Страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

9.29 Постройте график линейной функции $y = -4x + 8$. Найдите:

а) координаты точек пересечения графика с осями координат;

б) значение $y$, соответствующее значению $x$, равному 0; 1; 2; 3;

в) значение $x$, которому соответствует значение $y$, равное 0; 4; 8;

г) выясните, возрастает или убывает заданная линейная функция.

Задана линейная функция $y = -4x + 8$. Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой. Удобно взять точки пересечения с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью $Oy$. Для этого в уравнении функции принимаем $x=0$:
$y = -4 \cdot 0 + 8 = 8$.
Получаем первую точку: $(0, 8)$.

2. Найдем точку пересечения с осью $Ox$. Для этого в уравнении функции принимаем $y=0$:
$0 = -4x + 8$
$4x = 8$
$x = 2$.
Получаем вторую точку: $(2, 0)$.

Для построения графика следует отметить точки $(0, 8)$ и $(2, 0)$ на координатной плоскости и провести через них прямую.

а) координаты точек пересечения графика с осями координат

Как было найдено при построении графика:
Точка пересечения с осью ординат ($Oy$), где $x=0$:
$y = -4(0) + 8 = 8$. Координаты: $(0, 8)$.
Точка пересечения с осью абсцисс ($Ox$), где $y=0$:
$0 = -4x + 8 \implies x=2$. Координаты: $(2, 0)$.

Ответ: точка пересечения с осью $Oy$ – $(0, 8)$; точка пересечения с осью $Ox$ – $(2, 0)$.

б) значение y, соответствующее значению x, равному 0; 1; 2; 3

Подставляем заданные значения $x$ в уравнение функции $y = -4x + 8$:
Если $x = 0$, то $y = -4(0) + 8 = 8$.
Если $x = 1$, то $y = -4(1) + 8 = -4 + 8 = 4$.
Если $x = 2$, то $y = -4(2) + 8 = -8 + 8 = 0$.
Если $x = 3$, то $y = -4(3) + 8 = -12 + 8 = -4$.

Ответ: при $x=0$, $y=8$; при $x=1$, $y=4$; при $x=2$, $y=0$; при $x=3$, $y=-4$.

в) значение x, которому соответствует значение y, равное 0; 4; 8

Подставляем заданные значения $y$ в уравнение функции $y = -4x + 8$ и решаем уравнение относительно $x$:
Если $y = 0$, то $0 = -4x + 8 \implies 4x = 8 \implies x = 2$.
Если $y = 4$, то $4 = -4x + 8 \implies 4x = 8 - 4 \implies 4x = 4 \implies x = 1$.
Если $y = 8$, то $8 = -4x + 8 \implies -4x = 8 - 8 \implies -4x = 0 \implies x = 0$.

Ответ: при $y=0$, $x=2$; при $y=4$, $x=1$; при $y=8$, $x=0$.

г) выясните, возрастает или убывает заданная линейная функция

Линейная функция имеет вид $y = kx + b$. Характер монотонности функции (возрастание или убывание) определяется знаком углового коэффициента $k$.
В нашем уравнении $y = -4x + 8$ угловой коэффициент $k = -4$.
Так как $k < 0$, функция является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает.

9.30 Постройте график функции $y = 2x - 4$.

а) Найдите координаты точки пересечения графика с осью абсцисс.

б) Выделите ту часть графика, которая лежит выше оси абсцисс. Какие по знаку значения $y$ соответствуют выделенной части графика? Какие значения принимает при этом выражение $2x - 4$?

в) Определите, какие значения $x$ соответствуют выделенной части графика.

г) Найдите, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $y < 0$. Запишите выводы, сделанные в пунктах б), в), г), в виде неравенств.

Для построения графика функции $y = 2x - 4$, являющейся линейной функцией, достаточно найти координаты двух точек, через которые проходит ее график (прямая линия).

