Страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

9.51 Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика линейной функции:

а) $y = 7,5x + 45;$

б) $y = 2,6x - 7,8;$

в) $y = 3,4x - 27,2;$

г) $y = 18,1x + 36,2.$

Для нахождения координат точек пересечения графика функции с осями координат необходимо следовать общему правилу:

1. Точка пересечения с осью ординат (осью $OY$) имеет абсциссу, равную нулю. Чтобы найти ординату этой точки, нужно подставить $x=0$ в уравнение функции. Координаты этой точки будут $(0; y)$.
2. Точка пересечения с осью абсцисс (осью $OX$) имеет ординату, равную нулю. Чтобы найти абсциссу этой точки, нужно подставить $y=0$ в уравнение функции и решить полученное уравнение относительно $x$. Координаты этой точки будут $(x; 0)$.

а) $y = 7,5x + 45$

1. Найдём точку пересечения с осью $OY$. Для этого подставим $x=0$ в уравнение:
$y = 7,5 \cdot 0 + 45 = 45$
Таким образом, точка пересечения с осью $OY$ имеет координаты $(0; 45)$.

2. Найдём точку пересечения с осью $OX$. Для этого подставим $y=0$ в уравнение:
$0 = 7,5x + 45$
$7,5x = -45$
$x = \frac{-45}{7,5} = -6$
Таким образом, точка пересечения с осью $OX$ имеет координаты $(-6; 0)$.

Ответ: $(-6; 0)$ и $(0; 45)$.

б) $y = 2,6x - 7,8$

1. Найдём точку пересечения с осью $OY$, подставив $x=0$:
$y = 2,6 \cdot 0 - 7,8 = -7,8$
Координаты точки пересечения с осью $OY$: $(0; -7,8)$.

2. Найдём точку пересечения с осью $OX$, подставив $y=0$:
$0 = 2,6x - 7,8$
$2,6x = 7,8$
$x = \frac{7,8}{2,6} = 3$
Координаты точки пересечения с осью $OX$: $(3; 0)$.

Ответ: $(3; 0)$ и $(0; -7,8)$.

в) $y = 3,4x - 27,2$

1. Найдём точку пересечения с осью $OY$, подставив $x=0$:
$y = 3,4 \cdot 0 - 27,2 = -27,2$
Координаты точки пересечения с осью $OY$: $(0; -27,2)$.

2. Найдём точку пересечения с осью $OX$, подставив $y=0$:
$0 = 3,4x - 27,2$
$3,4x = 27,2$
$x = \frac{27,2}{3,4} = 8$
Координаты точки пересечения с осью $OX$: $(8; 0)$.

Ответ: $(8; 0)$ и $(0; -27,2)$.

г) $y = 18,1x + 36,2$

1. Найдём точку пересечения с осью $OY$, подставив $x=0$:
$y = 18,1 \cdot 0 + 36,2 = 36,2$
Координаты точки пересечения с осью $OY$: $(0; 36,2)$.

2. Найдём точку пересечения с осью $OX$, подставив $y=0$:
$0 = 18,1x + 36,2$
$18,1x = -36,2$
$x = \frac{-36,2}{18,1} = -2$
Координаты точки пересечения с осью $OX$: $(-2; 0)$.

Ответ: $(-2; 0)$ и $(0; 36,2)$.

9.52 Выясните, проходит ли график линейной функции $y = 3.2x - 5$ через точку:

а) $A(3; 4.6);$

б) $B(1.2; 0);$

в) $C(7.5; 4);$

г) $D(2.2; 2.04).$

Для того чтобы выяснить, проходит ли график функции $y = 3,2x - 5$ через заданную точку, необходимо подставить координаты этой точки ($x$; $y$) в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то график проходит через эту точку. Если равенство неверное, то не проходит.

а) A(3; 4,6)

Подставим координаты точки A в уравнение функции, где $x = 3$ и $y = 4,6$.

$4,6 = 3,2 \cdot 3 - 5$

Выполним вычисления в правой части уравнения:

$3,2 \cdot 3 - 5 = 9,6 - 5 = 4,6$

Получаем верное равенство:

$4,6 = 4,6$

Следовательно, график функции проходит через точку A.

