Страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

8.24 а) $3t - 2z + 6 = 0;$
б) $7s + 9t - 63 = 0;$
в) $11u + 2v + 22 = 0;$
г) $25r - 4w - 100 = 0.$

а)

Дано исходное уравнение: $3t - 2z + 6 = 0$.

Цель — привести его к уравнению в отрезках, которое имеет вид $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$. Для этого выполним следующие действия:

1. Перенесём свободный член (константу) в правую часть уравнения, изменив его знак:

$3t - 2z = -6$

2. Разделим обе части уравнения на число в правой части, то есть на -6, чтобы справа получилась единица:

$\frac{3t}{-6} - \frac{2z}{-6} = \frac{-6}{-6}$

3. Упростим полученные дроби, разделив числитель и знаменатель на общий множитель:

$\frac{t}{-2} - \frac{z}{-3} = 1$

4. Запишем уравнение в стандартной форме с плюсом:

$\frac{t}{-2} + \frac{z}{3} = 1$

Это уравнение в отрезках, где отрезок, отсекаемый на оси $t$, равен -2, а на оси $z$ — 3.

Ответ: $\frac{t}{-2} + \frac{z}{3} = 1$.

б)

Дано исходное уравнение: $7s + 9t - 63 = 0$.

Приведём его к уравнению в отрезках:

1. Перенесём свободный член в правую часть:

$7s + 9t = 63$

2. Разделим обе части уравнения на 63:

$\frac{7s}{63} + \frac{9t}{63} = \frac{63}{63}$

3. Упростим дроби:

$\frac{s}{9} + \frac{t}{7} = 1$

Это уравнение в отрезках. Отрезок, отсекаемый на оси $s$, равен 9, а на оси $t$ — 7.

Ответ: $\frac{s}{9} + \frac{t}{7} = 1$.

в)

Дано исходное уравнение: $11u + 2v + 22 = 0$.

Приведём его к уравнению в отрезках:

1. Перенесём свободный член в правую часть:

$11u + 2v = -22$

2. Разделим обе части уравнения на -22:

$\frac{11u}{-22} + \frac{2v}{-22} = \frac{-22}{-22}$

3. Упростим дроби:

$\frac{u}{-2} + \frac{v}{-11} = 1$

Это уравнение в отрезках. Отрезок, отсекаемый на оси $u$, равен -2, а на оси $v$ — -11.

Ответ: $\frac{u}{-2} + \frac{v}{-11} = 1$.

г)

Дано исходное уравнение: $25r - 4w - 100 = 0$.

Приведём его к уравнению в отрезках:

1. Перенесём свободный член в правую часть:

$25r - 4w = 100$

2. Разделим обе части уравнения на 100:

$\frac{25r}{100} - \frac{4w}{100} = \frac{100}{100}$

3. Упростим дроби:

$\frac{r}{4} - \frac{w}{25} = 1$

4. Запишем уравнение в стандартной форме с плюсом:

$\frac{r}{4} + \frac{w}{-25} = 1$

Это уравнение в отрезках. Отрезок, отсекаемый на оси $r$, равен 4, а на оси $w$ — -25.

Ответ: $\frac{r}{4} + \frac{w}{-25} = 1$.

8.25 Среди решений уравнения $x + 3y - 20 = 0$ найдите такую пару, которая состоит:

а) из двух одинаковых чисел;

б) из двух таких чисел, одно из которых в 2 раза больше другого.

а) из двух одинаковых чисел;
Дано уравнение $x + 3y - 20 = 0$. Если пара решений состоит из двух одинаковых чисел, это означает, что $x = y$. Подставим это условие в исходное уравнение, заменив $y$ на $x$:
$x + 3x - 20 = 0$
$4x - 20 = 0$
$4x = 20$
$x = \frac{20}{4}$
$x = 5$
Поскольку $x = y$, то $y$ также равен 5. Таким образом, искомая пара — это $(5, 5)$.
Проверка: $5 + 3 \cdot 5 - 20 = 5 + 15 - 20 = 0$.
Ответ: $(5, 5)$.

