Страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Назовите коэффициенты линейной функции $y = kx + m$:

9.1

а) $y = 2x + 3$;

б) $y = x - 6$;

в) $y = 19x - 15$;

г) $y = -x + 11$.

Общий вид линейной функции: $y = kx + m$. В этом уравнении $k$ и $m$ — числовые коэффициенты. Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом, он стоит перед переменной $x$. Коэффициент $m$ называется свободным членом, это число, которое прибавляется или вычитается.

Для определения коэффициентов в каждом из заданий необходимо сопоставить данное уравнение с общим видом $y = kx + m$.

а) $y = 2x + 3$

Сравнивая с $y = kx + m$, видим, что множитель при $x$ — это 2, а свободный член — это 3. Следовательно, $k=2$ и $m=3$.
Ответ: $k=2$, $m=3$.

б) $y = x - 6$

Это уравнение можно переписать как $y = 1 \cdot x + (-6)$. Сравнивая с $y = kx + m$, видим, что коэффициент при $x$ равен 1, а свободный член равен -6. Следовательно, $k=1$ и $m=-6$.
Ответ: $k=1$, $m=-6$.

в) $y = 19x - 15$

Это уравнение можно переписать как $y = 19x + (-15)$. Сравнивая с $y = kx + m$, видим, что коэффициент при $x$ равен 19, а свободный член равен -15. Следовательно, $k=19$ и $m=-15$.
Ответ: $k=19$, $m=-15$.

г) $y = -x + 11$

Это уравнение можно переписать как $y = -1 \cdot x + 11$. Сравнивая с $y = kx + m$, видим, что коэффициент при $x$ равен -1, а свободный член равен 11. Следовательно, $k=-1$ и $m=11$.
Ответ: $k=-1$, $m=11$.

9.2 a) $y = 0.7x + 9.1;$

$y = \frac{1}{3}x + \frac{4}{5};$

$y = -5.7x - 3.5;$

$y = -\frac{8}{9}x - \frac{1}{3}.$

Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором значение функции $y$ равно нулю, необходимо в каждом уравнении подставить $y=0$ и решить его относительно $x$. Это эквивалентно нахождению точки пересечения графика функции с осью абсцисс (осью Ox).

а) $y = 0,7x + 9,1$

Приравниваем функцию к нулю:

$0,7x + 9,1 = 0$

Переносим свободный член в правую часть уравнения:

$0,7x = -9,1$

Находим $x$, разделив обе части на $0,7$:

$x = \frac{-9,1}{0,7} = -\frac{91}{7} = -13$

Ответ: $x = -13$.

б) $y = \frac{1}{3}x + \frac{4}{5}$

Приравниваем функцию к нулю:

$\frac{1}{3}x + \frac{4}{5} = 0$

Переносим свободный член в правую часть уравнения:

$\frac{1}{3}x = -\frac{4}{5}$

Находим $x$, умножив обе части на 3:

$x = -\frac{4}{5} \cdot 3 = -\frac{12}{5}$

Это значение можно также записать в виде десятичной дроби $-2,4$.

Ответ: $x = -\frac{12}{5}$.

в) $y = -5,7x - 3,5$

Приравниваем функцию к нулю:

$-5,7x - 3,5 = 0$

Переносим свободный член в правую часть уравнения:

$-5,7x = 3,5$

Находим $x$, разделив обе части на $-5,7$:

$x = \frac{3,5}{-5,7} = -\frac{3,5}{5,7} = -\frac{35}{57}$

Дробь является несократимой, так как числитель $35 = 5 \cdot 7$ и знаменатель $57 = 3 \cdot 19$ не имеют общих делителей.

Ответ: $x = -\frac{35}{57}$.