1. Найдем точку пересечения с осью ординат ($Oy$). Для этого подставим $x = 0$ в уравнение функции:

$y = 2 \cdot 0 - 4 = -4$

Первая точка имеет координаты $(0, -4)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс ($Ox$). Для этого подставим $y = 0$ в уравнение функции:

$0 = 2x - 4$

$2x = 4$

$x = 2$

Вторая точка имеет координаты $(2, 0)$.

Построив эти две точки на координатной плоскости и соединив их прямой, мы получим график функции $y = 2x - 4$.

а) Найдите координаты точки пересечения графика с осью абсцисс.

Точка пересечения графика с осью абсцисс — это точка, в которой ордината $y$ равна нулю. Мы уже нашли ее при построении графика. Решим уравнение $y = 0$:

$2x - 4 = 0$

$2x = 4$

$x = 2$

Следовательно, координаты точки пересечения с осью абсцисс — $(2, 0)$.

Ответ: $(2, 0)$.

б) Выделите ту часть графика, которая лежит выше оси абсцисс. Какие по знаку значения $y$ соответствуют выделенной части графика? Какие значения принимает при этом выражение $2x - 4$?

Часть графика, лежащая выше оси абсцисс ($Ox$), состоит из точек, у которых ордината ($y$) положительна. Таким образом, выделенной части графика соответствуют положительные значения $y$.

Поскольку по определению функции $y = 2x - 4$, то и само выражение $2x - 4$ принимает положительные значения на этом участке.

Ответ: Выделенной части графика соответствуют положительные значения $y$. Выражение $2x - 4$ принимает при этом положительные значения.

в) Определите, какие значения $x$ соответствуют выделенной части графика.

Выделенная часть графика соответствует условию $y > 0$. Чтобы найти соответствующие значения $x$, решим неравенство:

$2x - 4 > 0$

Перенесем $-4$ в правую часть с противоположным знаком:

$2x > 4$

Разделим обе части на 2:

$x > 2$

Таким образом, часть графика лежит выше оси абсцисс при всех значениях $x$, больших 2.

Ответ: $x > 2$.

г) Найдите, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $y < 0$. Запишите выводы, сделанные в пунктах б), в), г), в виде неравенств.

Сначала решим неравенство $y < 0$:

$2x - 4 < 0$

$2x < 4$

$x < 2$

Неравенство $y < 0$ выполняется при $x < 2$.

Теперь запишем выводы в виде неравенств:

• Из пунктов б) и в) следует: если $x > 2$, то $y > 0$, то есть $2x - 4 > 0$.
• Из пункта г) следует: если $x < 2$, то $y < 0$, то есть $2x - 4 < 0$.
• (Из пункта а) также следует: если $x = 2$, то $y=0$, то есть $2x-4=0$).

Ответ: Неравенство $y < 0$ выполняется при $x < 2$. Выводы в виде неравенств: $2x - 4 > 0$ при $x > 2$; $2x - 4 < 0$ при $x < 2$.

9.31 Постройте график функции $y = -0,5x + 2$ и прямую $y = 4$.

а) Найдите координаты точки пересечения прямых.

б) Выделите ту часть графика функции $y = -0,5x + 2$, которая расположена ниже прямой $y = 4$. Какие значения $y$ соответствуют выделенной части графика? Какие значения при этом принимает выражение $-0,5x + 2$?

в) Определите, какие значения $x$ соответствуют выделенной части графика линейной функции.

г) Найдите, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $-0,5x + 2 > 4$.

Сначала построим графики.
1. График функции $y = -0,5x + 2$ — это прямая. Для её построения достаточно двух точек.

• Если $x = 0$, то $y = -0,5 \cdot 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0; 2)$.
• Если $x = 2$, то $y = -0,5 \cdot 2 + 2 = -1 + 2 = 1$. Получаем точку $(2; 1)$.

Проводим прямую через точки $(0; 2)$ и $(2; 1)$.
2. График функции $y = 4$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0; 4)$ на оси ординат (оси Oy).