Ответ: проходит.

б) B(1,2; 0)

Подставим координаты точки B в уравнение функции, где $x = 1,2$ и $y = 0$.

$0 = 3,2 \cdot 1,2 - 5$

Выполним вычисления в правой части уравнения:

$3,2 \cdot 1,2 - 5 = 3,84 - 5 = -1,16$

Получаем неверное равенство:

$0 = -1,16$

Следовательно, график функции не проходит через точку B.

Ответ: не проходит.

в) C(7,5; 4)

Подставим координаты точки C в уравнение функции, где $x = 7,5$ и $y = 4$.

$4 = 3,2 \cdot 7,5 - 5$

Выполним вычисления в правой части уравнения:

$3,2 \cdot 7,5 - 5 = 24 - 5 = 19$

Получаем неверное равенство:

$4 = 19$

Следовательно, график функции не проходит через точку C.

Ответ: не проходит.

г) D(2,2; 2,04)

Подставим координаты точки D в уравнение функции, где $x = 2,2$ и $y = 2,04$.

$2,04 = 3,2 \cdot 2,2 - 5$

Выполним вычисления в правой части уравнения:

$3,2 \cdot 2,2 - 5 = 7,04 - 5 = 2,04$

Получаем верное равенство:

$2,04 = 2,04$

Следовательно, график функции проходит через точку D.

Ответ: проходит.

Найдите наименьшее и наибольшее значения линейной функции на заданном промежутке:

9.53 а) $y = 0,5x + 3$, $[2; 3]$

б) $y = -0,5x + 1$, $[-2; +\infty)$

в) $y = 2,5x - 4$, $(1; 2]$

г) $y = 2,5x - 4$, $(-\infty; 0]$

а) Дана линейная функция $y = 0,5x + 3$ на отрезке $[2; 3]$. Угловой коэффициент $k = 0,5$. Поскольку $k > 0$, функция является возрастающей. На отрезке $[a; b]$ возрастающая функция принимает свое наименьшее значение в точке $x=a$, а наибольшее — в точке $x=b$.
Найдем наименьшее значение функции, подставив $x=2$:
$y_{\text{наим}} = y(2) = 0,5 \cdot 2 + 3 = 1 + 3 = 4$.
Найдем наибольшее значение функции, подставив $x=3$:
$y_{\text{наиб}} = y(3) = 0,5 \cdot 3 + 3 = 1,5 + 3 = 4,5$.
Ответ: наименьшее значение 4, наибольшее значение 4,5.

б) Дана линейная функция $y = -0,5x + 1$ на промежутке $[-2; +\infty)$. Угловой коэффициент $k = -0,5$. Поскольку $k < 0$, функция является убывающей. Это означает, что чем больше значение $x$, тем меньше значение $y$.
Наибольшее значение функция примет в наименьшей возможной точке $x$ из промежутка, то есть при $x = -2$.
$y_{\text{наиб}} = y(-2) = -0,5 \cdot (-2) + 1 = 1 + 1 = 2$.
Поскольку $x$ может неограниченно возрастать ($x \to +\infty$), значение функции будет неограниченно убывать ($y \to -\infty$). Следовательно, наименьшего значения у функции на данном промежутке не существует.
Ответ: наибольшее значение 2, наименьшего значения не существует.

в) Дана линейная функция $y = 2,5x - 4$ на интервале $(1; 2)$. Угловой коэффициент $k = 2,5$. Поскольку $k > 0$, функция является возрастающей.
Промежуток является открытым интервалом, что означает, что концы интервала, точки $x=1$ и $x=2$, не принадлежат области определения.
Найдем значения, к которым функция стремится на концах интервала:
При $x \to 1$, $y \to 2,5 \cdot 1 - 4 = -1,5$.
При $x \to 2$, $y \to 2,5 \cdot 2 - 4 = 5 - 4 = 1$.
Множество значений функции на данном интервале — это интервал $(-1,5; 1)$. В открытом интервале нет ни наименьшего, ни наибольшего элемента. Таким образом, функция не достигает своего наименьшего и наибольшего значений.
Ответ: наименьшего и наибольшего значений не существует.