б) из двух таких чисел, одно из которых в 2 раза больше другого.
Это условие означает, что либо $x$ в 2 раза больше $y$ ($x = 2y$), либо $y$ в 2 раза больше $x$ ($y = 2x$). Рассмотрим оба варианта.

Случай 1: $x = 2y$
Подставим $x = 2y$ в исходное уравнение:
$(2y) + 3y - 20 = 0$
$5y - 20 = 0$
$5y = 20$
$y = \frac{20}{5}$
$y = 4$
Теперь найдем соответствующее значение $x$:
$x = 2y = 2 \cdot 4 = 8$
Первая такая пара — $(8, 4)$.
Проверка: $8 + 3 \cdot 4 - 20 = 8 + 12 - 20 = 0$.

Случай 2: $y = 2x$
Подставим $y = 2x$ в исходное уравнение:
$x + 3(2x) - 20 = 0$
$x + 6x - 20 = 0$
$7x - 20 = 0$
$7x = 20$
$x = \frac{20}{7}$
Теперь найдем соответствующее значение $y$:
$y = 2x = 2 \cdot \frac{20}{7} = \frac{40}{7}$
Вторая такая пара — $(\frac{20}{7}, \frac{40}{7})$.
Проверка: $\frac{20}{7} + 3 \cdot (\frac{40}{7}) - 20 = \frac{20}{7} + \frac{120}{7} - 20 = \frac{140}{7} - 20 = 20 - 20 = 0$.
Ответ: $(8, 4)$ и $(\frac{20}{7}, \frac{40}{7})$.

8.26 Найдите значение коэффициента $a$ в уравнении $ax + 5y - 40 = 0$, если известно, что решением уравнения является пара чисел:

а) $(3; 2)$;

б) $(9; -1)$;

в) $(\frac{1}{3}; 0)$;

г) $(-2; 2,4)$.

Чтобы найти значение коэффициента $a$, необходимо подставить в уравнение $ax + 5y - 40 = 0$ соответствующие значения $x$ и $y$ из каждой предложенной пары чисел и решить полученное линейное уравнение относительно $a$.

а) Для пары чисел $(3; 2)$, где $x=3$ и $y=2$.
Подставляем значения в уравнение:
$a \cdot 3 + 5 \cdot 2 - 40 = 0$
$3a + 10 - 40 = 0$
$3a - 30 = 0$
$3a = 30$
$a = \frac{30}{3}$
$a = 10$
Ответ: $a = 10$.

б) Для пары чисел $(9; -1)$, где $x=9$ и $y=-1$.
Подставляем значения в уравнение:
$a \cdot 9 + 5 \cdot (-1) - 40 = 0$
$9a - 5 - 40 = 0$
$9a - 45 = 0$
$9a = 45$
$a = \frac{45}{9}$
$a = 5$
Ответ: $a = 5$.

в) Для пары чисел $(\frac{1}{3}; 0)$, где $x=\frac{1}{3}$ и $y=0$.
Подставляем значения в уравнение:
$a \cdot \frac{1}{3} + 5 \cdot 0 - 40 = 0$
$\frac{1}{3}a + 0 - 40 = 0$
$\frac{1}{3}a = 40$
$a = 40 \cdot 3$
$a = 120$
Ответ: $a = 120$.

г) Для пары чисел $(-2; 2,4)$, где $x=-2$ и $y=2,4$.
Подставляем значения в уравнение:
$a \cdot (-2) + 5 \cdot 2,4 - 40 = 0$
$-2a + 12 - 40 = 0$
$-2a - 28 = 0$
$-2a = 28$
$a = \frac{28}{-2}$
$a = -14$
Ответ: $a = -14$.

8.27 Найдите значение коэффициента $b$ в уравнении $6x + by - 35 = 0$,

если известно, что решением уравнения является пара чисел:

а) (0; 1);

б) (3; 8,5);

в) ($\frac{1}{3}$; 11);

г) (-5; -13).