г) $y = -\frac{8}{9}x - \frac{1}{3}$

Приравниваем функцию к нулю:

$-\frac{8}{9}x - \frac{1}{3} = 0$

Переносим свободный член в правую часть уравнения:

$-\frac{8}{9}x = \frac{1}{3}$

Находим $x$, умножив обе части на число, обратное коэффициенту при $x$, то есть на $-\frac{9}{8}$:

$x = \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{9}{8}\right) = -\frac{9}{3 \cdot 8}$

Сокращаем дробь на 3:

$x = -\frac{3}{8}$

Ответ: $x = -\frac{3}{8}$.

9.3 а) $y = 2,5 - x;$

б) $y = -\frac{3}{4} + \frac{5}{7}x;$

В) $y = 0,2x;$

Г) $y = \frac{x}{6} + 1,6.$

Для каждой из данных функций, представленных в виде $y = f(x)$, необходимо определить угловой коэффициент $k$ и свободный член $b$ из стандартной формы линейной функции $y = kx + b$.

а) $y = 2,5 - x$

Чтобы найти коэффициенты $k$ и $b$, приведем данное уравнение к стандартному виду $y = kx + b$. Для этого поменяем местами слагаемые в правой части уравнения.

$y = -x + 2,5$

Это можно записать как:

$y = (-1) \cdot x + 2,5$

Теперь, сравнивая полученное уравнение с $y = kx + b$, мы можем определить, что угловой коэффициент $k$ (множитель при $x$) равен $-1$, а свободный член $b$ (константа) равен $2,5$.

Ответ: $k = -1$, $b = 2,5$.

б) $y = -\frac{3}{4} + \frac{5}{7}x$

Приведем уравнение к стандартному виду $y = kx + b$, поменяв слагаемые местами.

$y = \frac{5}{7}x - \frac{3}{4}$

Сравнивая это уравнение со стандартной формой, находим, что угловой коэффициент $k$ равен $\frac{5}{7}$, а свободный член $b$ равен $-\frac{3}{4}$.

Ответ: $k = \frac{5}{7}$, $b = -\frac{3}{4}$.

в) $y = 0,2x$

Это уравнение уже почти в стандартном виде. В данном случае свободный член $b$ отсутствует, что означает, что он равен нулю. Такую функцию называют прямой пропорциональностью.

Мы можем записать уравнение в полной форме:

$y = 0,2x + 0$

Сравнивая с $y = kx + b$, получаем, что угловой коэффициент $k = 0,2$, а свободный член $b = 0$.

Ответ: $k = 0,2$, $b = 0$.

г) $y = \frac{x}{6} + 1,6$

Уравнение уже имеет вид $y = kx + b$. Чтобы явно выделить коэффициент $k$, представим член $\frac{x}{6}$ в виде произведения.

$\frac{x}{6} = \frac{1}{6} \cdot x$

Таким образом, уравнение можно переписать как:

$y = \frac{1}{6}x + 1,6$

Сравнивая со стандартной формой, находим, что угловой коэффициент $k$ равен $\frac{1}{6}$, а свободный член $b$ равен $1,6$.

Ответ: $k = \frac{1}{6}$, $b = 1,6$.

Преобразуйте уравнение к виду линейной функции $y = kx + m$ и выпишите коэффициенты $k$ и $m$:

9.4

а) $y = \frac{15x - 7}{2}$;

б) $y = \frac{8x + 3}{4}$;

в) $y = \frac{19x - 11}{5}$;

г) $y = \frac{9x + 7}{5}$.

а)

Чтобы преобразовать уравнение $y = \frac{15x - 7}{2}$ к виду линейной функции $y = kx + m$, необходимо разделить каждый член числителя на знаменатель. Это называется почленным делением.

$y = \frac{15x}{2} - \frac{7}{2}$

Теперь представим дроби в виде десятичных чисел для удобства:

$y = 7.5x - 3.5$

Сравнивая полученное уравнение со стандартным видом $y = kx + m$, находим коэффициенты:

$k = 7.5$

$m = -3.5$

Ответ: $y = 7.5x - 3.5$; $k = 7.5$, $m = -3.5$.

