2}{5} \cdot \frac{10}{3} = -\frac{2 \cdot 10}{5 \cdot 3} = -\frac{2 \cdot 2}{3} = -\frac{4}{3}$.

Точка пересечения с осью Ox: $(-\frac{4}{3}; 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0; -\frac{2}{5})$, с осью Ox: $(-\frac{4}{3}; 0)$.

в) Дана функция $y = \frac{5}{6}x - \frac{1}{3}$.

1. Найдем точку пересечения с осью Oy ($x=0$):

$y = \frac{5}{6} \cdot 0 - \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -\frac{1}{3})$.

2. Найдем точку пересечения с осью Ox ($y=0$):

$0 = \frac{5}{6}x - \frac{1}{3}$.

$\frac{5}{6}x = \frac{1}{3}$.

Умножим обе части на $\frac{6}{5}$:

$x = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$.

Точка пересечения с осью Ox: $(\frac{2}{5}; 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0; -\frac{1}{3})$, с осью Ox: $(\frac{2}{5}; 0)$.

г) Дана функция $y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}$.

1. Найдем точку пересечения с осью Oy ($x=0$):

$y = -\frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; \frac{1}{3})$.

2. Найдем точку пересечения с осью Ox ($y=0$):

$0 = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}$.

$\frac{2}{3}x = \frac{1}{3}$.

Умножим обе части на $\frac{3}{2}$:

$x = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.

Точка пересечения с осью Ox: $(\frac{1}{2}; 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0; \frac{1}{3})$, с осью Ox: $(\frac{1}{2}; 0)$.

9.25 a) $s = 1.5t + 0.5;$

Б) $s = -3.5t + 4.5;$

В) $s = -4.5t - 2.5;$

Г) $s = 2.5t - 3.5.$

Поскольку в задании не сформулирован конкретный вопрос, а представлены уравнения движения, решением будет подробный анализ каждого из этих уравнений. Все представленные уравнения вида $s = at + b$ описывают равномерное прямолинейное движение, так как зависимость координаты $s$ от времени $t$ является линейной.

Общий вид уравнения для такого движения: $s(t) = s_0 + v_s t$, где $s(t)$ — координата тела в момент времени $t$, $s_0$ — начальная координата (в момент $t=0$), а $v_s$ — проекция скорости тела на ось $s$. Проанализируем каждый случай.

Данное уравнение описывает равномерное прямолинейное движение. Чтобы определить параметры движения, сравним его с общим видом уравнения $s(t) = s_0 + v_s t$. Для удобства сравнения перепишем исходное уравнение, поменяв слагаемые местами: $s = 0,5 + 1,5t$.

Из сравнения получаем:

Начальная координата $s_0$ (свободный член) равна $0,5$ (условных единиц длины).Проекция скорости $v_s$ (коэффициент при $t$) равна $1,5$ (условных единиц скорости).

Так как проекция скорости положительна ($v_s = 1,5 > 0$), тело движется в положительном направлении оси $s$. Модуль скорости (скорость) постоянен и равен $|v_s| = 1,5$.

Ответ: Начальная координата $s_0 = 0,5$ ед., проекция скорости $v_s = 1,5$ ед./с. Тело движется равномерно в положительном направлении оси $s$.

Это уравнение также описывает равномерное прямолинейное движение. Приведем его к стандартному виду $s(t) = s_0 + v_s t$: $s = 4,5 + (-3,5)t$.

Сравнивая полученное уравнение с общей формой, находим параметры движения:

Начальная координата: $s_0 = 4,5$ ед.

Проекция скорости: $v_s = -3,5$ ед./с.

Знак проекции скорости отрицательный ($v_s = -3,5 < 0$), это означает, что тело движется в направлении, противоположном положительному направлению оси $s$. Модуль скорости постоянен и равен $|v_s| = |-3,5| = 3,5$ ед./с.

Ответ: Начальная координата $s_0 = 4,5$ ед., проекция скорости $v_s = -3,5$ ед./с. Тело движется равномерно в отрицательном направлении оси $s$.

Данное уравнение описывает равномерное прямолинейное движение. Представим его в стандартной форме $s(t) = s_0 + v_s t$: $s = -2,5 + (-4,5)t$.

Из сравнения с общей формулой $s(t) = s_0 + v_s t$ определяем:

Начальная координата: $s_0 = -2,5$ ед.

Проекция скорости: $v_s = -4,5$ ед./с.

Проекция скорости отрицательна ($v_s = -4,5 < 0$), что указывает на движение тела в отрицательном направлении оси $s$. Модуль скорости постоянен и составляет $|v_s| = |-4,5| = 4,5$ ед./с.

