Страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

9.59 Найдите значение $k$, если известно, что график линейной функции $y = kx + 4$ проходит через точку:

а) C(3; 5);

в) E(-6; -8);

б) $D(\frac{1}{2}; 1)$;

г) $F(\frac{1}{3}; -8)$.

Для нахождения значения коэффициента $k$ в уравнении линейной функции $y = kx + 4$, мы должны подставить в него координаты точки, через которую проходит график функции. Координаты точки задаются в формате $(x; y)$.

а) График проходит через точку C(3; 5).
Подставляем значения $x=3$ и $y=5$ в уравнение функции:
$5 = k \cdot 3 + 4$
Теперь решаем полученное уравнение относительно $k$:
$3k = 5 - 4$
$3k = 1$
$k = \frac{1}{3}$
Ответ: $k = \frac{1}{3}$.

б) График проходит через точку D($\frac{1}{2}$; 1).
Подставляем значения $x=\frac{1}{2}$ и $y=1$ в уравнение функции:
$1 = k \cdot \frac{1}{2} + 4$
Решаем уравнение:
$\frac{1}{2}k = 1 - 4$
$\frac{1}{2}k = -3$
$k = -3 \cdot 2$
$k = -6$
Ответ: $k = -6$.

в) График проходит через точку E(-6; -8).
Подставляем значения $x=-6$ и $y=-8$ в уравнение функции:
$-8 = k \cdot (-6) + 4$
Решаем уравнение:
$-6k = -8 - 4$
$-6k = -12$
$k = \frac{-12}{-6}$
$k = 2$
Ответ: $k = 2$.

г) График проходит через точку F($\frac{1}{3}$; -8).
Подставляем значения $x=\frac{1}{3}$ и $y=-8$ в уравнение функции:
$-8 = k \cdot \frac{1}{3} + 4$
Решаем уравнение:
$\frac{1}{3}k = -8 - 4$
$\frac{1}{3}k = -12$
$k = -12 \cdot 3$
$k = -36$
Ответ: $k = -36$.

9.60 Пусть $A$ — наибольшее значение линейной функции $y = 2x - 3$ на отрезке $[0; 2]$, а $B$ — наибольшее значение линейной функции $y = 0.5x - 4$ на том же отрезке. Что больше: $A$ или $B$? Сделайте графическую иллюстрацию.

Для решения задачи необходимо найти наибольшие значения для каждой из двух линейных функций на заданном отрезке, а затем сравнить их.

1. Нахождение наибольшего значения A для функции $y = 2x - 3$

Рассмотрим линейную функцию $y = 2x - 3$. Ее угловой коэффициент $k = 2$. Поскольку $k > 0$, функция является возрастающей на всей числовой прямой. Следовательно, на отрезке $[0; 2]$ наибольшее значение функция принимает в его правом конце, то есть при $x = 2$.

Вычислим это значение:

$A = y(2) = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$.

2. Нахождение наибольшего значения B для функции $y = 0,5x - 4$

Рассмотрим вторую линейную функцию $y = 0,5x - 4$. Ее угловой коэффициент $k = 0,5$. Поскольку $k > 0$, эта функция также является возрастающей. Ее наибольшее значение на отрезке $[0; 2]$ также достигается при $x = 2$.

Вычислим это значение:

$B = y(2) = 0,5 \cdot 2 - 4 = 1 - 4 = -3$.

3. Сравнение A и B

Мы получили следующие значения: $A = 1$ и $B = -3$.

Сравнивая эти два числа, видим, что $1 > -3$.

Таким образом, $A$ больше, чем $B$.

Ответ: $A > B$.

4. Графическая иллюстрация

Для построения графиков найдем координаты конечных точек каждого отрезка на интервале $[0; 2]$.

Для функции $y = 2x - 3$:

При $x=0$, $y = 2(0) - 3 = -3$. Точка $(0; -3)$.

При $x=2$, $y = 2(2) - 3 = 1$. Точка $(2; 1)$.

Для функции $y = 0,5x - 4$:

При $x=0$, $y = 0,5(0) - 4 = -4$. Точка $(0; -4)$.

При $x=2$, $y = 0,5(2) - 4 = -3$. Точка $(2; -3)$.

Ниже представлена графическая иллюстрация, на которой показаны отрезки графиков обеих функций на интервале $x \in [0; 2]$.

