Страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Найдите наименьшее и наибольшее значения линейной функции на заданном промежутке:

9.45 а) $y = x + 3$, $[-2; -1];$

б) $y = -x + 5$, $[-1; 4];$

в) $y = x + 3$, $[-3; -1];$

г) $y = -x + 5$, $[2; 5].$

а) $y = x + 3$, $[-2; -1]$

Данная функция является линейной ($y = kx + b$) с угловым коэффициентом $k = 1$. Поскольку $k > 0$, функция возрастает на всей числовой прямой. Следовательно, на заданном отрезке наименьшее значение будет в его левой точке, а наибольшее — в правой.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-2) = -2 + 3 = 1$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-1) = -1 + 3 = 2$.

Ответ: $y_{наим} = 1$, $y_{наиб} = 2$.

б) $y = -x + 5$, $[-1; 4]$

Данная функция является линейной с угловым коэффициентом $k = -1$. Поскольку $k < 0$, функция убывает на всей числовой прямой. Следовательно, на заданном отрезке наибольшее значение будет в его левой точке, а наименьшее — в правой.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-1) = -(-1) + 5 = 1 + 5 = 6$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(4) = -4 + 5 = 1$.

Ответ: $y_{наим} = 1$, $y_{наиб} = 6$.

в) $y = x + 3$, $[-3; -1]$

Угловой коэффициент функции $k = 1$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей. Наименьшее значение будет на левом конце промежутка, а наибольшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-3) = -3 + 3 = 0$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-1) = -1 + 3 = 2$.

Ответ: $y_{наим} = 0$, $y_{наиб} = 2$.

г) $y = -x + 5$, $[2; 5]$

Угловой коэффициент функции $k = -1$. Так как $k < 0$, функция является убывающей. Наибольшее значение будет на левом конце промежутка, а наименьшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = -2 + 5 = 3$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(5) = -5 + 5 = 0$.

Ответ: $y_{наим} = 0$, $y_{наиб} = 3$.

9.46 a) $y = 4x - 1$, $[-1; 2];$

б) $y = -2x + 5$, $[0; 4];$

В) $y = 3x - 2$, $[-1; 1];$

Г) $y = -5x + 7$, $[0; 2].$

а) $y = 4x - 1, [-1; 2]$

Данная функция является линейной. Ее график — прямая. Угловой коэффициент $k = 4$.

Поскольку $k > 0$, функция является возрастающей на всей своей области определения, включая заданный отрезок $[-1; 2]$.

Это означает, что наименьшее значение функция принимает в левой крайней точке отрезка, а наибольшее — в правой.

Найдем значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение (при $x = -1$): $y_{min} = 4 \cdot (-1) - 1 = -4 - 1 = -5$.

Наибольшее значение (при $x = 2$): $y_{max} = 4 \cdot 2 - 1 = 8 - 1 = 7$.

Множеством значений функции на отрезке $[-1; 2]$ является отрезок от наименьшего значения до наибольшего.

Ответ: $[-5; 7]$.

б) $y = -2x + 5, [0; 4]$

Данная функция является линейной с угловым коэффициентом $k = -2$.

Поскольку $k < 0$, функция является убывающей на всей своей области определения, включая заданный отрезок $[0; 4]$.

Это означает, что наибольшее значение функция принимает в левой крайней точке отрезка, а наименьшее — в правой.

Найдем значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение (при $x = 0$): $y_{max} = -2 \cdot 0 + 5 = 0 + 5 = 5$.

Наименьшее значение (при $x = 4$): $y_{min} = -2 \cdot 4 + 5 = -8 + 5 = -3$.

Множеством значений функции на отрезке $[0; 4]$ является отрезок от наименьшего значения до наибольшего.

Ответ: $[-3; 5]$.

в) $y = 3x - 2, [-1; 1]$

Данная функция является линейной с угловым коэффициентом $k = 3$.

Поскольку $k > 0$, функция является возрастающей на заданном отрезке $[-1; 1]$.

Наименьшее значение функция принимает в левой крайней точке отрезка, а наибольшее — в правой.

Найдем значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение (при $x = -1$): $y_{min} = 3 \cdot (-1) - 2 = -3 - 2 = -5$.

Наибольшее значение (при $x = 1$): $y_{max} = 3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1$.