Для того чтобы найти значение коэффициента $b$, необходимо подставить в исходное уравнение $6x + by - 35 = 0$ координаты $x$ и $y$ из каждой предложенной пары чисел. Затем нужно решить полученное линейное уравнение относительно переменной $b$.

а) Дана пара чисел $(0; 1)$, следовательно $x = 0$, $y = 1$.
Подставляем эти значения в уравнение:
$6 \cdot 0 + b \cdot 1 - 35 = 0$
$0 + b - 35 = 0$
$b = 35$
Ответ: $35$.

б) Дана пара чисел $(3; 8,5)$, следовательно $x = 3$, $y = 8,5$.
Подставляем эти значения в уравнение:
$6 \cdot 3 + b \cdot 8,5 - 35 = 0$
$18 + 8,5b - 35 = 0$
$8,5b - 17 = 0$
$8,5b = 17$
$b = \frac{17}{8,5}$
$b = 2$
Ответ: $2$.

в) Дана пара чисел $(\frac{1}{3}; 11)$, следовательно $x = \frac{1}{3}$, $y = 11$.
Подставляем эти значения в уравнение:
$6 \cdot \frac{1}{3} + b \cdot 11 - 35 = 0$
$2 + 11b - 35 = 0$
$11b - 33 = 0$
$11b = 33$
$b = \frac{33}{11}$
$b = 3$
Ответ: $3$.

г) Дана пара чисел $(-5; -13)$, следовательно $x = -5$, $y = -13$.
Подставляем эти значения в уравнение:
$6 \cdot (-5) + b \cdot (-13) - 35 = 0$
$-30 - 13b - 35 = 0$
$-13b - 65 = 0$
$-13b = 65$
$b = \frac{65}{-13}$
$b = -5$
Ответ: $-5$.

8.28 Найдите значение коэффициента c в уравнении $8x + 3y - c = 0$, если известно, что решением уравнения является пара чисел:

a) (2; -1);

б) $(3\frac{1}{8}; -4\frac{1}{3});$

в) $(0,125; -\frac{2}{3});$

г) (0; 0).

Для того чтобы найти значение коэффициента $c$, нужно подставить значения переменных $x$ и $y$ из каждой пары чисел в исходное уравнение $8x + 3y - c = 0$ и решить полученное уравнение относительно $c$.

а)

Подставляем в уравнение пару чисел $(2; -1)$, где $x = 2$ и $y = -1$:

$8 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) - c = 0$

$16 - 3 - c = 0$

$13 - c = 0$

$c = 13$

Ответ: $13$.

б)

Подставляем в уравнение пару чисел $(3\frac{1}{8}; -4\frac{1}{3})$. Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$x = 3\frac{1}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{25}{8}$

$y = -4\frac{1}{3} = -\frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{13}{3}$

Теперь подставляем значения $x$ и $y$ в уравнение:

$8 \cdot \frac{25}{8} + 3 \cdot (-\frac{13}{3}) - c = 0$

$25 - 13 - c = 0$

$12 - c = 0$

$c = 12$

Ответ: $12$.

в)

Подставляем в уравнение пару чисел $(0,125; -\frac{2}{3})$. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:

$x = 0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$

Подставляем значения $x$ и $y$ в уравнение:

$8 \cdot \frac{1}{8} + 3 \cdot (-\frac{2}{3}) - c = 0$

$1 - 2 - c = 0$

$-1 - c = 0$

$c = -1$

Ответ: $-1$.

г)

Подставляем в уравнение пару чисел $(0; 0)$, где $x = 0$ и $y = 0$:

$8 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - c = 0$

$0 + 0 - c = 0$

$-c = 0$

$c = 0$

Ответ: $0$.

8.29 При каком значении $m$ решением уравнения $mx + 4y - 12m = 0$ является пара чисел:

а) $(0; 3);$

б) $(2; \frac{1}{2});$

в) $(12; 0);$

г) $(-1; 3\frac{1}{4})?$

Для того чтобы найти значение m, при котором заданная пара чисел является решением уравнения, необходимо подставить значения x и y из этой пары в уравнение $mx + 4y - 12m = 0$ и решить полученное уравнение относительно m.