а) Найдите координаты точки пересечения прямых.
В точке пересечения значения $y$ для обеих функций одинаковы. Приравняем правые части уравнений:
$-0,5x + 2 = 4$
Перенесём 2 в правую часть:
$-0,5x = 4 - 2$
$-0,5x = 2$
Найдём $x$, разделив обе части на $-0,5$:
$x = \frac{2}{-0,5} = -4$
Координата $y$ точки пересечения равна 4. Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(-4; 4)$.
Ответ: $(-4; 4)$.

б) Выделите ту часть графика функции $y = -0,5x + 2$, которая расположена ниже прямой $y = 4$. Какие значения $y$ соответствуют выделенной части графика? Какие значения при этом принимает выражение $-0,5x + 2$?
Часть графика функции $y = -0,5x + 2$, расположенная ниже прямой $y = 4$, — это луч, исходящий из точки пересечения $(-4; 4)$ (не включая саму точку) и идущий вправо и вниз.
Для любой точки на этой части графика её координата $y$ будет строго меньше 4. Таким образом, значения $y$ соответствуют неравенству $y < 4$.
Поскольку по определению функции $y = -0,5x + 2$, выражение $-0,5x + 2$ принимает те же значения, что и $y$. Следовательно, это выражение принимает значения, строго меньшие 4.
Ответ: Выделенной части графика соответствуют значения $y < 4$. Выражение $-0,5x + 2$ также принимает значения, меньшие 4.

в) Определите, какие значения $x$ соответствуют выделенной части графика линейной функции.
Выделенная часть графика — это та часть, где выполняется условие "ниже прямой $y=4$". Математически это записывается как неравенство:
$-0,5x + 2 < 4$
Решим это неравенство относительно $x$:
$-0,5x < 4 - 2$
$-0,5x < 2$
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число ($-0,5$) знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{2}{-0,5}$
$x > -4$
Это означает, что выделенной части графика соответствуют все значения $x$ строго больше -4.
Ответ: $x > -4$.

г) Найдите, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $-0,5x + 2 > 4$.
Это неравенство описывает условие, при котором график функции $y = -0,5x + 2$ находится *выше* прямой $y = 4$.
Решим неравенство:
$-0,5x + 2 > 4$
$-0,5x > 4 - 2$
$-0,5x > 2$
Разделим обе части на $-0,5$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$x < \frac{2}{-0,5}$
$x < -4$
Неравенство выполняется для всех значений $x$ строго меньше -4.
Ответ: $x < -4$.

9.32 Постройте график функции $y = -3x + 6$.

а) С помощью построенного графика решите уравнение $-3x + 6 = 0$.

б) Выделите ту часть графика, которая соответствует условию $y > 0$. Какие значения аргумента соответствуют выделенной части графика?

в) С помощью графика решите неравенство $-3x + 6 > 0$.

г) Решите неравенство $-3x + 6 < 0$.

Сначала построим график функции $y = -3x + 6$.

Это линейная функция, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью Oy). Для этого подставим $x = 0$ в уравнение функции:

$y = -3 \cdot 0 + 6 = 6$

Первая точка имеет координаты (0; 6).

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью Ox). Для этого подставим $y = 0$ в уравнение функции:

$0 = -3x + 6$

$3x = 6$

$x = 2$

Вторая точка имеет координаты (2; 0).

Теперь отметим точки (0; 6) и (2; 0) на координатной плоскости и проведем через них прямую. Полученная прямая является графиком функции $y = -3x + 6$.

а) Чтобы с помощью построенного графика решить уравнение $-3x + 6 = 0$, необходимо найти абсциссу (координату $x$) точки, в которой график пересекает ось Ox. Это точка, для которой ордината $y$ равна 0. Из построения мы определили, что это точка с координатами (2; 0). Следовательно, корень уравнения — это абсцисса этой точки.

Ответ: $x = 2$.

б) Условию $y > 0$ соответствует та часть графика, которая расположена выше оси Ox. Глядя на график, мы видим, что это часть прямой, которая находится слева от точки пересечения с осью Ox, то есть слева от точки (2; 0). Аргумент функции — это переменная $x$. Значит, этому условию соответствуют все значения аргумента, которые меньше 2.