г) Дана линейная функция $y = 2,5x - 4$ на промежутке $(-\infty; 0]$. Угловой коэффициент $k = 2,5$. Поскольку $k > 0$, функция является возрастающей. Это означает, что чем больше значение $x$, тем больше значение $y$.
Наибольшее значение функция примет в наибольшей возможной точке $x$ из промежутка, то есть при $x = 0$.
$y_{\text{наиб}} = y(0) = 2,5 \cdot 0 - 4 = -4$.
Поскольку $x$ может неограниченно убывать ($x \to -\infty$), значение функции также будет неограниченно убывать ($y \to -\infty$). Следовательно, наименьшего значения у функции на данном промежутке не существует.
Ответ: наибольшее значение -4, наименьшего значения не существует.

9.54 a) $y = \frac{1}{4}x + 2$, $[-4; 4];$б) $y = \frac{1}{4}x + 2$, $[0; +\infty);$В) $y = -\frac{1}{3}x - 1$, $(-\infty; 6];$Г) $y = -\frac{1}{3}x - 1$, $(-3; 3).$

Дана линейная функция $y = \frac{1}{4}x + 2$ на отрезке $[-4; 4]$.

Коэффициент при $x$ (угловой коэффициент) $k = \frac{1}{4}$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей на всей области определения, включая данный отрезок.

Для нахождения множества значений функции на отрезке достаточно найти ее значения на концах этого отрезка.

Найдем значение функции в точке $x = -4$:

$y(-4) = \frac{1}{4} \cdot (-4) + 2 = -1 + 2 = 1$.

Найдем значение функции в точке $x = 4$:

$y(4) = \frac{1}{4} \cdot 4 + 2 = 1 + 2 = 3$.

Поскольку функция возрастает, наименьшее значение она принимает в левой крайней точке, а наибольшее — в правой. Таким образом, множество значений функции на отрезке $[-4; 4]$ — это отрезок $[1; 3]$.

Ответ: $[1; 3]$

Дана линейная функция $y = \frac{1}{4}x + 2$ на промежутке $[0; +\infty)$.

Коэффициент при $x$ (угловой коэффициент) $k = \frac{1}{4} > 0$, следовательно, функция возрастающая.

Наименьшее значение функция принимает в левой крайней точке промежутка, то есть при $x = 0$.

$y(0) = \frac{1}{4} \cdot 0 + 2 = 2$.

Так как $x$ может неограниченно возрастать ($x \to +\infty$), значение функции $y$ также будет неограниченно возрастать ($y \to +\infty$).

Следовательно, множество значений функции на промежутке $[0; +\infty)$ — это промежуток $[2; +\infty)$.

Ответ: $[2; +\infty)$

Дана линейная функция $y = -\frac{1}{3}x - 1$ на промежутке $(-\infty; 6]$.

Коэффициент при $x$ (угловой коэффициент) $k = -\frac{1}{3}$. Так как $k < 0$, функция является убывающей на всей области определения.

На промежутке $(-\infty; 6]$ функция убывает. Это означает, что при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается. Следовательно, наименьшее значение функция примет в правой крайней точке промежутка, то есть при $x = 6$.

$y(6) = -\frac{1}{3} \cdot 6 - 1 = -2 - 1 = -3$.

Так как $x$ может принимать сколь угодно малые значения ($x \to -\infty$), значение функции $y$ будет неограниченно возрастать ($y \to +\infty$).

Таким образом, множество значений функции на промежутке $(-\infty; 6]$ — это промежуток $[-3; +\infty)$.

Ответ: $[-3; +\infty)$

Дана линейная функция $y = -\frac{1}{3}x - 1$ на интервале $(-3; 3)$.

Коэффициент при $x$ (угловой коэффициент) $k = -\frac{1}{3} < 0$, следовательно, функция убывающая.

Так как функция убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Интервал для $x$ — $(-3; 3)$, то есть $-3 < x < 3$.

Применим свойство убывающей функции к неравенству: $y(3) < y(x) < y(-3)$.