9.61 Пусть C — наименьшее значение линейной функции $y = x - 4$ на луче $[0; +\infty)$, а D — наименьшее значение линейной функции $y = 4 - x$ на луче $(-\infty; 1]$. Что больше: C или D? Сделайте графическую иллюстрацию.

Нахождение C

Нам нужно найти наименьшее значение линейной функции $y = x - 4$ на луче $[0; +\infty)$. Угловой коэффициент этой функции $k = 1$. Поскольку $k > 0$, функция является возрастающей на всей числовой прямой. На луче $[0; +\infty)$ возрастающая функция принимает свое наименьшее значение в его начальной точке, то есть при наименьшем возможном значении аргумента $x$.

В данном случае наименьшее значение $x$ на луче $[0; +\infty)$ равно $0$. Подставим это значение в функцию, чтобы найти $C$:

$C = y(0) = 0 - 4 = -4$.

Ответ: $C = -4$.

Нахождение D

Теперь найдем наименьшее значение линейной функции $y = 4 - x$ на луче $(-\infty; 1]$. Угловой коэффициент этой функции $k = -1$. Поскольку $k < 0$, функция является убывающей на всей числовой прямой. На луче $(-\infty; 1]$ убывающая функция принимает свое наименьшее значение в его конечной точке, то есть при наибольшем возможном значении аргумента $x$.

В данном случае наибольшее значение $x$ на луче $(-\infty; 1]$ равно $1$. Подставим это значение в функцию, чтобы найти $D$:

$D = y(1) = 4 - 1 = 3$.

Ответ: $D = 3$.

Сравнение C и D

Мы получили значения $C = -4$ и $D = 3$. Сравним их:

$3 > -4$, следовательно, $D > C$.

Ответ: $D$ больше, чем $C$.

Графическая иллюстрация

Построим графики функций $y = x - 4$ (синий) на луче $[0; +\infty)$ и $y = 4 - x$ (красный) на луче $(-\infty; 1]$. Точки, соответствующие наименьшим значениям $C$ и $D$, отмечены на графике.

9.62 Определите знаки коэффициентов $k$ и $m$, если известно, что график линейной функции $y = kx + m$ проходит:

а) через первый, второй и третий координатные углы плоскости $xOy$;

б) через первый, второй и четвёртый координатные углы плоскости $xOy$;

в) через первый, третий и четвёртый координатные углы плоскости $xOy$;

г) через второй, третий и четвёртый координатные углы плоскости $xOy$.

Для решения задачи проанализируем, как знаки коэффициентов $k$ и $m$ в уравнении линейной функции $y = kx + m$ влияют на расположение ее графика на координатной плоскости.

• Коэффициент $m$ — это ордината точки пересечения графика с осью $Oy$. Если $m > 0$, точка пересечения находится выше оси $Ox$. Если $m < 0$ — ниже оси $Ox$.
• Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) определяет наклон прямой. Если $k > 0$, функция возрастает (график идет вверх слева направо). Если $k < 0$, функция убывает (график идет вниз слева направо).

а) через первый, второй и третий координатные углы плоскости xOy;

Если график проходит через первый (I) и второй (II) координатные углы, это означает, что существуют точки с положительной ординатой ($y>0$). Чтобы соединить эти два угла, прямая должна пересечь ось $Oy$ в точке с положительной ординатой. Следовательно, $m > 0$.

Если график проходит через первый (I: $x>0, y>0$) и третий (III: $x<0, y<0$) координатные углы, это означает, что с увеличением $x$ (при переходе из III в I) значение $y$ также увеличивается. Значит, функция является возрастающей, и ее угловой коэффициент положителен: $k > 0$.

Таким образом, для прохождения графика через I, II и III углы оба коэффициента должны быть положительными.

Ответ: $k > 0, m > 0$.

б) через первый, второй и четвёртый координатные углы плоскости xOy;

Аналогично пункту а), прохождение графика через первый (I) и второй (II) углы означает, что прямая пересекает ось $Oy$ в верхней полуплоскости. Следовательно, $m > 0$.

Если график проходит через второй (II: $x<0, y>0$) и четвёртый (IV: $x>0, y<0$) координатные углы, это означает, что с увеличением $x$ (при переходе из II в IV) значение $y$ уменьшается. Значит, функция является убывающей, и ее угловой коэффициент отрицателен: $k < 0$.