Ответ: Выделенной части графика соответствуют значения аргумента $x < 2$.

в) Решить неравенство $-3x + 6 > 0$ с помощью графика означает найти все значения аргумента $x$, для которых соответствующие значения функции $y$ положительны. Это те же значения $x$, которые мы нашли в пункте б), так как условие $y > 0$ эквивалентно неравенству $-3x + 6 > 0$. Таким образом, решением являются все $x$, для которых график находится выше оси Ox.

Ответ: $x < 2$.

г) Решить неравенство $-3x + 6 < 0$ означает найти все значения аргумента $x$, для которых график функции $y = -3x + 6$ лежит ниже оси Ox (то есть, где $y < 0$). На графике видно, что прямая находится ниже оси Ox справа от точки пересечения с ней, то есть справа от точки (2; 0). Это соответствует значениям аргумента, которые больше 2.

Ответ: $x > 2$.

9.33 Постройте график функции $y = 2x - 6$.

а) С помощью построенного графика решите уравнение $2x - 6 = 0$.

б) Выделите ту часть графика, которая соответствует условию $y < 0$. При каких значениях аргумента функция принимает отрицательные значения?

в) С помощью графика решите неравенство $2x - 6 \leq 0$.

г) Решите неравенство $2x - 6 \geq 0$.

Для построения графика функции $y = 2x - 6$ найдем координаты двух точек. Данная функция является линейной, поэтому ее график — прямая линия.

1. Возьмем $x = 0$. Тогда $y = 2 \cdot 0 - 6 = -6$. Получили точку $(0, -6)$ — это точка пересечения с осью ординат (Oy).

2. Возьмем $y = 0$. Тогда $0 = 2x - 6$, откуда $2x = 6$ и $x = 3$. Получили точку $(3, 0)$ — это точка пересечения с осью абсцисс (Ox).

Построим прямую, проходящую через эти две точки в системе координат.

а) С помощью построенного графика решите уравнение 2x − 6 = 0.

Решить уравнение $2x - 6 = 0$ графически — значит найти абсциссу (координату $x$) точки пересечения графика функции $y = 2x - 6$ с осью абсцисс (осью Ox), так как на этой оси $y = 0$. Из графика видно, что прямая пересекает ось Ox в точке $(3, 0)$. Следовательно, корень уравнения — это $x=3$.
Ответ: $x = 3$.

б) Выделите ту часть графика, которая соответствует условию y < 0. При каких значениях аргумента функция принимает отрицательные значения?

Условие $y < 0$ означает, что значения функции должны быть отрицательными. На графике этому соответствует та часть прямой, которая расположена ниже оси абсцисс (оси Ox). На построенном графике эта часть выделена красным цветом. Она находится левее точки пересечения с осью Ox, то есть точки $(3, 0)$. Таким образом, функция принимает отрицательные значения при тех значениях аргумента $x$, которые меньше 3.
Ответ: Функция принимает отрицательные значения при $x < 3$.

в) С помощью графика решите неравенство 2x − 6 ≤ 0.

Неравенство $2x - 6 \le 0$ эквивалентно условию $y \le 0$. Это означает, что мы ищем такие значения $x$, при которых график функции $y = 2x - 6$ находится на оси Ox или ниже нее. Из графика видно, что график находится ниже оси Ox при $x < 3$ и пересекает ось Ox в точке $x = 3$. Объединяя эти условия, получаем решение неравенства.
Ответ: $x \le 3$ (или $x \in (-\infty, 3]$).

г) Решите неравенство 2x − 6 ≥ 0.

Неравенство $2x - 6 \ge 0$ эквивалентно условию $y \ge 0$. Это означает, что мы ищем такие значения $x$, при которых график функции $y = 2x - 6$ находится на оси Ox или выше нее. Из графика видно, что график находится выше оси Ox при $x > 3$ и пересекает ось Ox в точке $x = 3$. Объединяя эти условия, получаем решение неравенства.
Ответ: $x \ge 3$ (или $x \in [3, +\infty)$).