Найдем значения функции на концах интервала, которые не включаются в множество значений:

$y(-3) = -\frac{1}{3} \cdot (-3) - 1 = 1 - 1 = 0$.

$y(3) = -\frac{1}{3} \cdot 3 - 1 = -1 - 1 = -2$.

Поскольку точки $x=-3$ и $x=3$ не принадлежат интервалу, значения $y=0$ и $y=-2$ не достигаются функцией. Таким образом, множество значений функции — это интервал $(-2; 0)$.

Ответ: $(-2; 0)$

9.55 a) Найдите точку графика линейной функции $y = 3x - 12$, абсцисса которой равна ординате.

б) Найдите точку графика линейной функции $y = 5x + 4$, абсцисса которой равна ординате.

а)

Дана линейная функция $y = 3x - 12$. Необходимо найти точку на её графике, у которой абсцисса (координата $x$) равна ординате (координата $y$). Это условие можно записать как $x = y$.

Чтобы найти такую точку, подставим в уравнение функции $x$ вместо $y$:

$x = 3x - 12$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения:

$x - 3x = -12$

$-2x = -12$

Разделим обе части уравнения на $-2$, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-12}{-2}$

$x = 6$

Поскольку по условию $y = x$, то ордината точки также равна 6.

Таким образом, искомая точка имеет координаты $(6, 6)$.

Для проверки подставим найденные координаты в исходное уравнение:

$6 = 3 \cdot 6 - 12$

$6 = 18 - 12$

$6 = 6$

Равенство верное, следовательно, точка найдена правильно.

Ответ: $(6, 6)

б)

Дана линейная функция $y = 5x + 4$. По аналогии с предыдущим пунктом, ищем точку, для которой выполняется условие $x = y$.

Подставляем $x$ вместо $y$ в уравнение функции:

$x = 5x + 4$

Решаем это уравнение. Переносим члены с $x$ в левую часть:

$x - 5x = 4$

$-4x = 4$

Делим обе части на $-4$:

$x = \frac{4}{-4}$

$x = -1$

Так как $y = x$, то ордината $y$ также равна $-1$.

Искомая точка имеет координаты $(-1, -1)$.

Проверим полученный результат:

$-1 = 5 \cdot (-1) + 4$

$-1 = -5 + 4$

$-1 = -1$

Равенство верное, значит, точка найдена правильно.

Ответ: $(-1, -1)

9.56 а) Найдите точку графика линейной функции $y = 2x + 9$, абсцисса и ордината которой — противоположные числа.

б) Найдите точку графика линейной функции $y = -3x + 8$, абсцисса и ордината которой — противоположные числа.

а) Чтобы найти точку на графике функции $y = 2x + 9$, у которой абсцисса и ордината являются противоположными числами, необходимо, чтобы ее координаты $(x, y)$ удовлетворяли условию $y = -x$.

Для нахождения координат точки решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = 2x + 9 \\ y = -x \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$-x = 2x + 9$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $x$:

$-x - 2x = 9$

$-3x = 9$

$x = \frac{9}{-3}$

$x = -3$

Мы нашли абсциссу точки. Чтобы найти ординату, воспользуемся условием $y = -x$:

$y = -(-3) = 3$

Таким образом, искомая точка имеет координаты $(-3, 3)$.

Ответ: $(-3, 3)$.

б) Аналогично, для функции $y = -3x + 8$ ищем точку, где абсцисса и ордината являются противоположными числами, то есть $y = -x$.

Составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = -3x + 8 \\ y = -x \end{cases}$

Подставим $y = -x$ в уравнение функции:

$-x = -3x + 8$

Решим полученное уравнение:

$-x + 3x = 8$

$2x = 8$

$x = \frac{8}{2}$

$x = 4$

Теперь найдем соответствующую ординату:

$y = -x = -4$

Следовательно, искомая точка имеет координаты $(4, -4)$.

Ответ: $(4, -4)$.

9.57 a) Найдите точку графика линейной функции $y = x + 15$, абсцисса которой в 2 раза меньше ординаты.

б) Найдите точку графика линейной функции $y = 2x - 35$, абсцисса которой в 3 раза больше ординаты.