Таким образом, для прохождения графика через I, II и IV углы коэффициент $k$ должен быть отрицательным, а $m$ — положительным.

Ответ: $k < 0, m > 0$.

в) через первый, третий и четвёртый координатные углы плоскости xOy;

Если график проходит через третий (III) и четвёртый (IV) координатные углы, это означает, что существуют точки с отрицательной ординатой ($y<0$). Чтобы соединить эти два угла, прямая должна пересечь ось $Oy$ в точке с отрицательной ординатой. Следовательно, $m < 0$.

Как и в пункте а), прохождение через первый (I) и третий (III) углы означает, что функция возрастающая. Следовательно, $k > 0$.

Таким образом, для прохождения графика через I, III и IV углы коэффициент $k$ должен быть положительным, а $m$ — отрицательным.

Ответ: $k > 0, m < 0$.

г) через второй, третий и четвёртый координатные углы плоскости xOy.

Аналогично пункту в), прохождение графика через третий (III) и четвёртый (IV) углы означает, что прямая пересекает ось $Oy$ в нижней полуплоскости. Следовательно, $m < 0$.

Как и в пункте б), прохождение через второй (II) и четвёртый (IV) углы означает, что функция убывающая. Следовательно, $k < 0$.

Таким образом, для прохождения графика через II, III и IV углы оба коэффициента должны быть отрицательными.

Ответ: $k < 0, m < 0$.

9.63 Как расположен в координатной плоскости $xOy$ график линейной функции $y = kx + m$, если известно, что:

а) $k > 0, m = 0;$

б) $k < 0, m = 0;$

в) $k = 0, m \neq 0;$

г) $k = 0, m = 0?$

а) $k > 0, m = 0$;

Линейная функция задана уравнением $y = kx + m$. При $m = 0$ уравнение принимает вид $y = kx$. График такой функции, называемой прямой пропорциональностью, всегда проходит через начало координат — точку $(0, 0)$. Коэффициент $k$ определяет наклон прямой. Условие $k > 0$ означает, что функция является возрастающей. Это значит, что график образует острый угол с положительным направлением оси $Ox$ и располагается в I и III координатных четвертях (для $x > 0$ имеем $y > 0$; для $x < 0$ имеем $y < 0$).

Ответ: График — это прямая, проходящая через начало координат и расположенная в I и III координатных четвертях.

б) $k < 0, m = 0$;

При $m = 0$ уравнение функции также имеет вид $y = kx$, следовательно, график проходит через начало координат $(0, 0)$. Условие $k < 0$ означает, что функция является убывающей. График образует тупой угол с положительным направлением оси $Ox$ и располагается во II и IV координатных четвертях (для $x > 0$ имеем $y < 0$; для $x < 0$ имеем $y > 0$).

Ответ: График — это прямая, проходящая через начало координат и расположенная во II и IV координатных четвертях.

в) $k = 0, m \neq 0$;

При $k = 0$ уравнение функции принимает вид $y = 0 \cdot x + m$, то есть $y = m$. Это уравнение задает горизонтальную прямую, параллельную оси абсцисс ($Ox$), так как значение $y$ постоянно и равно $m$ для любого $x$. Прямая пересекает ось ординат ($Oy$) в точке $(0, m)$. Поскольку $m \neq 0$, эта прямая не совпадает с осью $Ox$.

Ответ: График — это прямая, параллельная оси $Ox$ и пересекающая ось $Oy$ в точке $(0, m)$.

г) $k = 0, m = 0$?

При $k = 0$ и $m = 0$ уравнение функции принимает вид $y = 0 \cdot x + 0$, то есть $y = 0$. Это уравнение оси абсцисс ($Ox$). Все точки графика имеют ординату (координату $y$), равную нулю. Следовательно, график функции полностью совпадает с осью $Ox$.

Ответ: График — это прямая, совпадающая с осью абсцисс ($Ox$).

9.64 Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения графиков линейных функций $y = 9x - 28$ и $y = 13x + 12$ параллельно:

а) оси абсцисс;

б) оси ординат.