б)

Преобразуем уравнение $y = \frac{8x + 3}{4}$. Разделим почленно числитель на знаменатель:

$y = \frac{8x}{4} + \frac{3}{4}$

Упростим выражение:

$y = 2x + 0.75$

Сравнивая с $y = kx + m$, определяем коэффициенты:

$k = 2$

$m = 0.75$

Ответ: $y = 2x + 0.75$; $k = 2$, $m = 0.75$.

в)

Преобразуем уравнение $y = \frac{19x - 11}{5}$. Выполним почленное деление:

$y = \frac{19x}{5} - \frac{11}{5}$

Переведем дроби в десятичные:

$y = 3.8x - 2.2$

Сравнивая с $y = kx + m$, находим коэффициенты:

$k = 3.8$

$m = -2.2$

Ответ: $y = 3.8x - 2.2$; $k = 3.8$, $m = -2.2$.

г)

Преобразуем уравнение $y = \frac{9x + 7}{5}$. Разделим числитель на знаменатель почленно:

$y = \frac{9x}{5} + \frac{7}{5}$

Представим дроби в виде десятичных чисел:

$y = 1.8x + 1.4$

Сравнивая с $y = kx + m$, находим коэффициенты:

$k = 1.8$

$m = 1.4$

Ответ: $y = 1.8x + 1.4$; $k = 1.8$, $m = 1.4$.

Преобразуйте уравнение к виду линейной функции $y = kx + m$ и выпишите коэффициенты $k$ и $m$:

9.5 a) $y = \frac{5 - 3x}{4}$;

9.5 в) $y = \frac{12 + 7x}{5}$;

9.5 б) $y = \frac{6 + x}{3}$;

9.5 г) $y = \frac{-16 - 4x}{8}$.

а) Чтобы преобразовать уравнение $y = \frac{5 - 3x}{4}$ к виду линейной функции $y = kx + m$, необходимо разделить каждый член числителя на знаменатель.

$y = \frac{5}{4} - \frac{3x}{4}$

Теперь переставим слагаемые, чтобы получить стандартный вид:

$y = -\frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$

Сравнивая это уравнение с $y = kx + m$, мы видим, что коэффициент при $x$ равен $k$, а свободный член равен $m$.

Ответ: $k = -\frac{3}{4}$, $m = \frac{5}{4}$.

б) Рассмотрим уравнение $y = \frac{6 + x}{3}$.

Разделим числитель почленно на знаменатель:

$y = \frac{6}{3} + \frac{x}{3}$

Упростим и запишем в стандартном виде $y = kx + m$:

$y = 2 + \frac{1}{3}x \implies y = \frac{1}{3}x + 2$

Отсюда находим коэффициенты $k$ и $m$.

Ответ: $k = \frac{1}{3}$, $m = 2$.

в) Исходное уравнение: $y = \frac{12 + 7x}{5}$.

Разделим каждый член числителя на 5:

$y = \frac{12}{5} + \frac{7x}{5}$

Приведем к виду $y = kx + m$:

$y = \frac{7}{5}x + \frac{12}{5}$

Следовательно, коэффициенты равны:

Ответ: $k = \frac{7}{5}$, $m = \frac{12}{5}$.

г) Дано уравнение $y = \frac{-16 - 4x}{8}$.

Разделим числитель почленно на знаменатель 8:

$y = \frac{-16}{8} - \frac{4x}{8}$

Упростим полученные дроби:

$y = -2 - \frac{1}{2}x$

Запишем в стандартном виде $y = kx + m$:

$y = -\frac{1}{2}x - 2$

Определяем коэффициенты $k$ и $m$.

Ответ: $k = -\frac{1}{2}$, $m = -2$.

Установите, задаёт ли уравнение линейную функцию:

9.6 a) $y = x^2 + 5$;

б) $y = \frac{5}{x} + 2$;

в) $y = \frac{x}{5} + 2$;

г) $y = (x - 5)^2$.