Множество значений функции на отрезке $[-1; 1]$ — это отрезок $[-5; 1]$.

Ответ: $[-5; 1]$.

г) $y = -5x + 7, [0; 2]$

Данная функция является линейной с угловым коэффициентом $k = -5$.

Поскольку $k < 0$, функция является убывающей на заданном отрезке $[0; 2]$.

Наибольшее значение функция принимает в левой крайней точке отрезка, а наименьшее — в правой.

Найдем значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение (при $x = 0$): $y_{max} = -5 \cdot 0 + 7 = 0 + 7 = 7$.

Наименьшее значение (при $x = 2$): $y_{min} = -5 \cdot 2 + 7 = -10 + 7 = -3$.

Множество значений функции на отрезке $[0; 2]$ — это отрезок $[-3; 7]$.

Ответ: $[-3; 7]$.

9.47 Постройте график линейной функции $y = 3x - 9$ и с его помощью найдите:

а) координаты точки пересечения графика с осью абсцисс;

б) все значения аргумента, при которых выполняется неравенство $y < 0$;

в) решение неравенства $3x - 9 > 0$;

г) значения $x$, при которых выполняется неравенство $y > -9$.

Для построения графика линейной функции $y = 3x - 9$, которая представляет собой прямую линию, достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой. Удобнее всего найти точки пересечения с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью OY). Для этого примем $x = 0$:
$y = 3 \cdot 0 - 9 = -9$.
Получили точку A с координатами $(0; -9)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью OX). Для этого примем $y = 0$:
$0 = 3x - 9$
$3x = 9$
$x = 3$.
Получили точку B с координатами $(3; 0)$.

Теперь построим в системе координат прямую, проходящую через точки A(0; -9) и B(3; 0). Это и будет график функции $y = 3x - 9$.

Используя построенный график, ответим на вопросы задачи.

а) координаты точки пересечения графика с осью абсцисс;
Точка пересечения графика с осью абсцисс — это точка, у которой ордината $y$ равна нулю. Мы уже нашли эту точку при построении графика. Из графика видно, что прямая пересекает ось OX в точке, где $x = 3$.
Ответ: $(3; 0)$.

б) все значения аргумента, при которых выполняется неравенство $y < 0$;
Неравенство $y < 0$ означает, что значения функции отрицательны. На графике этому соответствует та часть прямой, которая расположена ниже оси абсцисс (оси OX). Глядя на график, мы видим, что это происходит для всех значений $x$, которые находятся левее точки пересечения с осью OX, то есть левее $x = 3$.
Ответ: $x < 3$, или $x \in (-\infty; 3)$.

в) решение неравенства $3x - 9 > 0$;
Так как $y = 3x - 9$, то неравенство $3x - 9 > 0$ эквивалентно неравенству $y > 0$. Это означает, что значения функции положительны. На графике этому соответствует та часть прямой, которая расположена выше оси абсцисс (оси OX). Это происходит для всех значений $x$, которые находятся правее точки пересечения с осью OX, то есть правее $x = 3$.
Ответ: $x > 3$, или $x \in (3; +\infty)$.

г) значения x, при которых выполняется неравенство $y > -9$.
Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y = 3x - 9$ находится выше горизонтальной прямой $y = -9$. Из построения мы знаем, что график проходит через точку $(0; -9)$. Поскольку функция возрастающая (угловой коэффициент $k=3 > 0$), значения $y$ будут больше $-9$ для всех значений $x$, которые больше абсциссы этой точки, то есть больше 0.
Ответ: $x > 0$, или $x \in (0; +\infty)$.

9.48 Постройте график линейной функции $y = -2x + 6$ и с его помощью найдите:

а) координаты точки пересечения графика с осью абсцисс;

б) все значения аргумента, при которых выполняется неравенство $y > 0$;

в) решение неравенства $-2x + 6 < 0$;

г) значения $x$, при которых выполняется неравенство $y > 6$.

Для построения графика линейной функции $y = -2x + 6$ достаточно найти координаты двух точек, так как ее график — это прямая линия.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью $y$). Для этого примем $x = 0$:
$y = -2 \cdot 0 + 6 = 6$
Получаем точку $(0, 6)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью $x$). Для этого примем $y = 0$:
$0 = -2x + 6$
$2x = 6$
$x = 3$
Получаем точку $(3, 0)$.