Чтобы составить уравнения искомых прямых, в первую очередь необходимо найти их общую точку — точку пересечения графиков линейных функций $y = 9x - 28$ и $y = 13x + 12$. Для этого приравняем правые части уравнений, так как в точке пересечения их значения $x$ и $y$ совпадают.

$9x - 28 = 13x + 12$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:
$9x - 13x = 12 + 28$
$-4x = 40$
$x = \frac{40}{-4}$
$x = -10$

Найдем соответствующую координату $y$, подставив значение $x = -10$ в любое из исходных уравнений. Используем первое:
$y = 9(-10) - 28 = -90 - 28 = -118$

Таким образом, точка пересечения графиков имеет координаты $(-10; -118)$.

а) оси абсцисс;

Прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox), является горизонтальной прямой. Уравнение любой горизонтальной прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — это ордината каждой точки этой прямой. Так как искомая прямая должна проходить через точку $(-10; -118)$, ее ордината должна быть равна $-118$.
Ответ: $y = -118$.

б) оси ординат.

Прямая, параллельная оси ординат (оси Oy), является вертикальной прямой. Уравнение любой вертикальной прямой имеет вид $x = c$, где $c$ — это абсцисса каждой точки этой прямой. Так как искомая прямая должна проходить через точку $(-10; -118)$, ее абсцисса должна быть равна $-10$.
Ответ: $x = -10$.

9.65 Построив график линейной функции $y = 2x + 4$, решите неравенство:

а) $2x + 4 > 0$;

б) $2x + 4 < 4$;

в) $2x + 4 < 0$;

г) $2x + 4 > 2$.

Для решения неравенств сначала необходимо построить график линейной функции $y = 2x + 4$. Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

Найдем точки пересечения прямой с осями координат:

• При $x = 0$, значение функции $y = 2 \cdot 0 + 4 = 4$. Получаем точку пересечения с осью Oy: $(0, 4)$.
• При $y = 0$, получаем уравнение $0 = 2x + 4$, откуда $2x = -4$ и $x = -2$. Получаем точку пересечения с осью Ox: $(-2, 0)$.

Построим прямую, проходящую через точки $(-2, 0)$ и $(0, 4)$.

Теперь решим неравенства, используя построенный график.

а) $2x + 4 > 0$

Данное неравенство означает, что значение функции $y = 2x + 4$ должно быть больше нуля ($y > 0$). На графике это соответствует той части прямой, которая расположена выше оси абсцисс (оси Ox). Прямая пересекает ось Ox в точке $x = -2$. Из графика видно, что прямая находится выше оси Ox при всех значениях $x$, которые больше $-2$.

Ответ: $x > -2$ (или в виде интервала $x \in (-2; +\infty)$).

б) $2x + 4 < 4$

Данное неравенство означает, что значение функции $y = 2x + 4$ должно быть меньше 4 ($y < 4$). На графике это соответствует той части прямой $y=2x+4$, которая расположена ниже горизонтальной прямой $y=4$ (показана зеленым пунктиром). Эти прямые пересекаются в точке, где $x = 0$. График функции $y=2x+4$ находится ниже прямой $y=4$ при всех значениях $x$ левее точки их пересечения.

Ответ: $x < 0$ (или в виде интервала $x \in (-\infty; 0)$).

в) $2x + 4 < 0$

Данное неравенство означает, что значение функции $y = 2x + 4$ должно быть меньше нуля ($y < 0$). На графике это соответствует той части прямой, которая расположена ниже оси абсцисс (оси Ox). Прямая пересекает ось Ox в точке $x = -2$. Из графика видно, что прямая находится ниже оси Ox при всех значениях $x$, которые меньше $-2$.

Ответ: $x < -2$ (или в виде интервала $x \in (-\infty; -2)$).

г) $2x + 4 > 2$

Данное неравенство означает, что значение функции $y = 2x + 4$ должно быть больше 2 ($y > 2$). На графике это соответствует той части прямой $y=2x+4$, которая расположена выше горизонтальной прямой $y=2$ (показана красным пунктиром). Найдем точку их пересечения: $2x + 4 = 2$, что дает $2x = -2$, и $x = -1$. Из графика видно, что прямая $y=2x+4$ находится выше прямой $y=2$ при всех значениях $x$ правее точки их пересечения.

Ответ: $x > -1$ (или в виде интервала $x \in (-1; +\infty)$).