Ответ: Начальная координата $s_0 = -2,5$ ед., проекция скорости $v_s = -4,5$ ед./с. Тело движется равномерно в отрицательном направлении оси $s$.

Это уравнение является уравнением равномерного прямолинейного движения. Приведем его к стандартному виду $s(t) = s_0 + v_s t$: $s = -3,5 + 2,5t$.

Сравнивая с общей формой, находим характеристики движения:

Начальная координата: $s_0 = -3,5$ ед.

Проекция скорости: $v_s = 2,5$ ед./с.

Поскольку проекция скорости положительна ($v_s = 2,5 > 0$), тело движется в положительном направлении оси $s$. Скорость движения постоянна и по модулю равна $|v_s| = 2,5$ ед./с.

Ответ: Начальная координата $s_0 = -3,5$ ед., проекция скорости $v_s = 2,5$ ед./с. Тело движется равномерно в положительном направлении оси $s$.

9.26 a) $s = \frac{2}{3}t - 1;$

б) $u = -\frac{v}{2} + 1;$

в) $s = \frac{v}{4} - 2;$

г) $u = -\frac{2}{3}t + 1.$

а) Дано уравнение зависимости $s$ от $t$: $s = \frac{2}{3}t - 1$.
Чтобы выразить переменную $t$ через $s$, необходимо решить уравнение относительно $t$.
1. Прибавим 1 к обеим частям уравнения, чтобы изолировать слагаемое с $t$:
$s + 1 = \frac{2}{3}t$
2. Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя дроби:
$3(s + 1) = 2t$
$3s + 3 = 2t$
3. Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $t$:
$t = \frac{3s + 3}{2}$
Это можно также записать в виде $t = \frac{3}{2}s + \frac{3}{2}$.
Ответ: $t = \frac{3}{2}s + \frac{3}{2}$

б) Дано уравнение зависимости $u$ от $v$: $u = -\frac{v}{2} + 1$.
Чтобы выразить переменную $v$ через $u$, решим уравнение относительно $v$.
1. Вычтем 1 из обеих частей уравнения:
$u - 1 = -\frac{v}{2}$
2. Умножим обе части уравнения на -2, чтобы выразить $v$:
$-2(u - 1) = v$
3. Раскроем скобки в левой части:
$v = -2u + 2$
Ответ: $v = -2u + 2$

в) Дано уравнение зависимости $s$ от $v$: $s = \frac{v}{4} - 2$.
Чтобы выразить переменную $v$ через $s$, решим уравнение относительно $v$.
1. Прибавим 2 к обеим частям уравнения:
$s + 2 = \frac{v}{4}$
2. Умножим обе части уравнения на 4, чтобы найти $v$:
$4(s + 2) = v$
3. Раскроем скобки в левой части:
$v = 4s + 8$
Ответ: $v = 4s + 8$

г) Дано уравнение зависимости $u$ от $t$: $u = -\frac{2}{3}t + 1$.
Чтобы выразить переменную $t$ через $u$, решим уравнение относительно $t$.
1. Вычтем 1 из обеих частей уравнения:
$u - 1 = -\frac{2}{3}t$
2. Умножим обе части уравнения на 3:
$3(u - 1) = -2t$
$3u - 3 = -2t$
3. Разделим обе части уравнения на -2:
$t = \frac{3u - 3}{-2}$
4. Упростим выражение, поменяв знаки в числителе и знаменателе, и разделим почленно:
$t = \frac{-(3u - 3)}{2} = \frac{-3u + 3}{2} = -\frac{3}{2}u + \frac{3}{2}$
Ответ: $t = -\frac{3}{2}u + \frac{3}{2}$

9.27 Найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций:

а) $y = x + 4$ и $y = 2x$;

б) $y = -2x + 3$ и $y = 2x - 5$;

в) $y = -x$ и $y = 3x - 4$;

г) $y = 3x + 2$ и $y = -0.5x - 5$.

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков двух линейных функций, необходимо найти такое значение аргумента $x$, при котором значения функций (координаты $y$) будут равны. Для этого нужно приравнять правые части уравнений функций и решить полученное уравнение относительно $x$. После нахождения $x$, его значение подставляют в любое из исходных уравнений для вычисления соответствующего значения $y$. Найденная пара чисел $(x; y)$ и будет координатами точки пересечения.