Теперь мы можем построить прямую, проходящую через эти две точки: $(0, 6)$ и $(3, 0)$. График представляет собой убывающую прямую, пересекающую ось $y$ в точке 6 и ось $x$ в точке 3. Используя этот график, найдем ответы на вопросы.

а) координаты точки пересечения графика с осью абсцисс

Точка пересечения с осью абсцисс — это точка, в которой значение функции $y$ равно нулю. Мы уже нашли эту точку при построении графика.
$y = 0 \implies -2x + 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3$.
Координаты точки пересечения: $(3, 0)$.

Ответ: $(3, 0)$.

б) все значения аргумента, при которых выполняется неравенство $y > 0$

Неравенство $y > 0$ означает, что график функции находится выше оси абсцисс ($x$). Глядя на график, мы видим, что прямая расположена выше оси $x$ для всех значений $x$, которые находятся левее точки пересечения с этой осью, то есть левее $x = 3$.
Следовательно, $y > 0$ при $x < 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

в) решение неравенства $-2x + 6 < 0$

Это неравенство эквивалентно неравенству $y < 0$. Оно выполняется для тех значений $x$, при которых график функции расположен ниже оси абсцисс. Это происходит правее точки пересечения с осью $x$, то есть при $x > 3$.
Алгебраическое решение:
$-2x + 6 < 0$
$-2x < -6$
Делим обе части на -2 и меняем знак неравенства на противоположный:
$x > 3$

Ответ: $x \in (3; \infty)$.

г) значения x, при которых выполняется неравенство $y > 6$

Нам нужно найти значения $x$, для которых $-2x + 6 > 6$.
На графике это соответствует части прямой, которая находится выше горизонтальной линии $y = 6$. Мы знаем, что график проходит через точку $(0, 6)$. Поскольку прямая убывающая, значения $y$ будут больше 6 для всех $x$, которые находятся левее $x = 0$.
Решим неравенство алгебраически:
$-2x + 6 > 6$
$-2x > 6 - 6$
$-2x > 0$
Делим обе части на -2 и меняем знак неравенства:
$x < 0$

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

9.49 Постройте график линейной функции $y = x + 5$ и с его помощью найдите:

а) координаты точек пересечения графика с осями координат;

б) все значения аргумента, при которых выполняется неравенство $y < 0$;

в) отрезок оси $x$, на котором выполняется неравенство $0 \le y \le 5$;

г) наименьшее и наибольшее значения линейной функции на отрезке $[-4; 1]$.

Для построения графика линейной функции $y = x + 5$ достаточно найти две точки, принадлежащие этому графику, и провести через них прямую.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью $Oy$). Для этого подставим $x = 0$ в уравнение функции:
$y = 0 + 5 = 5$.
Получили точку $(0; 5)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью $Ox$). Для этого подставим $y = 0$ в уравнение функции:
$0 = x + 5$
$x = -5$.
Получили точку $(-5; 0)$.

Отметим эти две точки на координатной плоскости и проведем через них прямую. Это и будет график функции $y = x + 5$.

Теперь с помощью построенного графика найдем требуемые значения.

а) координаты точек пересечения графика с осями координат;
Точки пересечения с осями были найдены при построении графика.
Пересечение с осью $Oy$ (осью ординат) происходит при $x = 0$. Координаты этой точки: $(0; 5)$.
Пересечение с осью $Ox$ (осью абсцисс) происходит при $y = 0$. Координаты этой точки: $(-5; 0)$.
Ответ: $(0; 5)$ и $(-5; 0)$.

б) все значения аргумента, при которых выполняется неравенство y < 0;
Неравенство $y < 0$ означает, что значения функции должны быть отрицательными. На графике это соответствует той части прямой, которая расположена ниже оси $Ox$.
Из графика видно, что прямая находится ниже оси $Ox$ левее точки пересечения с этой осью, то есть левее точки $x = -5$.
Таким образом, неравенство выполняется при $x < -5$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5)$.