а)

Подставим в уравнение координаты пары чисел $(0; 3)$, где $x=0$ и $y=3$:

$m \cdot 0 + 4 \cdot 3 - 12m = 0$

Выполним вычисления:

$12 - 12m = 0$

Перенесем слагаемое, содержащее m, в правую часть:

$12 = 12m$

Найдем m:

$m = \frac{12}{12} = 1$

Ответ: $1$.

б)

Подставим в уравнение координаты пары чисел $(2; \frac{1}{2})$, где $x=2$ и $y=\frac{1}{2}$:

$m \cdot 2 + 4 \cdot \frac{1}{2} - 12m = 0$

Выполним вычисления:

$2m + 2 - 12m = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$2 - 10m = 0$

Решим уравнение относительно m:

$10m = 2$

$m = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$.

в)

Подставим в уравнение координаты пары чисел $(12; 0)$, где $x=12$ и $y=0$:

$m \cdot 12 + 4 \cdot 0 - 12m = 0$

Выполним вычисления:

$12m + 0 - 12m = 0$

$0 = 0$

Мы получили верное равенство, которое не зависит от значения m. Это означает, что пара чисел $(12; 0)$ является решением уравнения при любом значении m.

Ответ: при любом значении m.

г)

Подставим в уравнение координаты пары чисел $(-1; 3\frac{1}{4})$. Сначала представим смешанную дробь в виде неправильной: $3\frac{1}{4} = \frac{13}{4}$. Итак, $x=-1$ и $y=\frac{13}{4}$:

$m \cdot (-1) + 4 \cdot \frac{13}{4} - 12m = 0$

Выполним вычисления:

$-m + 13 - 12m = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$13 - 13m = 0$

Решим уравнение относительно m:

$13m = 13$

$m = \frac{13}{13} = 1$

Ответ: $1$.

Решите задачу, использовав для составления математической модели две переменные и построив затем графики соответствующих линейных уравнений:

8.30 Сумма двух чисел равна 5, а разность равна 1. Найдите эти числа.

Составление математической модели

Пусть первое искомое число — $x$, а второе — $y$.

Согласно условию задачи, сумма этих двух чисел равна 5. Это можно записать в виде первого линейного уравнения: $x + y = 5$.

Также из условия известно, что разность этих чисел равна 1. Предположим, что $x$ — большее число, тогда второе уравнение будет выглядеть так: $x - y = 1$.

Таким образом, мы составили математическую модель задачи в виде системы двух линейных уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $$

Построение графиков и нахождение решения

Для решения задачи графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения в одной прямоугольной системе координат. Решением системы будет являться точка пересечения этих графиков.

Для построения графиков выразим переменную $y$ через $x$ в каждом уравнении, чтобы получить уравнения линейных функций:

Из первого уравнения $x + y = 5$ получаем: $y = 5 - x$.

Из второго уравнения $x - y = 1$ получаем: $y = x - 1$.

Теперь построим графики этих двух функций. Каждый график — это прямая, для построения которой достаточно найти координаты двух любых точек.

Для прямой $y = 5 - x$:
- если $x = 0$, то $y = 5 - 0 = 5$. Точка $(0; 5)$.
- если $x = 2$, то $y = 5 - 2 = 3$. Точка $(2; 3)$.

Для прямой $y = x - 1$:
- если $x = 0$, то $y = 0 - 1 = -1$. Точка $(0; -1)$.
- если $x = 4$, то $y = 4 - 1 = 3$. Точка $(4; 3)$.

Построив обе прямые на координатной плоскости по найденным точкам, мы видим, что они пересекаются. Координаты точки пересечения и есть решение нашей системы.

Точка пересечения графиков имеет координаты $(3; 2)$.

Следовательно, решением системы являются значения $x = 3$ и $y = 2$.

Проверка:
Подставим найденные значения в исходные условия.
Сумма чисел: $3 + 2 = 5$. (Верно)
Разность чисел: $3 - 2 = 1$. (Верно)

Таким образом, искомые числа — это 3 и 2.

Ответ: 3 и 2.