а) Даны функции $y = x + 4$ и $y = 2x$.
Приравняем правые части уравнений:
$x + 4 = 2x$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть:
$4 = 2x - x$
$x = 4$
Теперь подставим найденное значение $x = 4$ в любое из исходных уравнений, например, в $y = 2x$:
$y = 2 \cdot 4 = 8$
Таким образом, координаты точки пересечения графиков: $(4; 8)$.
Ответ: $(4; 8)$

б) Даны функции $y = -2x + 3$ и $y = 2x - 5$.
Приравняем правые части уравнений:
$-2x + 3 = 2x - 5$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$3 + 5 = 2x + 2x$
$8 = 4x$
$x = \frac{8}{4} = 2$
Подставим $x = 2$ в уравнение $y = 2x - 5$:
$y = 2 \cdot 2 - 5 = 4 - 5 = -1$
Координаты точки пересечения: $(2; -1)$.
Ответ: $(2; -1)$

в) Даны функции $y = -x$ и $y = 3x - 4$.
Приравняем правые части уравнений:
$-x = 3x - 4$
Перенесем слагаемые:
$4 = 3x + x$
$4 = 4x$
$x = 1$
Подставим $x = 1$ в уравнение $y = -x$:
$y = -1$
Координаты точки пересечения: $(1; -1)$.
Ответ: $(1; -1)$

г) Даны функции $y = 3x + 2$ и $y = -0,5x - 5$.
Приравняем правые части уравнений:
$3x + 2 = -0,5x - 5$
Перенесем слагаемые:
$3x + 0,5x = -5 - 2$
$3,5x = -7$
$x = \frac{-7}{3,5} = -2$
Подставим $x = -2$ в уравнение $y = 3x + 2$:
$y = 3 \cdot (-2) + 2 = -6 + 2 = -4$
Координаты точки пересечения: $(-2; -4)$.
Ответ: $(-2; -4)$

9.28 Постройте график линейной функции $y = x + 4$. Найдите:

а) координаты точек пересечения графика с осями координат;

б) значение $y$, соответствующее значению $x$, равному $-2$; $-1$; $1$;

в) значение $x$, которому соответствует значение $y$, равное $1$; $-2$; $7$;

г) выясните, возрастает или убывает заданная линейная функция.

Дана линейная функция $y = x + 4$. Графиком этой функции является прямая. Для построения графика найдем две точки, принадлежащие этой прямой. Удобнее всего найти точки пересечения с осями координат, как требуется в пункте а).

а) координаты точек пересечения графика с осями координат;
Чтобы найти точку пересечения графика с осью ординат ($Oy$), необходимо подставить значение $x=0$ в уравнение функции:
$y = 0 + 4 = 4$
Координаты точки пересечения с осью $Oy$ равны $(0; 4)$.

Чтобы найти точку пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$), необходимо подставить значение $y=0$ в уравнение функции:
$0 = x + 4$
$x = -4$
Координаты точки пересечения с осью $Ox$ равны $(-4; 0)$.
Отметив на координатной плоскости точки $(0; 4)$ и $(-4; 0)$ и проведя через них прямую, мы получим график функции $y = x + 4$.

Ответ: точка пересечения с осью $Oy$ — $(0; 4)$; точка пересечения с осью $Ox$ — $(-4; 0)$.

б) значение y, соответствующее значению x, равному –2; –1; 1;
Для нахождения значений $y$, подставим соответствующие значения $x$ в уравнение $y = x + 4$:
При $x = -2$: $y = -2 + 4 = 2$.
При $x = -1$: $y = -1 + 4 = 3$.
При $x = 1$: $y = 1 + 4 = 5$.

Ответ: $y = 2$ при $x = -2$; $y = 3$ при $x = -1$; $y = 5$ при $x = 1$.

в) значение x, которому соответствует значение y, равное 1; –2; 7;
Для нахождения значений $x$, подставим соответствующие значения $y$ в уравнение $y = x + 4$ и решим его относительно $x$:
При $y = 1$: $1 = x + 4 \implies x = 1 - 4 = -3$.
При $y = -2$: $-2 = x + 4 \implies x = -2 - 4 = -6$.
При $y = 7$: $7 = x + 4 \implies x = 7 - 4 = 3$.

Ответ: $x = -3$ при $y = 1$; $x = -6$ при $y = -2$; $x = 3$ при $y = 7$.

г) выясните, возрастает или убывает заданная линейная функция.
Общий вид линейной функции — $y = kx + b$. Функция является возрастающей, если ее угловой коэффициент $k > 0$, и убывающей, если $k < 0$.
В заданной функции $y = x + 4$ (или $y = 1 \cdot x + 4$) угловой коэффициент $k=1$.
Поскольку $k = 1 > 0$, функция является возрастающей. Это значит, что с увеличением аргумента $x$ значение функции $y$ также увеличивается.

Ответ: заданная линейная функция возрастает.