в) отрезок оси x, на котором выполняется неравенство 0 ≤ y ≤ 5;
Нам нужно найти такие значения $x$, при которых значения $y$ находятся в промежутке от 0 до 5 включительно. На графике это часть прямой, заключенная между горизонтальными линиями $y = 0$ (ось $Ox$) и $y = 5$.
Мы уже знаем, что $y=0$ при $x=-5$ и $y=5$ при $x=0$.
Так как функция $y=x+5$ возрастающая, то при изменении $x$ от -5 до 0, значение $y$ будет изменяться от 0 до 5.
Следовательно, искомый отрезок оси $x$ - это $[-5; 0]$.
Проверим алгебраически:
$0 \le x + 5 \le 5$
Вычтем 5 из всех частей неравенства:
$0 - 5 \le x \le 5 - 5$
$-5 \le x \le 0$.
Ответ: $[-5; 0]$.

г) наименьшее и наибольшее значения линейной функции на отрезке [-4; 1].
Рассмотрим часть графика, соответствующую отрезку $x \in [-4; 1]$.
Так как функция $y = x + 5$ является возрастающей (коэффициент при $x$ положителен и равен 1), ее наименьшее значение на отрезке будет достигаться в левой границе отрезка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение функции будет при $x = -4$:
$y_{наим} = -4 + 5 = 1$.
Наибольшее значение функции будет при $x = 1$:
$y_{наиб} = 1 + 5 = 6$.
Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-4; 1]$ равно 1, наибольшее значение равно 6.

9.50 Постройте график линейной функции $y = -3x + 6$ и с его помощью найдите:

a) координаты точек пересечения графика с осями координат;

б) отрезок оси $x$, на котором выполняется неравенство $-3 \le y \le 0$;

в) все значения аргумента, при которых выполняется неравенство $y > 0$;

г) наименьшее и наибольшее значения линейной функции на отрезке $[-1; 2]$.

Для построения графика линейной функции $y = -3x + 6$ найдем координаты двух точек, через которые проходит эта прямая. Удобнее всего взять точки пересечения с осями координат.

1. При $x = 0$, $y = -3 \cdot 0 + 6 = 6$. Точка пересечения с осью OY имеет координаты $(0; 6)$.

2. При $y = 0$, $0 = -3x + 6$, откуда $3x = 6$ и $x = 2$. Точка пересечения с осью OX имеет координаты $(2; 0)$.

Проведя прямую через эти две точки, мы получим график функции $y = -3x + 6$. Это убывающая прямая, так как угловой коэффициент $k=-3$ отрицательный.

Теперь, используя график и уравнение, найдем требуемые значения.

а) координаты точек пересечения графика с осями координат;

Как мы определили при построении графика:

• Точка пересечения с осью ординат (OY) имеет координату $x=0$, что дает $y=6$. Координаты: $(0; 6)$.
• Точка пересечения с осью абсцисс (OX) имеет координату $y=0$, что дает $x=2$. Координаты: $(2; 0)$.

Ответ: с осью OY: $(0; 6)$; с осью OX: $(2; 0)$.

б) отрезок оси x, на котором выполняется неравенство $-3 \le y \le 0$;

Необходимо найти значения $x$, для которых соответствующие значения $y$ лежат в промежутке $[-3; 0]$.

Мы знаем, что $y=0$ при $x=2$.

Найдем значение $x$, при котором $y=-3$:

$-3 = -3x + 6$

$-3 - 6 = -3x$

$-9 = -3x$

$x = 3$

Поскольку функция убывающая, то значения $y$ от $-3$ до $0$ будут соответствовать значениям $x$ от $3$ до $2$. Таким образом, искомый отрезок оси $x$ - это $[2; 3]$.

Ответ: $[2; 3]$.

в) все значения аргумента, при которых выполняется неравенство $y > 0$;

Неравенство $y > 0$ означает, что график функции расположен выше оси OX. Из графика видно, что это происходит левее точки пересечения с осью OX, то есть при $x < 2$.

Решим неравенство аналитически:

$-3x + 6 > 0$

$-3x > -6$

Разделим обе части на $-3$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$x < 2$

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

г) наименьшее и наибольшее значения линейной функции на отрезке $[-1; 2]$;

Так как функция $y = -3x + 6$ является убывающей, свое наибольшее значение на отрезке она достигает в левой его точке, а наименьшее — в правой.

Найдем значение функции на концах отрезка $[-1; 2]$:

• Наибольшее значение (при $x=-1$): $y_{наиб.} = -3(-1) + 6 = 3 + 6 = 9$.
• Наименьшее значение (при $x=2$): $y_{наим.} = -3(2) + 6 = -6 + 6 = 0$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке равно $0$, наибольшее значение равно $9$.