а)

Пусть искомая точка имеет координаты $(x; y)$.
Так как точка принадлежит графику функции $y = x + 15$, ее координаты должны удовлетворять этому уравнению.
По условию задачи, абсцисса ($x$) этой точки в 2 раза меньше ее ординаты ($y$). Математически это можно записать как $x = \frac{y}{2}$ или $y = 2x$.
Чтобы найти координаты точки, необходимо решить систему из двух уравнений: $ \begin{cases} y = x + 15 \\ y = 2x \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны: $2x = x + 15$
Перенесем $x$ в левую часть уравнения: $2x - x = 15$
$x = 15$
Теперь найдем значение $y$, подставив найденное значение $x$ во второе уравнение системы: $y = 2 \times 15 = 30$
Следовательно, искомая точка имеет координаты $(15; 30)$.
Проверка: абсцисса $15$ действительно в 2 раза меньше ординаты $30$ ($15 = 30 / 2$). Подставим координаты в уравнение функции: $30 = 15 + 15$, что является верным равенством.
Ответ: $(15; 30)$.

б)

Пусть искомая точка имеет координаты $(x; y)$.
Точка принадлежит графику функции $y = 2x - 35$, поэтому ее координаты удовлетворяют данному уравнению.
По условию задачи, абсцисса ($x$) этой точки в 3 раза больше ее ординаты ($y$). Математически это можно записать как $x = 3y$.
Чтобы найти координаты точки, необходимо решить систему из двух уравнений: $ \begin{cases} y = 2x - 35 \\ x = 3y \end{cases} $
Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое: $y = 2(3y) - 35$
$y = 6y - 35$
Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а числовые значения — в другую: $35 = 6y - y$
$35 = 5y$
$y = \frac{35}{5} = 7$
Теперь найдем значение $x$, подставив найденное значение $y$ во второе уравнение системы: $x = 3 \times 7 = 21$
Следовательно, искомая точка имеет координаты $(21; 7)$.
Проверка: абсцисса $21$ действительно в 3 раза больше ординаты $7$ ($21 = 3 \times 7$). Подставим координаты в уравнение функции: $7 = 2 \times 21 - 35 \Rightarrow 7 = 42 - 35 \Rightarrow 7 = 7$, что является верным равенством.
Ответ: $(21; 7)$.

9.58 Найдите значение $m$, если известно, что график линейной функции $y = -5x + m$ проходит через точку:

а) $N(1; 2);$

б) $K(0.5; 4);$

в) $N(-7; 8);$

г) $P(1.2; -3).$

Для нахождения значения параметра $m$ необходимо использовать условие, что график линейной функции $y = -5x + m$ проходит через заданную точку. Это означает, что координаты точки $(x_0; y_0)$ должны удовлетворять уравнению функции. Подставив значения $x$ и $y$ для каждой точки в уравнение, мы можем найти соответствующее значение $m$.

а) График проходит через точку $N(1; 2)$. Подставим её координаты $x=1$ и $y=2$ в уравнение функции:
$2 = -5 \cdot 1 + m$
$2 = -5 + m$
Отсюда выражаем $m$:
$m = 2 + 5$
$m = 7$
Ответ: 7.

б) График проходит через точку $K(0,5; 4)$. Подставим её координаты $x=0,5$ и $y=4$ в уравнение функции:
$4 = -5 \cdot 0,5 + m$
$4 = -2,5 + m$
Отсюда выражаем $m$:
$m = 4 + 2,5$
$m = 6,5$
Ответ: 6,5.

в) График проходит через точку $N(-7; 8)$. Подставим её координаты $x=-7$ и $y=8$ в уравнение функции:
$8 = -5 \cdot (-7) + m$
$8 = 35 + m$
Отсюда выражаем $m$:
$m = 8 - 35$
$m = -27$
Ответ: -27.

г) График проходит через точку $P(1,2; -3)$. Подставим её координаты $x=1,2$ и $y=-3$ в уравнение функции:
$-3 = -5 \cdot 1,2 + m$
$-3 = -6 + m$
Отсюда выражаем $m$:
$m = -3 + 6$
$m = 3$
Ответ: 3.