Для того чтобы определить, задает ли уравнение линейную функцию, необходимо проверить, можно ли его привести к виду $y = kx + b$, где $k$ и $b$ – некоторые числа. В этом уравнении переменная $x$ должна быть в первой степени.

а) $y = x^2 + 5$

Данное уравнение содержит переменную $x$ во второй степени ($x^2$). Уравнение вида $y = ax^2 + bx + c$ задает квадратичную функцию, а не линейную. Графиком такой функции является парабола.

Ответ: не задает линейную функцию.

б) $y = \frac{5}{x} + 2$

В этом уравнении переменная $x$ находится в знаменателе. Такую зависимость можно записать как $y = 5x^{-1} + 2$. В линейной функции переменная $x$ должна быть в первой степени. Данное уравнение задает функцию обратной пропорциональности, графиком которой является гипербола.

Ответ: не задает линейную функцию.

в) $y = \frac{x}{5} + 2$

Это уравнение можно преобразовать к стандартному виду линейной функции $y = kx + b$. Запишем его как $y = \frac{1}{5}x + 2$. В данном случае угловой коэффициент $k = \frac{1}{5}$, а свободный член $b = 2$. Поскольку уравнение соответствует требуемому виду, оно задает линейную функцию.

Ответ: задает линейную функцию.

г) $y = (x - 5)^2$

Для анализа раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$y = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$

Полученное уравнение содержит переменную $x$ во второй степени ($x^2$), следовательно, оно не является линейным. Это уравнение задает квадратичную функцию.

Ответ: не задает линейную функцию.

Установите, задаёт ли уравнение линейную функцию:

9.7 а) $y = \frac{x+3}{3}$;

б) $y = \frac{2}{3x} - 1$;

в) $y = \frac{6-4x}{8}$;

г) $y = \frac{2}{x+3}$.

Для того чтобы определить, задает ли уравнение линейную функцию, необходимо проверить, можно ли его привести к виду $y = kx + b$, где $k$ и $b$ – некоторые числа (коэффициенты), а $x$ – переменная в первой степени, не находящаяся в знаменателе.

а) $y = \frac{x+3}{3}$

Преобразуем данное уравнение. Разделим почленно числитель дроби на знаменатель:

$y = \frac{x}{3} + \frac{3}{3}$

Упростив, получаем:

$y = \frac{1}{3}x + 1$

Это уравнение соответствует виду $y = kx + b$, где $k = \frac{1}{3}$ и $b = 1$. Следовательно, данное уравнение задает линейную функцию.

Ответ: да, задает.

б) $y = \frac{2}{3x} - 1$

В этом уравнении переменная $x$ находится в знаменателе дроби. Уравнение можно переписать как $y = \frac{2}{3} \cdot x^{-1} - 1$. В линейной функции переменная $x$ должна быть в первой степени. Поскольку здесь степень $x$ равна -1, данная функция не является линейной. Это функция обратной пропорциональности.

Ответ: нет, не задает.

в) $y = \frac{6-4x}{8}$

Преобразуем данное уравнение, разделив почленно числитель на знаменатель:

$y = \frac{6}{8} - \frac{4x}{8}$

Сократим дроби:

$y = \frac{3}{4} - \frac{1}{2}x$

Для приведения к стандартному виду $y = kx + b$ поменяем слагаемые местами:

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{4}$

Это уравнение соответствует виду $y = kx + b$, где $k = -\frac{1}{2}$ и $b = \frac{3}{4}$. Следовательно, данное уравнение задает линейную функцию.

Ответ: да, задает.

г) $y = \frac{2}{x+3}$

В данном уравнении переменная $x$ находится в знаменателе. Уравнение такого вида невозможно привести к стандартному виду линейной функции $y = kx + b$. Если умножить обе части на $x+3$, мы получим $y(x+3) = 2$, или $yx + 3y = 2$, что не является уравнением линейной функции. Функция, где переменная находится в знаменателе, является рациональной (ее график - гипербола), но не линейной.

Ответ: нет, не задает.